Slaterの変換公式2
前の記事 で以下の形のSlaterの変換公式を示した.
\begin{align} &\frac{(a_1d_1,\dots,a_Ad_1,b_1/d_1,\dots,b_B/d_1,z/d_1,d_1q/z;q)_{\infty}}{(c_1d_1,\dots,c_{A+1}d_1,d_2/d_1,\dots,d_{B+1}/d_1,q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q{A+B+1}{A+B}{c_1d_1,\dots,c_{A+1}d_1,d_1q/b_1,\dots,d_1q/b_B}{a_1d_1,\dots,a_Ad_1,d_1q/d_2,\dots,d_1q/d_{B+1}}{\frac{b_1\cdots b_B}{d_1\dots d_{B+1}}z}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(d_1;d_2,\dots,d_{B+1})\\ &=\frac{(b_1c_1,\dots,b_Bc_1,a_1/c_1,\dots,a_A/c_1,c_1z,q/c_1z;q)_{\infty}}{(d_1c_1,\dots,d_{B+1}c_1,c_2/c_1,\dots,c_{A+1}/c_1,q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q{A+B+1}{A+B}{d_1c_1,\dots,d_{B+1}c_1,c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_A}{b_1c_1,\dots,b_Bc_1,c_1q/c_2,\dots,c_1q/c_{A+1}}{\frac{a_1\cdots a_Aq}{c_1\cdots c_{A+1}z}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{A+1}) \end{align}
今回はこれを用いて両側$q$超幾何級数に関するSlaterの変換公式を示す.
$ d=\dfrac{a_1\cdots a_r}{c_1\cdots c_r}$とするとき,
\begin{align}
&\frac{(b_1,\dots,b_r,q/a_1,\dots,q/a_r,dz,q/dz;q)_{\infty}}{(c_1,\dots,c_r,q/c_1,\dots,q/c_{r};q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{z}\\
&=\frac{q}{c_1}\frac{(b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1,c_1/a_1,\dots,c_1/a_r,c_1dz/q,q^2/c_1dz;q)_{\infty}}{(c_2q/c_1,\dots,c_rq/c_1,c_1/c_2,\dots,c_1/c_r,c_1,q/c_1;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1}{z}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r})
\end{align}
が成り立つ.
定理1において, $A=B=r$とすると,
\begin{align}
&\frac{(a_1d_1,\dots,a_rd_1,b_1/d_1,\dots,b_r/d_1,z/d_1,d_1q/z;q)_{\infty}}{(c_1d_1,\dots,c_{r+1}d_1,d_2/d_1,\dots,d_{r+1}/d_1,q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q{2r+1}{2r}{c_1d_1,\dots,c_{r+1}d_1,d_1q/b_1,\dots,d_1q/b_r}{a_1d_1,\dots,a_rd_1,d_1q/d_2,\dots,d_1q/d_{r+1}}{\frac{b_1\cdots b_r}{d_1\dots d_{r+1}}z}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(d_1;d_2,\dots,d_{r+1})\\
&=\frac{(b_1c_1,\dots,b_rc_1,a_1/c_1,\dots,a_r/c_1,c_1z,q/c_1z;q)_{\infty}}{(d_1c_1,\dots,d_{r+1}c_1,c_2/c_1,\dots,c_{r+1}/c_1,q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q{2r+1}{2r}{d_1c_1,\dots,d_{r+1}c_1,c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_r}{b_1c_1,\dots,b_rc_1,c_1q/c_2,\dots,c_1q/c_{r+1}}{\frac{a_1\cdots a_rq}{c_1\cdots c_{r+1}z}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r+1})
\end{align}
ここで, $d_1=q/c_1,\dots,d_{r+1}=q/c_{r+1}$とすると,
\begin{align}
&\frac{(a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1,b_1c_1/q,\dots,b_rc_1/q,c_1z/q,q^2/c_1z;q)_{\infty}}{(q,q,c_2q/c_1,\dots,c_{r+1}q/c_1,c_1/c_2,\dots,c_1/c_{r+1};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q{r+1}{r}{q,q^2/b_1c_1,\dots,q^2/b_rc_1}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{\frac{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_{r+1}}{q^{r+1}}z}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r+1})\\
&=\frac{(b_1c_1,\dots,b_rc_1,a_1/c_1,\dots,a_r/c_1,c_1z,q/c_1z;q)_{\infty}}{(q,q,c_1q/c_2,\dots,c_{1}q/c_{r+1},c_2/c_1,\dots,c_{r+1}/c_1;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q{r+1}{r}{q,c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_r}{b_1c_1,\dots,b_rc_1}{\frac{a_1\cdots a_rq}{c_1\cdots c_{r+1}z}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r+1})
\end{align}
よって, 両辺に$(q;q)_{\infty}^2$を掛けて差を考えると,
\begin{align}
0&=\frac{(b_1c_1,\dots,b_rc_1,a_1/c_1,\dots,a_r/c_1,c_1z,q/c_1z;q)_{\infty}}{(c_1q/c_2,\dots,c_{1}q/c_{r+1},c_2/c_1,\dots,c_{r+1}/c_1;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q{r+1}{r}{q,c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_r}{b_1c_1,\dots,b_rc_1}{\frac{a_1\cdots a_rq}{c_1\cdots c_{r+1}z}}\\
&\qquad-\frac{(a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1,b_1c_1/q,\dots,b_rc_1/q,c_1z/q,q^2/c_1z;q)_{\infty}}{(c_2q/c_1,\dots,c_{r+1}q/c_1,c_1/c_2,\dots,c_1/c_{r+1};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q{r+1}{r}{q,q^2/b_1c_1,\dots,q^2/b_rc_1}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{\frac{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_{r+1}}{q^{r+1}}z}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r+1})\\
&=\frac{(b_1c_1,\dots,b_rc_1,a_1/c_1,\dots,a_r/c_1,c_1z,q/c_1z;q)_{\infty}}{(c_1q/c_2,\dots,c_{1}q/c_{r+1},c_2/c_1,\dots,c_{r+1}/c_1;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\left(\Q{r+1}{r}{q,c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_r}{b_1c_1,\dots,b_rc_1}{\frac{a_1\cdots a_rq}{c_1\cdots c_{r+1}z}}\right.\\
&\qquad\qquad\left.-\frac{(1-b_1c_1/q)\cdots(1-b_rc_1/q)(-c_1z/q)}{(1-a_1/c_1)\cdots(1-a_r/c_1)(-c_1/c_2)\cdots(-c_1/c_{r+1})}\Q{r+1}{r}{q,q^2/b_1c_1,\dots,q^2/b_rc_1}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{\frac{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_{r+1}}{q^{r+1}}z}\right)\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r+1})\\
&=\frac{(b_1c_1,\dots,b_rc_1,a_1/c_1,\dots,a_r/c_1,c_1z,q/c_1z;q)_{\infty}}{(c_1q/c_2,\dots,c_{1}q/c_{r+1},c_2/c_1,\dots,c_{r+1}/c_1;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\left(\Q{r+1}{r}{q,c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_r}{b_1c_1,\dots,b_rc_1}{\frac{a_1\cdots a_rq}{c_1\cdots c_{r+1}z}}\right.\\
&\qquad\qquad\left.+\frac{(1-b_1c_1/q)\cdots(1-b_rc_1/q)}{(1-a_1/c_1)\cdots(1-a_r/c_1)}\frac{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_{r+1}z}{q^{r+1}}\Q{r+1}{r}{q,q^2/b_1c_1,\dots,q^2/b_rc_1}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{\frac{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_{r+1}}{q^{r+1}}z}\right)\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r+1})\\
&=\frac{(b_1c_1,\dots,b_rc_1,a_1/c_1,\dots,a_r/c_1,c_1z,q/c_1z;q)_{\infty}}{(c_1q/c_2,\dots,c_{1}q/c_{r+1},c_2/c_1,\dots,c_{r+1}/c_1;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_r}{b_1c_1,\dots,b_rc_1}{\frac{a_1\cdots a_rq}{c_1\cdots c_{r+1}z}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r+1})
\end{align}
$a_i\mapsto 1/a_i,b_i\mapsto b_iq,c_i\mapsto 1/c_i$として,
\begin{align}
0&=\frac{(b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1,c_1/a_1,\dots,c_1/a_r,z/c_1,c_1q/z;q)_{\infty}}{(c_2q/c_1,\dots,c_{r+1}q/c_{1},c_1/c_2,\dots,c_1/c_{r+1};q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1}{\frac{c_1\cdots c_{r+1}q}{a_1\cdots a_rz}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r+1})\\
&=\frac{(b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1,c_1/a_1,\dots,c_1/a_r,z/c_1,c_1q/z;q)_{\infty}}{(c_2q/c_1,\dots,c_{r+1}q/c_{1},c_1/c_2,\dots,c_1/c_{r+1};q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1}{\frac{c_1\cdots c_{r+1}q}{a_1\cdots a_rz}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r})\\
&\qquad+\frac{(b_1q/c_{r+1},\dots,b_rq/c_{r+1},c_{r+1}/a_1,\dots,c_{r+1}/a_r,z/c_{r+1},c_{r+1}q/z;q)_{\infty}}{(c_1q/c_{r+1},\dots,c_{r}q/c_{r+1},c_{r+1}/c_1,\dots,c_{r+1}/c_{r};q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1q/c_{r+1},\dots,a_rq/c_{r+1}}{b_1q/c_{r+1},\dots,b_rq/c_{r+1}}{\frac{c_1\cdots c_{r+1}q}{a_1\cdots a_rz}}\\
\end{align}
ここで, $c_{r+1}=q, d:=\dfrac{a_1\cdots a_r}{c_1\cdots c_r}$とすると,
\begin{align}
0&=\frac{(b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1,c_1/a_1,\dots,c_1/a_r,z/c_1,c_1q/z;q)_{\infty}}{(c_2q/c_1,\dots,c_rq/c_1,c_1/c_2,\dots,c_1/c_r,q^2/c_1,c_1/q;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1}{\frac{q^2}{dz}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r})\\
&\qquad+\frac{(b_1,\dots,b_r,q/a_1,\dots,q/a_r,z/q,q^2/z;q)_{\infty}}{(c_1,\dots,c_r,q/c_1,\dots,q/c_{r};q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{\frac{q^2}{dz}}\\
&=-\frac{q}{c_1}\frac{(b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1,c_1/a_1,\dots,c_1/a_r,z/c_1,c_1q/z;q)_{\infty}}{(c_2q/c_1,\dots,c_rq/c_1,c_1/c_2,\dots,c_1/c_r,c_1,q/c_1;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1}{\frac{q^2}{dz}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r})\\
&\qquad+\frac{(b_1,\dots,b_r,q/a_1,\dots,q/a_r,z/q,q^2/z;q)_{\infty}}{(c_1,\dots,c_r,q/c_1,\dots,q/c_{r};q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{\frac{q^2}{dz}}
\end{align}
ここで, $z\mapsto q^2/dz$とすると定理が示される.
定理2において$c_i=a_iq$とすると,
\begin{align}
&\frac{(b_1,\dots,b_r,q/a_1,\dots,q/a_r,zq^{-r},q^{r+1}/z;q)_{\infty}}{(a_1q,\dots,a_rq,q/a_1q,\dots,q/a_rq;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{z}\\
&=\frac{1}{a_1}\frac{(b_1/a_1,\dots,b_r/a_1,q,a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_r,a_1zq^{-r},q^{r+1}/a_1z;q)_{\infty}}{(a_2q/a_1,\dots,a_rq/a_1,a_1/a_2,\dots,a_1/a_r,a_1q,1/a_1;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{1,a_2/a_1,\dots,a_r/a_1}{b_1/a_1,\dots,b_r/a_1}{z}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(a_1;a_2,\dots,a_{r})
\end{align}
また,
\begin{align}
\BQ{r}{r}{1,a_2/a_1,\dots,a_r/a_1}{b_1/a_1,\dots,b_r/a_1}{z}&=\sum_{n\leq 0}\frac{(1,a_2/a_1,\dots,a_r/a_1;q)_n}{(b_1/a_1,\dots,b_r/a_1;q)_n}z^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1q/b_1,\dots,a_1q/b_r;q)_n}{(q,a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_r;q)_n}\left(\frac{b_1\cdots b_r}{a_1\cdots a_rz}\right)^n\\
&=\Q{r}{r-1}{a_1q/b_1,\dots,a_1q/b_r}{a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_r}{\frac{b_1\cdots b_r}{a_1\cdots a_rz}}
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
&\frac{(b_1,\dots,b_r,q/a_1,\dots,q/a_r,z,q/z;q)_{\infty}}{(a_1q,\dots,a_rq,1/a_1,\dots,1/a_r;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{z}\\
&=a_1^{r-1}\frac{(q,b_1/a_1,\dots,b_r/a_1,a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_r,a_1z,q/a_1z;q)_{\infty}}{(a_2q/a_1,\dots,a_rq/a_1,a_1/a_2,\dots,a_1/a_r,a_1q,1/a_1;q)_{\infty}}\Q{r}{r-1}{a_1q/b_1,\dots,a_1q/b_r}{a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_r}{\frac{b_1\cdots b_r}{a_1\cdots a_rz}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(a_1;a_2,\dots,a_{r})
\end{align}
となる. これを整理すると, 以下を得る.
\begin{align}
&\frac{(b_1,\dots,b_r,z,q/z;q)_{\infty}}{(a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{z}\\
&=\frac{(q,b_1/a_1,\dots,b_r/a_1,a_1z,q/a_1z;q)_{\infty}}{(a_2/a_1,\dots,a_r/a_1,a_1,q/a_1;q)_{\infty}}\Q{r}{r-1}{a_1q/b_1,\dots,a_1q/b_r}{a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_r}{\frac{b_1\cdots b_r}{a_1\cdots a_rz}}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(a_1;a_2,\dots,a_{r})
\end{align}
が成り立つ.
定理2において, $c_i=b_i$とすると, 以下を得る.
$ d=\dfrac{a_1\cdots a_r}{b_1\cdots b_r}$とするとき,
\begin{align}
&\frac{(q/a_1,\dots,q/a_r,dz,q/dz;q)_{\infty}}{(q/b_1,\dots,q/b_{r};q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{z}\\
&=\frac{q}{b_1}\frac{(q,b_1/a_1,\dots,b_1/a_r,b_1dz/q,q^2/b_1dz;q)_{\infty}}{(b_1/b_2,\dots,b_1/b_r,b_1,q/b_1;q)_{\infty}}\Q{r}{r-1}{a_1q/b_1,\dots,a_rq/b_1}{b_2q/b_1,\dots,b_rq/b_1}{z}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(b_1;b_2,\dots,b_{r})
\end{align}
が成り立つ.
