連続と離散が結ばれるおもしろい等式
$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n} $$
左辺は連続的な実関数の積分で、右辺は離散的な数列の無限和となっている。
形が同じなのが美しすぎる。にわかには信じがたい等式。
証明
まず$\log$の定義から以下のように書き換えられるよ
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx
=\int_{0}^{1} x^{-x}dx
=\int_{0}^{1} e^{\log x^{-x}}dx
=\int_{0}^{1} e^{-x\log x}dx
$$
次に、$e^u$のマクローリン展開
$$
e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^n}{n!}
$$
において、$u=-x\log x$とすれば
$$
\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x\log x)^n}{n!}dx
$$
$\int$と$\sum$を入れ替えて（本来は議論が必要だが今回は省略する。）
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{(-x\log x)^n}{n!}dx
=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{(-1)^n}{n!}x^n(\log x)^ndx
$$
$\frac{(-1)^n}{n!}$は$x$に関係ないので$\int$の外に出せて
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{0}^{1}x^n(\log x)^ndx -①
$$
ここでいきなりだが、階乗の一般化であるガンマ関数を思い出してみるよ
$$
n!=\Gamma(n-1)=\int_{0}^{\infty}t^ne^{-t}dt -②
$$
なぜこれが階乗の一般化といえるかについては、他に山ほど記事があるのでそちらを参照していただくとして
なんとかして①の積分を②の形に変形できないだろうか
ということで、$s=\log x$とおくと、$x=e^s$より$dx=e^sds$
$x:0\rightarrow1$のとき、$s:-\infty\rightarrow0$より、①は
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{-\infty}^{0}e^{ns}s^ne^sds
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{-\infty}^{0}s^ne^{(n+1)s}ds
$$
なんかおしい $(n+1)s=-t$とおくと、$ds=-\frac{1}{n+1}dt$
$s:-\infty\rightarrow0$のとき、$t:\infty\rightarrow0$より
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{-\infty}^{0}s^ne^{(n+1)s}ds
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{\infty}^{0}\left(-\frac{t}{n+1}\right)^ne^{-t}\left(-\frac{1}{n+1}\right)dt
$$
$$
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{\infty}^{0}-\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}t^ne^{-t}dt
$$
$\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}$は$t$に関係ないので$\int$の外に出せて、マイナスで積分区間を入れ替えて
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\int_{0}^{\infty}t^ne^{-t}dt
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)^{n+1}}\int_{0}^{\infty}t^ne^{-t}dt
$$
やったね、②のガンマ関数の形が出てきたよ～
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)^{n+1}}\int_{0}^{\infty}t^ne^{-t}dt
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cancel{n!}}{\cancel{n!}(n+1)^{n+1}}
$$
$$
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{n+1}}
=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots
$$
$$
=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}
$$
できた