教科書が書き換わる!?「すべての実数を整列させる方法」の発見

前回の投稿↓

無限の数学 カントールの対角線論法破れたり!!!「後出し」は実数の専売特許にあらず 「実数は自然数よりはるかに多い」は間違ってますよ( T Д T)ノ

の情報量が多過ぎたので、内容を「すべての実数を整列させる方法」に絞って述べることにする。

まず

1→0.1
2→0.2
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9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
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99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
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9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
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…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
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というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
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(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
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となる。この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。無限に並べたのに「ここまで」などということがあるだろうか。

で、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
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のようになるが、それとも自然数は途中で尽きてしまうだろうか。

有理数と同じわけに↓はいかないのか。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
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↓

1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
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補足(他のサイトにおける補足の転載)

自然数「9…999」の「…」にあなたができると思うだけ9を並べてください。その自然数までの自然数の個数は「9…999個」で有限の値になります。自然数はそのままその自然数までの自然数の個数を表しています。なので自然数が有限桁のものしかなければ自然数の個数は有限になります。有限桁の自然数までの自然数の個数が無限になることはありません。

どの桁の9を見ても必ずその次の桁に9があり「最大の桁の9」を見ることができない「…9…9…9…9…9…999」のような無限桁の自然数までの自然数の個数なら「…9…9…9…9…9…999個」という無限の値になり、このような自然数が存在する場合だけ「自然数の個数は無限」と言うことができます。

この列にπあるいは無限小数は存在しないとのことですが、「どこまで」が言えないことは認めるのですよね。私も言えません。私は、「どこまで」とは言えないすなわち限りがないので無限小数もπも存在する、「限りがないので限りがない」と当然のことを言っています。ところがあなた方は「どこまで」とは言えないすなわち限りはないが無限小数もπも存在しない、「限りはないが限りがある」とおかしなことを言っています。

「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。

この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。これは何度も言っていることですが、「9…999」までの自然数の個数は有限なので、どんなに桁を増やしても、無限に近づくだけで決して無限にはなりません。