Holomorphで二面体群を一般化する

　本編(note) の証明と一般化.

Holomorph

$G$ を群とする. このとき,
$\begin{array}{rcl} ρ : A u t G & ⟶ & A u t G \\ ψ & ⟼ & (g \mapsto ψ (g)) \end{array}$
によって定められた半直積 $G ⋊_{ρ} A u t G$ を $G$ のHolomorphと呼び, $H o l G$ と表記する.

　巡回群のHolomorphについて, 次が成り立つ.

$C_{n} = ⟨ g ⟩$ を位数 $n$ の巡回群とし, 自己同型群が巡回群と同型であるとする.
$A u t C_{n} = {i d, ψ, ψ^{2}, \dots, ψ^{m - 1}} = ⟨ ψ ⟩ ≅ C_{m}$ が $ψ (g) = g^{k}$ を満たすとき,
$\begin{array}{r} H o l C_{n} = ⟨ r, t | r^{m} = t^{n} = 1, r t r^{- 1} = t^{k} ⟩ \end{array}$

定理2と同様のため省略.

　 $m = 2$ とすれば,
$\begin{array}{r} H o l C_{n} = ⟨ r, t | r^{2} = t^{n} = 1, r t r = t^{- 1} ⟩ \end{array}$
となることから, これは二面体群の一般化になっている. 以下では巡回群のHolomorphをすべて求めることを目指す.
　定理1を今後のために一般化しておく.

$C_{n} = ⟨ g ⟩$ の自己同型群 $A u t C_{n} ≅ C_{q_{1}} \times C_{q_{2}} \times \dots \times C_{q_{s}}$ の生成元 $ψ_{1}, ψ_{2}, \dots, ψ_{s}$ について,
$\begin{array}{r} {\begin{aligned} ψ_{1} (g) = g^{a_{1}} \\ ψ_{2} (g) = g^{a_{2}} \\ \dots \\ ψ_{s} (g) = g^{a_{s}} \\ {ψ_{1}}^{q_{1}} = {ψ_{2}}^{q_{2}} = \dots = {ψ_{s}}^{q_{s}} = i d \end{aligned} \end{array}$
が成立しているとする.
このとき, $H o l C_{n}$ は次の関係式を満たす $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{s}, t$ から生成される.
$\begin{array}{r} {\begin{aligned} {r_{1}}^{q_{1}} = {r_{2}}^{q_{2}} = \dots = {r_{s}}^{q_{s}} = t^{n} = 1 \\ r_{1} t {r_{1}}^{- 1} = t^{a_{1}} \\ r_{2} t {r_{2}}^{- 1} = t^{a_{2}} \\ \dots \\ r_{s} t {r_{s}}^{- 1} = t^{a_{s}} \end{aligned} \end{array}$

$t = (g, i d), r_{1} = (e, ψ_{1}), r_{2} = (e, ψ_{2}), \dots, r_{s} = (e, ψ_{s})$ とおくと,
$\begin{array}{r} {r_{1}}^{q_{1}} = {r_{2}}^{q_{2}} = \dots = {r_{s}}^{q_{s}} = t^{n} = 1 \end{array}$
$H o l C_{n}$ の任意の元は $(g^{i}, {ψ_{1}}^{j_{1}} {ψ_{2}}^{j_{2}} \dots {ψ_{s}}^{j_{s}})$ の形で書け,
$\begin{array}{rcl} (g^{i}, {ψ_{1}}^{j_{1}} {ψ_{2}}^{j_{2}} \dots {ψ_{s}}^{j_{s}}) & = & (g^{i}, i d) (e, {ψ_{1}}^{j_{1}} {ψ_{2}}^{j_{2}} \dots {ψ_{s}}^{j_{s}}) \\ = & t^{i} {r_{1}}^{j_{1}} {r_{2}}^{j_{2}} \dots {r_{s}}^{j_{s}} \end{array}$
より, $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{s}, t$ で生成される.
また各 $r_{u}$ について,
$\begin{array}{rcl} r_{u} t {r_{u}}^{- 1} & = & (e, ψ_{u}) (g, i d) (e, ψ_{u})^{- 1} \\ = & (g^{a_{u}}, ψ_{u}) (e, {ψ_{u}}^{- 1}) \\ = & (g^{a_{u}}, i d) \\ = & t^{a_{u}} \end{array}$
が成り立つ.

　定理2から, 巡回群の自己同型群が巡回群の直積と同型であれば, Holomorphの構造を決定できることが分かるが, 定理3,定理4によってこれは実際に保証されている.

$(Z / n Z)^{\times}$ を $Z / n Z$ の乗法群とする. このとき,
$\begin{array}{r} A u t C_{n} ≅ (Z / n Z)^{\times} \end{array}$

$C_{n} = ⟨ g ⟩$ として, $ψ_{i} (g) = g^{i}$ を満たすような $ψ_{i} \in A u t C_{n}$ を取る. ここで, $n$ と $i$ は互いに素であるとする. このとき, $g^{i}$ は $C_{n}$ 全体を生成するため, 全単射
$\begin{array}{rcl} Ψ : (Z / n Z)^{\times} & ⟶ & A u t C_{n} \\ i & ⟼ & ψ_{i} \end{array}$
が得られ, これが準同型であることを示せばよい. 実際,
$\begin{array}{rcl} ψ_{i j} (g) & = & g^{i j} \\ = & (g^{j})^{i} \\ = & ψ_{i} (ψ_{j} (g)) \\ = & (ψ_{i} \circ ψ_{j}) (g) \end{array}$
から
$\begin{array}{rcl} Ψ (i j) & = & ψ_{i j} \\ = & ψ_{i} \circ ψ_{j} \\ = & Ψ (i) Ψ (j) \end{array}$
が成り立ち, $Ψ$ は準同型である.

　さらに, この乗法群は巡回群の直積で表せることが知られている.

$p_{1}, p_{2}, \dots, p_{m}$ を奇素数として, $n = 2^{k} \cdot {p_{1}}^{l_{1}} \cdot {p_{2}}^{l_{2}} \dots {p_{m}}^{l_{m}}$ と素因数分解できるとき, 乗法群 $(Z / n Z)^{\times}$ は
$\begin{array}{r} (Z / n Z)^{\times} ≅ (Z / 2^{k} Z)^{\times} \times C_{ϕ ({p_{1}}^{l_{1}})} \times C_{ϕ ({p_{2}}^{l_{2}})} \times \dots \times C_{ϕ ({p_{m}}^{l_{m}})} \end{array}$
と分解できる. ここで,
$\begin{array}{r} (Z / 2^{k} Z)^{\times} = {\begin{aligned} C_{1} & ( & k = 1) \\ C_{2} & ( & k = 2) \\ C_{2} & \times C_{2^{k - 2}} & ( & o t h e r w i s e) \end{aligned} \end{array}$
であり, $ϕ$ はEulerの $ϕ$ 関数とする.