Jacksonの2φ2変換公式の証明
Pfaffの変換公式
$$
\F21{a,b}cx=(1-x)^{-a}\F21{a, c-b}c{\frac x{x-1}}
$$
の$q$類似である，Jacksonの$\p22$変換公式を示す．
$$ \Q21{a,b}cz=\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}\Q22{a,c/b}{c,az}{bz} $$
$q$二項定理と，
$q$-Vandermondeの和公式
$$
\Q21{a,q^{-n}}c{\frac{cq^n}a}=\frac{(c/a;q)_n}{(c;q)_n}
$$
を用いることにより，
$$
(q^{-n};q)_k=(-1)^kq^{k(k-1)/2-nk}\frac{(q;q)_n}{(q;q)_{n-k}}
$$
に注意することで
\begin{align}
\Q21{a,b}cz
&=\sum_{0\le n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}\\
&=\sum_{0\le n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\sum_{k=0}^n\frac{(c/b,q^{-n};q)_k}{(c,q;q)_k}b^kq^{nk}\\
&=\sum_{0\le k\le n}\frac{(c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}b^k\frac{(a;q)_n(q^{-n};q)_k}{(q;q)_n}z^nq^{nk}\\
&=\sum_{0\le k\le n}\frac{(c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}(-b)^kq^{n(n-1)/2}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_{n-k}}z^n\\
&=\sum_{0\le n,k}\frac{(c/b;q)_n}{{(c,q;q)_k}}(-bz)^kq^{k(k-1)/2}\frac{(a;q)_{n+k}}{(q;q)_n}x^n\\
&=\sum_{0\le k}\frac{(a,c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}(-bz)^kq^{k(k-1)/2}\sum_{0\le n}\frac{(aq^k;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\
&=\sum_{0\le k}\frac{(a,c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}(-bz)^kq^{k(k-1)/2}\frac{(azq^k;q)_\infty}{(z;q)_\infty}\\
&=\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}\Q22{a,c/b}{c,az}{bz}
\end{align}
となることから示される．
これがPfaffの変換公式の$q$類似になっていることは，
$$
\lim_{q\to1}(x;q)_n=(1-x)^n
$$
であることに注意すればわかる．