Jacksonの2φ2変換公式の証明

$q$二項定理と， $q$-Vandermondeの和公式
$${}_2{\varphi }_1[\begin{array}{c}a,q^{-n}\\ c\end{array};\frac{c{q}^n}{a}]=\frac{(c/a;q{)}_n}{(c;q{)}_n}$$
を用いることにより，
$$(q^{-n};q{)}_k=(-1{)}^k{q}^{k(k-1)/2-nk}\frac{(q;q{)}_n}{(q;q{)}_{n-k}}$$
に注意することで
$$\begin{array}{rl}{}_2{\varphi }_1[\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};z]& =\sum _{0\le n}\frac{(a;q{)}_n}{(q;q{)}_n}{z}^n\frac{(b;q{)}_n}{(c;q{)}_n}\\ & =\sum _{0\le n}\frac{(a;q{)}_n}{(q;q{)}_n}{z}^n\sum _{k=0}^n\frac{(c/b,q^{-n};q{)}_k}{(c,q;q{)}_k}{b}^k{q}^{nk}\\ & =\sum _{0\le k\le n}\frac{(c/b;q{)}_k}{(c,q;q{)}_k}{b}^k\frac{(a;q{)}_n(q^{-n};q{)}_k}{(q;q{)}_n}{z}^n{q}^{nk}\\ & =\sum _{0\le k\le n}\frac{(c/b;q{)}_k}{(c,q;q{)}_k}(-b{)}^k{q}^{n(n-1)/2}\frac{(a;q{)}_n}{(q;q{)}_{n-k}}{z}^n\\ & =\sum _{0\le n,k}\frac{(c/b;q{)}_n}{(c,q;q{)}_k}(-bz{)}^k{q}^{k(k-1)/2}\frac{(a;q{)}_{n+k}}{(q;q{)}_n}{x}^n\\ & =\sum _{0\le k}\frac{(a,c/b;q{)}_k}{(c,q;q{)}_k}(-bz{)}^k{q}^{k(k-1)/2}\sum _{0\le n}\frac{(a{q}^k;q{)}_n}{(q;q{)}_n}{z}^n\\ & =\sum _{0\le k}\frac{(a,c/b;q{)}_k}{(c,q;q{)}_k}(-bz{)}^k{q}^{k(k-1)/2}\frac{(az{q}^k;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ & =\frac{(az;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{}_2{\varphi }_2[\begin{array}{c}a,c/b\\ c,az\end{array};bz]\end{array}$$
となることから示される．