大学数学基礎解説

積分・級数botを解く integral 1-5

積分bot,部分分数展開

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積分を解く

今週も積分・級数botの積分を解きましょう。

解く積分

integral 1-5

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos \ln \tan x d x = \frac{π}{4 \cosh \frac{π}{2}}$

かなり原始関数がイカツいですが、どうやって求めるのでしょうか。
場合によっては $\cos x$ をテイラー展開したくなりますが、今回は悪手です。
困った時は、三角関数の位相（今回は $\ln \tan x$ ）を丸ごと置換してみましょう。

$I$ の式変形

位相を丸ごと置換

$\begin{aligned} I & = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos \ln \tan x d x \\ = \int_{- \infty}^{0} \frac{e^{t} \cos t}{1 + e^{2 t}} d t \ln \tan x \mapsto t \\ = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{0} \frac{(e^{i t} + e^{- i t}) e^{t}}{1 + e^{2 t}} d t ∵ \cos t = \frac{e^{i t} + e^{- i t}}{2} \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{y^{i} + y^{- i}}{1 + y^{2}} d y e^{t} \mapsto y \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- y^{2})}^{n} (y^{i} + y^{- i}) d y \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \int_{0}^{1} y^{2 n + i} + y^{2 n - i} d y \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (\frac{1}{2 n + i + 1} + \frac{1}{2 n - i + 1}) \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{(2 n + 1 - i) + (2 n + 1 + i)}{(2 n + 1 + i) (2 n + 1 - i)} \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 (2 n + 1)}{(2 n + 1)^{2} - i^{2}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1)}{1 + (2 n + 1)^{2}} \\ = \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1)}{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(n + \frac{1}{2})}^{2}} \end{aligned}$

※最後の式変形で、わざわざ $4$ で割った理由については後で分かります。

積分が級数に変形出来ました。
僕が初めてこの問題を見たときは、この後の式変形がわかりませんでしたが、三角関数の部分分数展開を使うと上手くいくことを教えてもらい、解くことが出来ました。
そのためにまず、 $\sin x$ の無間乗積展開を導入します。

$\sin x$ の無限乗積展開

\sin π x

の無限乗積展開（証明略）

$\sin π x = π x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{n^{2}})$

※ $x$ は複素数を代入しても成り立ちますが、今回は実数で十分なので文字は $x$ としておきます。

フーリエ級数などを使えば証明できますが、
$\sin x$ は $x = 0, \pm n π$ を零点に持ち、テイラー展開したときの $x$ の係数が $1$ なので成り立ちそうだなぁと思えば大丈夫です。

これを使うと様々なことが分かります。
命題5を目指して以下の補題、命題を順番に証明していきましょう。

π \cot π x

の部分分数展開

$π \cot π x = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 x}{x^{2} - n^{2}}$

証明

定理1より、

\begin{aligned} \sin π x & = π x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{n^{2}}) \\ \frac{d}{d x} \ln \sin π x & = \frac{d}{d x} \ln (π x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{n^{2}})) \\ π \frac{\cos π x}{\sin π x} & = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d}{d x} \ln (1 - \frac{x^{2}}{n^{2}}) \\ π \cot π x & = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 x}{x^{2} - n^{2}} \end{aligned}

π \csc π x

の部分分数展開

$\frac{π}{\sin π x} = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} 2 x}{x^{2} - n^{2}} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{x + n}$

証明

\begin{aligned} \frac{1}{\sin π x} & + \cot π x = \cot \frac{π z}{2} \\ \frac{π}{\sin π x} & = π \cot \frac{π x}{2} - π \cot π x \\ = \frac{2}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x}{{(\frac{x}{2})}^{2} - n^{2}} - \frac{1}{x} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 x}{x^{2} - n^{2}} \\ = \frac{1}{x} + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 x}{x^{2} - (2 n)^{2}} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 x}{x^{2} - n^{2}} \\ = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} 2 x}{x^{2} - n^{2}} \\ = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{(- 1)^{n}}{x + n} + \frac{(- 1)^{- n}}{x - n}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{x + n} \end{aligned}

π \sec π x

の部分分数展開

$\frac{π}{\cos π x} = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1))}{x^{2} - {(n + \frac{1}{2})}^{2}} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{x + \frac{1}{2} + n}$

証明

\begin{aligned} \frac{π}{\cos π x} & = \frac{π}{\sin π (x + \frac{1}{2})} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{x + \frac{1}{2} + n} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{x + \frac{1}{2} + n} + \frac{(- 1)^{- n}}{x + \frac{1}{2} - n} + \frac{1}{x + \frac{1}{2}} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{x - \frac{1}{2} + n} + \frac{(- 1)^{- n}}{x + \frac{1}{2} - n} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n - 1)}{x^{2} - {(\frac{1}{2} - n)}^{2}} \\ = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1)}{x^{2} - {(n + \frac{1}{2})}^{2}} \end{aligned}

π sech π x

の部分分数展開

$\frac{π}{\cosh π x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1)}{x^{2} + {(n + \frac{1}{2})}^{2}}$

証明

\begin{aligned} \frac{π}{\cosh π x} & = \frac{π}{\cos π i x} \\ = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1)}{(i x)^{2} - {(n + \frac{1}{2})}^{2}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1)}{x^{2} + {(n + \frac{1}{2})}^{2}} \end{aligned}

※補題3,4の右辺は、同じ速度で $- \infty$ から $\infty$ に極限を飛ばします。

$I$ を求める

ここで、 $I$ をあの形に変形した理由が見えてきます。

$I = \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1)}{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(n + \frac{1}{2})}^{2}}$

だったことを思い出すと、
命題5の $x$ に $1 / 2$ を代入したものと等しいことが分かります。
よって、

$I = \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n + 1)}{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(n + \frac{1}{2})}^{2}} = \frac{π}{4 \cosh \frac{π}{2}}$

となって求めたかった積分が示せました。

三角関数の部分分数展開は今回初めて使ったので、
誤植等を見つけたらコメント欄で指摘してください。
それではまた来週。

投稿日：2024年10月27日

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