連続と離散が結ばれるおもしろい等式

$${\int }_0^1\frac{1}{x^x}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^n}$$

左辺は連続的な実関数の積分で、右辺は離散的な数列の無限和となっている。
形が同じなのが美しすぎる。にわかには信じがたい等式。

証明

まず$\log$の定義から以下のように書き換えられるよ
$${\int }_0^1\frac{1}{x^x}dx={\int }_0^1{x}^{-x}dx={\int }_0^1{e}^{\log x^{-x}}dx={\int }_0^1{e}^{-x\log x}dx$$
次に、$e^u$のマクローリン展開
$$e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{n!}$$
において、$u=-x\log x$とすれば
$${\int }_0^1\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x\log x{)}^n}{n!}dx$$
$\int$と$\sum$を入れ替えて（本来は議論が必要だが今回は省略する。）
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1\frac{(-x\log x{)}^n}{n!}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1\frac{(-1{)}^n}{n!}{x}^n(\log x{)}^{n}dx$$
$\frac{(-1{)}^n}{n!}$は$x$に関係ないので$\int$の外に出せて

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\int }_0^1{x}^n(\log x{)}^{n}dx -\mathrm{①}$$
ここでいきなりだが、階乗の一般化であるガンマ関数を思い出してみるよ
$$n!=\mathrm{\Gamma }(n-1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-t}dt -\mathrm{②}$$
なぜこれが階乗の一般化といえるかについては、他に山ほど記事があるのでそちらを参照していただくとして
なんとかして①の積分を②の形に変形できないだろうか
ということで、$s=\log x$とおくと、$x=e^s$より$dx=e^{s}ds$
$x:0\to 1$のとき、$s:-\mathrm{\infty }\to 0$より、①は
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{ns}{s}^n{e}^{s}ds=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{s}^n{e}^{(n+1)s}ds$$
なんかおしい　$(n+1)s=-t$とおくと、$ds=-\frac{1}{n+1}dt$
$s:-\mathrm{\infty }\to 0$のとき、$t:\mathrm{\infty }\to 0$より
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{s}^n{e}^{(n+1)s}ds=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\int }_{\mathrm{\infty }}^0{(-\frac{t}{n+1})}^n{e}^{-t}(-\frac{1}{n+1})dt$$
$$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\int }_{\mathrm{\infty }}^0-\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{n+1}}{t}^n{e}^{-t}dt$$
$\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{n+1}}$は$t$に関係ないので$\int$の外に出せて、マイナスで積分区間を入れ替えて
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{n+1}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-t}dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!(n+1{)}^{n+1}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-t}dt$$
やったね、②のガンマ関数の形が出てきたよ～
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!(n+1{)}^{n+1}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-t}dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cancel{n!}}{\cancel{n!}(n+1{)}^{n+1}}$$
$$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots$$
$$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^n}$$
できた