環上の加群とテンソル積の普遍性１
$A$を可換環とする。$\text{Hom}_{A\texttt{-}\mathsf{Mod}}$を単に$\text{Hom}$と表記する。
$(M,+,0_M,(\cdot)^{-1},(\alpha\triangleright-)_{\alpha\in A})$が$A$加群であるとは、以下のデータを持つことである。
- $(M,+,0_M,(\cdot)^{-1})$はアーベル群
- 環作用$(\cdot)\triangleright-\in\text{Hom}_\textsf{Ring}\big(A,(\text{End}_\textsf{Ab}(M,+),\hat+,\circ,\cdots)\big)$
以後、単に$A$加群$M$と表記する。
$A$加群$M,N$に対して$\text{Hom}(M,N)$にも自然に$A$加群の構造が入る。それにより、Hom関手は$\big(\text{Hom}(\cdot_1,\cdot_2),(\cdot_2)\circ-\circ(\cdot_1)\big):A\texttt{-}\mathbf{Mod}^\text{op}\times A\texttt{-}\mathbf{Mod}\rightarrow \color{red}A\texttt{-}\mathbf{Mod}$になる。以降、これを単に$\text{Hom}(\cdot_1,\cdot_2)$と略記する。
各$A$加群$N$に対して$\text{Hom}(N,\cdot)$は左随伴を持つ
$\text{Hom}(N,\cdot)$の左随伴関手を$(\cdot)\otimes_A N$と書く。各$A$加群$M,Z$に対して自然に$$ \text{Hom}(M\otimes_AN,Z)\overset{}{\cong}\text{Hom}(M,\text{Hom}(N,Z))$$が成り立つ。随伴の単位を$((\cdot)\otimes-)_{y\in A\texttt{-}\textsf{Mod}}$と書く。今$\text{Hom}(\cdot_1,\cdot_2)$は二変数関手なので、随伴の一般論より$N$についても自然になるような関手$(\otimes_A,\tilde{\otimes}):A\texttt{-}\mathbf{Mod}\times A\texttt{-}\mathbf{Mod}\rightarrow A\texttt{-}\mathbf{Mod}$に一意に持ち上がる。これを$A$加群のテンソル積という。なお、これは$[A\texttt{-}\textbf{Mod},\textbf{Set}]$の自然同型であるが、後で見るように実は$[A\texttt{-}\textbf{Mod},A\texttt{-}\textbf{Mod}]$の自然同型にもなっている。
$A$加群準同型$f,g$とかに対して
(1) $\langle \text{Im}(\otimes) \rangle=M\otimes_A N$
(2) $f\circ\otimes=g\circ\otimes$ならば$f=g$
(3) $(f \,\tilde{\otimes}\,g)(m\otimes n)=f(m)\otimes' g(n)$
(4) $(f'\circ f)\,\tilde\otimes\,(g'\circ g)=(f'\,\tilde\otimes\,g')\circ(f\,\tilde\otimes\,g)$
(5) $\text{id}_M\,\tilde\otimes\,\text{id}_N=\text{id}_{M\otimes N}$
(6) $(M\otimes_A N)\otimes_A K\cong M\otimes_A (N\otimes_A K)$
(7) $A\otimes_A N\cong N$
(8) $M\otimes_A N\cong N\otimes_A M$
(9) $A$を単位対象として$A\texttt{-}\textbf{Mod}$は対称モノイダル閉圏
(10) $(\cdot)\otimes_A N$は余極限と交換する。特に$\bigoplus_{i\in I}M_i\otimes_A N\cong\bigoplus_{i\in I}(M_i\otimes_A N)$
(11) $A^n\otimes_AM\cong M^n\;\;(n\in\mathbb{N}_0)$
(12) $(\cdot)\otimes_A N$は右完全関手
(13) $\text{Hom}(N,\cdot)$は左完全関手
(１) $\langle \text{Im}(\otimes) \rangle$の包含写像が全射であることを言えばいい。普遍性を駆使せよ
(２) $\text{Hom}_{A\texttt{-}\textsf{Mod}}(M\otimes_A N,\cdot)\overset{\big(I(\cdot)\circ_\textsf{Set}\otimes\big)_{Z\in A \texttt{-}\textsf{Mod}}}{\cong}\text{Bilin}(M,N;\cdot)$特に、各$A$加群$Z$に対して、$I(\cdot)\circ_\textsf{Set}\otimes$は単射。
(３) (3)-(8)は(9)の一部
(10) 左随伴関手は左Ｋａｎ拡張を保つため
(11) (7)と(10)を使え
(12) 右完全＝有限余極限を保つ
(13) 左完全＝有限極限を保つ
