級数•積分botの積分を示してみる①

示す積分をIとします。
\begin{aligned} I&=\displaystyle\int_0^{\infty}x\left(\log(1-e^{-2x})-\log(1+e^{-2x})\right)dx\\ &= -\displaystyle\int_0^{\infty}x\left( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-2nx}}{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n e^{-2nx}}{n} \right)dx\\ &= -2\displaystyle\int_0^{\infty} x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-2(2n+1)x}}{2n+1}dx\\ &=-2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\displaystyle\int_0^{\infty}xe^{-2(2n+1)x}dx\\ &=-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^3}\\ &=-\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^3}\right)\\ &=-\dfrac{7}{16}\zeta(3) \end{aligned}