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京大数学科院試過去問解答例(2019専門03)

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ここでは京大RIMS数学教室の2019年度の専門科目03を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2019専門03

多項式f(X)=X4+6X2+2Q上の最小分解体をKとおき、これをCの部分体と見做し、F=KRとおく。

  1. 拡大次数[F:Q]を計算しなさい。
  2. FQ上アーベル拡大であることを示しなさい。
  1. 初めに
    a=3+7=i37
    L=Q(a)
    とおく。アイゼンシュタインの規約判定法よりfは既約多項式であるから、[L:Q]=4であり、[K:L]2であるから、[K:Q]8である。ここでKは埋め込みKCの取り方に関わらずRに含まれない体であり、かつ総実4次拡大Q(2,7)を部分拡大に持つから、F=Q(2,7)かつ[K:Q]=4が従う。
  2. (1)の議論からF=Q(2,7)であるから、これはガロア群
    Gal(F/Q)=Z/2Z×Z/2Z
    のアーベル拡大である。
投稿日:2024104
更新日:2024104
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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