本日投稿された[動画](https://youtu.be/BUDhUD8gt0s?si=M4RGIoXNqAbVX6MU)の微分方程式の別解をお届けします．


&&&prop 微分方程式#90
$$\dv{y}{x}+xy=\frac{1}{2}xy^5$$
&&&


&&&lem 変数分離（全微分の型にする）
$$f(x)\mathrm{d}x+g(y)\mathrm{d}y=0$$の解は，$$\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(y)\mathrm{d}y=C\quad(C:constant)$$
&&&

&&&prf 
$$\begin{eqnarray}
\dv{y}{x}+xy&=&\frac{1}{2}xy^5\\
xy(1-\frac{1}{2}y^4)\mathrm{d}x+\mathrm{d}y&=&0\\
x\mathrm{d}x+\frac{1}{y(1-\frac{1}{2}y^4)}\mathrm{d}y&=&0\\
\int x\mathrm{d}x+\int\Big(\frac{1}{y}+\frac{\frac{1}{2}y^3}{1-\frac{1}{2}y^4}\Big)\mathrm{d}y&=&C\quad(\because\text{補題2})\\
\frac{1}{2}x^2+\ln|y|-\frac{1}{4}\ln\Big|1-\frac{1}{2}y^4\Big|&=&C\\
\frac{y^4}{1-\frac{1}{2}y^4}&=&C'e^{-2x^2}

\end{eqnarray}$$

&&&




微分方程式の解き方

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