Holomorphで二面体群を一般化する
本編(note) の証明と一般化.
$G$を群とする. このとき,
\begin{eqnarray}
\rho\colon\aut G&\longrightarrow&\aut G\\
\psi&\longmapsto&(g\mapsto\psi(g))
\end{eqnarray}
によって定められた半直積$G\semid{\rho}\aut G$を$G$のHolomorphと呼び, $\hol G$と表記する.
巡回群のHolomorphについて, 次が成り立つ.
$C_n=\langle g\rangle$を位数$n$の巡回群とし, 自己同型群が巡回群と同型であるとする.
$\aut C_n=\lbrace{\rm id},\psi,\psi^2,\cdots,\psi^{m-1}\rbrace=\langle\psi\rangle\cong C_m$が$\psi(g)=g^k$を満たすとき,
\begin{eqnarray}
\hol C_n=\langle r,t|r^m=t^n=1,rtr^{-1}=t^k\rangle
\end{eqnarray}
holcnと同様のため省略.
$m=2$とすれば,
\begin{eqnarray}
\hol C_n=\langle r,t|r^2=t^n=1,rtr=t^{-1}\rangle
\end{eqnarray}
となることから, これは二面体群の一般化になっている. 以下では巡回群のHolomorphをすべて求めることを目指す.
preholを今後のために一般化しておく.
$C_n=\langle g\rangle$の自己同型群$\aut C_n\cong C_{q_1}\times C_{q_2}\times\cdots\times C_{q_s}$の生成元$\psi_1,\psi_2,\cdots,\psi_s$について,
\begin{eqnarray}\left\{\begin{aligned}
&\psi_1(g)=g^{a_1}\\
&\psi_2(g)=g^{a_2}\\
&\cdots\\
&\psi_s(g)=g^{a_s}\\
&{\psi_1}^{q_1}={\psi_2}^{q_2}=\cdots={\psi_s}^{q_s}={\rm id}
\end{aligned}\right.\end{eqnarray}
が成立しているとする.
このとき, $\hol C_n$は次の関係式を満たす$r_1,r_2,\cdots,r_s,t$から生成される.
\begin{eqnarray}\left\{\begin{aligned}
&{r_1}^{q_1}={r_2}^{q_2}=\cdots={r_s}^{q_s}=t^n=1\\
&r_1t{r_1}^{-1}=t^{a_1}\\
&r_2t{r_2}^{-1}=t^{a_2}\\
&\cdots\\
&r_st{r_s}^{-1}=t^{a_s}
\end{aligned}\right.\end{eqnarray}
$t=(g,{\rm id}),r_1=(e,\psi_1),r_2=(e,\psi_2),\cdots,r_s=(e,\psi_s)$とおくと,
\begin{eqnarray}
{r_1}^{q_1}={r_2}^{q_2}=\cdots={r_s}^{q_s}=t^n=1
\end{eqnarray}
$\hol C_n$の任意の元は$(g^i,{\psi_1}^{j_1}{\psi_2}^{j_2}\cdots{\psi_s}^{j_s})$の形で書け,
\begin{eqnarray}
(g^i,{\psi_1}^{j_1}{\psi_2}^{j_2}\cdots{\psi_s}^{j_s})&=&(g^i,{\rm id})(e,{\psi_1}^{j_1}{\psi_2}^{j_2}\cdots{\psi_s}^{j_s})\\
&=&t^i{r_1}^{j_1}{r_2}^{j_2}\cdots{r_s}^{j_s}
\end{eqnarray}
より, $r_1,r_2,\cdots,r_s,t$で生成される.
また各$r_u$について,
\begin{eqnarray}
r_ut{r_u}^{-1}&=&(e,\psi_u)(g,{\rm id})(e,\psi_u)^{-1}\\
&=&(g^{a_u},\psi_u)(e,{\psi_u}^{-1})\\
&=&(g^{a_u},{\rm id})\\
&=&t^{a_u}
\end{eqnarray}
が成り立つ.
holcnから, 巡回群の自己同型群が巡回群の直積と同型であれば, Holomorphの構造を決定できることが分かるが, autznz,strznzによってこれは実際に保証されている.
$(\znz)^{\times}$を$\znz$の乗法群とする. このとき,
\begin{eqnarray}
\aut C_n\cong(\znz)^{\times}
\end{eqnarray}
$C_n=\langle g\rangle$として, $\psi_i(g)=g^i$を満たすような$\psi_i\in\aut C_n$を取る. ここで, $n$と$i$は互いに素であるとする. このとき, $g^i$は$C_n$全体を生成するため, 全単射
\begin{eqnarray}
\Psi\colon(\znz)^{\times}&\longrightarrow&\aut C_n\\
i&\longmapsto&\psi_i
\end{eqnarray}
が得られ, これが準同型であることを示せばよい. 実際,
\begin{eqnarray}
\psi_{ij}(g)&=&g^{ij}\\
&=&(g^j)^i\\
&=&\psi_i(\psi_j(g))\\
&=&(\psi_i\circ\psi_j)(g)
\end{eqnarray}
から
\begin{eqnarray}
\Psi(ij)&=&\psi_{ij}\\
&=&\psi_i\circ\psi_j\\
&=&\Psi(i)\Psi(j)
\end{eqnarray}
が成り立ち, $\Psi$は準同型である.
さらに, この乗法群は巡回群の直積で表せることが知られている.
$p_1,p_2,\cdots,p_m$を奇素数として, $n=2^k\cdot{p_1}^{l_1}\cdot{p_2}^{l_2}\cdots{p_m}^{l_m}$と素因数分解できるとき, 乗法群$(\znz)^{\times}$は
\begin{eqnarray}
(\znz)^{\times}\cong(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^{\times}\times C_{\phi({p_1}^{l_1})}\times C_{\phi({p_2}^{l_2})}\times\cdots\times C_{\phi({p_m}^{l_m})}
\end{eqnarray}
と分解できる. ここで,
\begin{eqnarray}
(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^{\times}=
\left\{\begin{aligned}
&C_1 &(&k=1)\\
&C_2 &(&k=2)\\
C_2&\times C_{2^{k-2}} &(&{\rm otherwise})
\end{aligned}\right.\end{eqnarray}
であり, $\phi$はEulerの$\phi$関数とする.
本題ではないため省略.
以上より, holcnの形で巡回群のHolomorphが決定された.
