有理数を使わない実数の構成

$(1)$ $B(0)=\emptyset$だから，$0\leqslant0.$

$(2)$ このとき，$W(a),B(a)$は有界だから，$a$は有界である．よって，$a\in H$であり，$[a]=0.$

$(3)$ このとき，$B(a),B(b)$は有界であり，$B(a+b)\subseteq B(a)+B(b)$だから，$B(a+b)$は有界である．ゆえに，$0\leqslant[a+b]=[a]+[b]$がなりたつ．

$(4)$ 何かうまい方法はないだろうか．$\Box$

$\mathbf{1^\circ.}$ $a\in G$により，ある$t\in\mathbb{Z}^{>0}$が存在して，$m,n\in\mathbb{Z}$にたいし，
\begin{equation*} -t\leqslant a(m+n)-a(m)-a(n)\leqslant t.\quad(\ast) \end{equation*}

$\mathbf{2^\circ.}$ $m,n\in\mathbb{Z}$にたいし，
\begin{equation*} -nt\leqslant a(mn)-na(m)-a(0)\leqslant nt\quad(\ast\ast) \end{equation*}
を示す．$n=0$のときは明らかになりたつ．また，$m,n\in\mathbb{Z}$にたいし，$(\ast)$により，
\begin{equation*} -t\leqslant a(m(n+1))-a(mn)-a(m)\leqslant t. \end{equation*}
よって，再帰的に$(\ast\ast)$を得る．

$\mathbf{3^\circ.}$ $2^\circ$と同様に， $m,n\in\mathbb{Z}$にたいし，
\begin{equation*} -mt\leqslant a(mn)-ma(n)-a(0)\leqslant mt. \end{equation*}

$\mathbf{4^\circ.}$ 以上$2^\circ,3^\circ$により，命題の不等式を得る．$\Box$

$n$に関して帰納法を用いる．本筋から逸れるので，省略する．

$\supseteq$は明らかだから，$\subseteq$を示す．

$[a]\in\mathbb{R}$を任意にとる．命題 2 により，$n\in\mathbb{Z}$にたいし，
\begin{equation*} -t(n+1)\leqslant a(n)-na(1)\leqslant t(n+1) \end{equation*}
だから，$s=\max\{t+a(1),t-a(1)\}$とおくと，$-s\leqslant[a]\leqslant s$がわかる．

ここから，$-s\leqslant[a]< s$または，$[a]=s$がなりたつ．よって，$[a]\in[-s,s)$または$[a]\in[s,s+1)$だから，前の命題により，$[a]$は右辺に属する．

したがって，所望の等式を得る．右辺が非交和であることは，前の命題から出る．$\Box$

整数部分の定義により，
\begin{equation*} \lfloor[a]\rfloor\leqslant[a]\leqslant[b]<\lfloor[b]\rfloor+1 \end{equation*}
であり，左辺と右辺は整数だから，$\lfloor[a]\rfloor\leqslant\lfloor[b]\rfloor.$ $\Box$

$\mathbf{1^\circ.}$ $b\in G$を示す．$m,n\in\mathbb{Z}$を任意にとる．このとき，整数部分の定義により，
\begin{align*} \begin{array}{rcl} -1<&b(m+n)-(m+n)[a]&\leqslant0,\\ 0\leqslant&m[a]-b(m)&<1,\\ 0\leqslant&n[a]-b(n)&<1 \end{array} \end{align*}
だから，
\begin{equation*} -1< b(m+n)-b(m)-b(n)<2. \end{equation*}
よって，$b\in G$が示された．

$\mathbf{2^\circ.}$ $[a]=[b]$を示す．

$n\in\mathbb{Z}$を任意にとる．命題 2 により，ある$t\in\mathbb{Z}^{>0}$が存在して，
\begin{equation*} -t(m+n)\leqslant ma(n)-na(m)\leqslant t(m+n)\quad(m\in\mathbb{Z}) \end{equation*}
だから，実数の順序の定義により，
\begin{equation*} -t\leqslant a(n)-n[a]\leqslant t \end{equation*}
がなりたつ．

また，整数部分の定義により，
\begin{equation*} 0\leqslant n[a]-b(n)<1. \end{equation*}

よって，
\begin{equation*} -t\leqslant a(n)-b(n)< t+1 \end{equation*}
だから，$a-b\in H$であり，$[a]=[b]$がなりたつ．$\Box$

$\mathbf{1^\circ.}$ $A$は上に有界だから，ある$[c]\in\mathbb{R}$が存在して，$[a]\leqslant [c]\ ([a]\in A)$がなりたつ．

すべての$[a]\in A$にたいし，$b_{[a]}\;\colon\;\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$を$b_{[a]}(n)=\lfloor n[a]\rfloor\ (n\in\mathbb{Z})$で定めると，命題 6 により，$[a]=[b_{[a]}].$

同様に，$b_{[c]}\;\colon\;\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$を$b_{[c]}(n)=\lfloor n[c]\rfloor\ (n\in\mathbb{Z})$で定めると，$[c]=[b_{[c]}].$

$\mathbf{2^\circ.}$ 以下，$A$の上限$[s]$に対応する傾き$s$を構成する．

$n\in\mathbb{Z}^{>0}$を任意にとる．命題 5 により，写像
\begin{equation*} \varphi_n\;\colon\;A\rightarrow\mathbb{Z},\ [a]\mapsto b_{[a]}(n) \end{equation*}
は非減少であり，かつ，$b_{[c]}(n)$は$\varphi_n(A)$の上界である．よって，$\varphi_n(A)$は最大値$s(n)$をもつ．

つぎに，$n\in\mathbb{Z}^{<0}$を任意にとる．命題 5 により，写像
\begin{equation*} \varphi_n\;\colon\;A\rightarrow\mathbb{Z},\ [a]\mapsto b_{[a]}(n) \end{equation*}
は非増加であり，かつ，$b_{[c]}(n)$は$\varphi_n(A)$の下界である．よって，$\varphi_n(A)$は最小値$s(n)$をもつ．

最後に，$s(0)=0$とおく．

$\mathbf{3^\circ}$ $s\in G$は簡単に示される．

$\mathbf{4^\circ}$ $[a]\leqslant[s]\ ([a]\in A)$は簡単に示される．

$\mathbf{5^\circ}$ $[a]\leqslant[s']\ ([a]\in A)$ならば$[s]\leqslant[s']$は簡単に示される．$\Box$

$a\in G$により，つぎの$2$個の函数は有界である．
\begin{align*} u(m,n)&=a(b(m+n))-a(b(m)+b(n))-a(b(m+n)-b(m)-b(n)),\\ v(m,n)&=a(b(m)+b(n))-a(b(m))-a(b(n)). \end{align*}
また，$b\in G$により，$\{b(m+n)-b(m)-b(n)\mid m,n\in\mathbb{Z}\}$は有限集合だから，$\{a(b(m+n)-b(m)-b(n))\mid m,n\in\mathbb{Z}\}$は有限集合である．よって，
\begin{equation*} w(m,n)=a(b(m+n)-b(m)-b(n)) \end{equation*}
は有界である．ゆえに，
\begin{equation*} u+v+w=a(b(m+n))-a(b(m))-a(b(n)) \end{equation*}
は有界である．したがって，$a\circ b\in G$を得る．$\Box$

$(1)$ $[b]=[d]$により，$\{b(n)-d(n)\mid n\in\mathbb{Z}\}$は有限集合だから，$\{a(b(n)-d(n))\mid n\in\mathbb{Z}\}$は有限集合である．よって，$n\mapsto a(b(n)-d(n))$は有界である．

また，$a\in G$だから，
\begin{equation*} n\mapsto a(b(n))-a(d(n))-a(b(n)-d(n)) \end{equation*}
は有界である．

ゆえに，$n\mapsto a(b(n))-a(d(n))$は有界だから，$a\circ b-a\circ d\in H$であり，$[a\circ b]=[a\circ d]$がなりたつ．

さらに，$[a]=[c]$だから，$n\mapsto a(d(n))-c(d(n))$は有界である．よって，$a\circ d-c\circ d\in H$であり，$[a\circ d]=[c\circ d]$がなりたつ．

以上により，$[a\circ b]=[c\circ d]$を得る．

$(2)$ 写像の合成に関する結合律から明らか．

$(3)$ 命題 6 により，$c(n)=\lfloor n[a]\rfloor,$ $d(n)=\lfloor n[b]\rfloor$ $(n\in\mathbb{Z})$と定めると，$c,d\in G$であり，$[a]=[c],$ $[b]=[d].$

よって，$(1)$により，$[a\circ b]=[c\circ d],$ $[b\circ a]=[d\circ c]$がなりたつ．

また，整数部分の定義により，
\begin{equation*} -([a]+[b]+1)\leqslant c(d(n))-d(c(n))\leqslant [a]+[b]+1 \end{equation*}
$(n\in\mathbb{Z})$が示されるので，$c\circ d-d\circ c\in H$であり，$[c\circ d]=[d\circ ]$がなりたつ．よって，$[a\circ b]=[b\circ a]$である．$\Box$

$(1)$ $1=[\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}]$だから，$1[a]=[\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}\circ a]=[a].$
$(2)$ 命題 9$(2)$から得られる．
$(3)$ 命題 9$(3)$から得られる．$\Box$