圏論5：核
今回は，zero object，zero morphism，kernel，cokernelについてまとめる．これらは後で加法的な圏やアーベル圏を扱うための基本的な道具である．
以下，$\mathcal{C}$を圏とする．
対象$0\in\mathcal{C}$がzero objectであるとは，$0$がinitial objectかつterminal objectであることをいう．
すなわち，任意の$X\in\mathcal{C}$に対して，射$0\to X$と射$X\to 0$がそれぞれただ一つ存在することをいう．
zero objectは，存在すれば同型を除いて一意である．
$\mathcal{C}$がzero object$0$をもつとする．任意の$A,B\in\mathcal{C}$に対して，合成$A\to0\to B$で得られる射を$A$から$B$へのzero morphismといい，$0_{A,B}:A\to B$と書く．文脈から明らかなときは単に$0$と書く．
zero objectをもつ圏では，任意の二対象の間に標準的なzero morphismがある．したがって，射$f:A\to B$について「$f=0$」という言い方ができる．
任意の射$f:X\to A$と$g:B\to Y$について，$0_{A,B}\circ f=0_{X,B}$かつ$g\circ0_{A,B}=0_{A,Y}$である．
合成$0_{A,B}\circ f$は$X\to A\to0\to B$で得られる．しかし$X\to A\to0$は，terminal object$0$への唯一の射$X\to0$に等しい．よって$0_{A,B}\circ f$は$X\to0\to B$であり，これは$0_{X,B}$である．もう一つも同様である．
${\rm Set}$では空集合がinitial objectで，一点集合がterminal objectであるから，zero objectは存在しない．一方，${\rm Ab}$や${\rm Mod}_A$では零群，零加群がzero objectである．
以下，kernelやcokernelを考える箇所では，$\mathcal{C}$はzero objectをもつと仮定する．
$f:A\to B$を射とする．$f$のkernelとは，射$k:K\to A$であって$f\circ k=0$を満たし，さらに次の普遍性を満たすものをいう．
任意の射$t:T\to A$で$f\circ t=0$を満たすものに対して，ただ一つの射$u:T\to K$が存在して$t=k\circ u$となる．
このとき対象$K$を$f$のkernel対象といい，${\rm Ker}\,f$と書く．また，射$k:K\to A$を$\ker f$と書くことが多い．
図式で書くと，kernelの普遍性は次のようになる．
\begin{equation*}
\xymatrix{
T \ar@{-->}[d]_-{u} \ar[dr]^-{t} &\\
K \ar[r]_-{k} & A \ar[r]_-{f} & B
}
\end{equation*}
ここで$f\circ t=0$であり，$t$は一意に$K$を経由する．
$f:A\to B$を射とする．$f$のcokernelとは，射$q:B\to Q$であって$q\circ f=0$を満たし，さらに次の普遍性を満たすものをいう．
任意の射$t:B\to T$で$t\circ f=0$を満たすものに対して，ただ一つの射$u:Q\to T$が存在して$t=u\circ q$となる．
このとき対象$Q$を$f$のcokernel対象といい，${\rm Coker}\,f$と書く．また，射$q:B\to Q$を${\rm coker}\,f$と書くことが多い．
図式で書くと，cokernelの普遍性は次のようになる．
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar[r]^-{f} & B \ar[r]^-{q} \ar[dr]_-{t} & Q \ar@{-->}[d]^-{u}\\
&& T
}
\end{equation*}
ここで$t\circ f=0$であり，$t$は一意に$Q$を経由する．
kernelは，$f$とzero morphism$0:A\to B$のequalizerである．cokernelは，$f$とzero morphism$0:A\to B$のcoequalizerである．
したがって，kernelはlimitの一種であり，cokernelはcolimitの一種である．
kernelとcokernelは，存在すれば一意同型を除いて一意である．
kernelはequalizerの特別な場合であり，cokernelはcoequalizerの特別な場合である．equalizerとcoequalizerは，存在すれば一意同型を除いて一意であるから従う．
kernel射はmonoである．双対的に，cokernel射はepiである．
$k:K\to A$を$f:A\to B$のkernelとする．射$u,v:T\to K$が$k\circ u=k\circ v$を満たすとする．このとき$k\circ u:T\to A$は$f$と合成すると$0$になる．kernelの普遍性より，$k\circ u$を経由させる射$T\to K$は一意である．$u$も$v$もそのような射なので$u=v$である．よって$k$はmonoである．
cokernel射がepiであることは，矢印を逆にした同じ議論で示される．
$f:A\to B$がmonoならば，zero morphism$0:0\to A$は$f$のkernelである．双対的に，$f$がepiならば，zero morphism$B\to0$は$f$のcokernelである．
$f$をmonoとする．まず$f\circ0_{0,A}=0$である．射$t:T\to A$が$f\circ t=0$を満たすとする．zero morphism$0_{T,A}:T\to A$も$f\circ0_{T,A}=0$を満たすので，$f\circ t=f\circ0_{T,A}$である．$f$はmonoだから$t=0_{T,A}$である．これは唯一の射$T\to0$とzero morphism$0\to A$の合成なので，$t$は一意に$0\to A$を経由する．よって$0\to A$は$f$のkernelである．
epiとcokernelについては，矢印をすべて逆にした同じ議論で示される．
一般のzero objectをもつ圏では，逆向きの「kernel対象が$0$ならmono」は差を取れないため自動ではない．ホモロジー代数で主に使う加法的な圏，特に$A$加群の圏やアーベル圏では，$f$がmonoであることと${\rm Ker}\,f\cong0$であること，$f$がepiであることと${\rm Coker}\,f\cong0$であることが成り立つ．
以後，このシリーズでkernelやcokernelを本格的に使うときは，主に加法的な圏，特に$A$加群の圏やアーベル圏を念頭に置く．
zero morphism$0:A\to B$のkernelは${\rm id}_A:A\to A$であり，cokernelは${\rm id}_B:B\to B$である．
まず${\rm id}_A:A\to A$について，$0\circ{\rm id}_A=0$である．任意の$t:T\to A$について$0\circ t=0$であり，$t={\rm id}_A\circ t$である．またこのような分解は明らかに一意である．よって${\rm id}_A$は$0:A\to B$のkernelである．
cokernelについても同様に，任意の$t:B\to T$は$t=t\circ{\rm id}_B$と一意に分解するので，${\rm id}_B$は$0:A\to B$のcokernelである．
$A$を環とする．圏${\rm Mod}_A$では，zero objectは零加群$0$であり，zero morphismは通常の零準同型である．
$A$加群準同型$f:M\to N$のkernel対象は通常の部分加群${\rm Ker}\,f=\{m\in M\mid f(m)=0\}$であり，kernel射は包含${\rm Ker}\,f\to M$である．またcokernel対象は商加群${\rm Coker}\,f=N/f(M)$であり，cokernel射は自然な商写像$N\to N/f(M)$である．
射$f:A\to B$がkernel射であるとは，ある射$g:B\to C$が存在して$f$が$g$のkernelになることをいう．
双対的に，射$f:A\to B$がcokernel射であるとは，ある射$h:D\to A$が存在して$f$が$h$のcokernelになることをいう．
今回は，zero objectをもつ圏で定義できるkernelとcokernelの基本事項に留めた．次回以降，ここで定義した道具を使って，加法的な圏やアーベル圏の話に入る．
