【リーマン幾何学】Warped積多様体の曲率

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　リーマン直積多様体の一般化の一つであるWarped積多様体の曲率の公式を証明します。

Warped積多様体

$(B, h), (F, k)$ を擬リーマン多様体とし、 $f \in C^{2} (B)$ とする。 $M = B \times F$ とし、 $M$ 上の擬リーマン計量を
$g = h + f^{2} k$
とする。このとき $(M, g)$ を $B$ と $F$ のWarped積多様体と呼び、 $M = B \times_{f} F$ と表す。

$B$ の適当な座標を ${x^{i}}$ とし、 $F$ の適当な座標を ${y^{α}}$ とし、 $M$ の座標を ${x^{i}, y^{α}}$ とすれば、
$g = h_{i j} d x^{i} d x^{j} + f (x)^{2} k_{α β} d y^{α} d y^{β}$
と表されます。

　 $π^{B} : M \to B, π^{F} : M \to F$ をそれぞれの因子への射影とします。 $T_{p} M$ に対して
$F_{p} := \ker π_{*}^{B}$
とし、 $F_{p}$ の $g$ に関する直交補空間を $B_{p}$ とします。さらに点 $p$ に部分空間 $F_{p}, B_{p}$ を対応させる分布を $F, B$ とします。

　 $X \in Γ (T B)$ に対して、 $\overset{―}{X} \in Γ (B)$ で $π_{*}^{B} (\overset{―}{X}) = X$ となるものがただ一つ存在します。同様に $ξ \in Γ (T F)$ に対して、 $\overset{―}{ξ} \in Γ (F)$ で $π_{*}^{F} (\overset{―}{ξ}) = ξ$ となるものがただ一つ存在します。また $B, F$ 上のスカラー関数を $π^{B}, π^{F}$ で $M$ 上に引き戻したものも同じ記号で表すことにします。

接続の係数

　曲率を計算するためにまずリーマン接続の係数を計算します。

擬リーマン多様体 $(B, h), (F, k)$ と $f \in C^{2} (B)$ に対して、Warped積を $(M = B \times_{f} F, g = h + f^{2} k)$ とする。 $^{g} \nabla,^{h} \nabla,^{k} \nabla$ を $(M, g), (B, h), (F, k)$ のリーマン接続とする。
このとき $X, Y \in Γ (B), ξ, ζ \in Γ (F)$ に対して
$\begin{aligned} ^{g} \nabla_{\overset{―}{X}} \overset{―}{Y} & = \overset{―}{^{h} \nabla_{X} Y} \\ ^{g} \nabla_{\overset{―}{X}} \overset{―}{ξ} & =^{g} \nabla_{\overset{―}{ξ}} \overset{―}{X} = \frac{1}{f} X (f) \overset{―}{ξ} \\ ^{g} \nabla_{\bar{ξ}} \bar{ζ} & = \overset{―}{^{k} \nabla_{ξ} ζ} - \frac{1}{f} g (ξ, ζ)^{g} \nabla f \end{aligned}$
が成り立つ。

また局所座標では接続の係数は以下のように与えられる。 $B$ の適当な座標を ${x^{i}}$ とし、 $F$ の適当な座標を ${y^{α}}$ とし、 $M$ の座標を ${x^{i}, y^{α}}$ とする。 $^{g} \nabla,^{h} \nabla,^{k} \nabla$ の接続の係数を $^{g} Γ_{B C}^{A},^{h} Γ_{j k}^{i},^{k} Γ_{β γ}^{α}$ とすると、
$\begin{aligned} ^{g} Γ_{j k}^{i} & =^{h} Γ_{j k}^{i} \\ ^{g} Γ_{i β}^{α} & = \frac{1}{f} \partial_{i} f δ_{β}^{α} \\ ^{g} Γ_{β γ}^{α} & =^{k} Γ_{β γ}^{α} \\ ^{g} Γ_{β γ}^{i} & = - \frac{1}{f} \nabla^{i} f g_{α β} \end{aligned}$
であり、他は0である。

$^{g} Γ_{j C}^{i} = \frac{1}{2} g^{i m} (\partial_{j} g_{m C} + \partial_{C} g_{m j} - \partial_{m} g_{j C})$
より
$\begin{aligned} ^{g} Γ_{j l}^{i} & = \frac{1}{2} g^{i m} (\partial_{j} g_{m l} + \partial_{l} g_{m j} - \partial_{m} g_{j l}) = \frac{1}{2} h^{i m} (\partial_{j} h_{m l} + \partial_{l} h_{m j} - \partial_{m} h_{j l}) =^{h} Γ_{j l}^{i} \\ ^{g} Γ_{j α}^{i} & = 0 \end{aligned}$
また
$^{g} Γ_{α β}^{i} = \frac{1}{2} g^{i m} (\partial_{α} g_{m β} + \partial_{β} g_{m α} - \partial_{m} g_{α β}) = - \frac{1}{2} g^{i m} \partial_{m} (f^{2} k_{α β}) = - \frac{1}{f} (\nabla^{i} f) g_{α β}$
となる。

さらに
$^{g} Γ_{i C}^{α} = \frac{1}{2} \frac{1}{f^{2}} k^{α γ} (\partial_{i} g_{γ C} + \partial_{C} g_{γ i} - \partial_{γ} g_{i C})$
より
$\begin{aligned} ^{g} Γ_{i j}^{α} & = \frac{1}{2} \frac{1}{f^{2}} k^{α γ} (\partial_{i} g_{γ j} + \partial_{j} g_{γ i} - \partial_{γ} g_{i j}) = 0 \\ ^{g} Γ_{i β}^{α} & = \frac{1}{2} \frac{1}{f^{2}} k^{α γ} (\partial_{i} g_{γ β} + \partial_{β} g_{γ i} - \partial_{γ} g_{i β}) = \frac{1}{2} \frac{1}{f^{2}} k^{α γ} \partial_{i} (f^{2} k_{γ β}) = \frac{1}{f} \nabla_{i} f δ_{β}^{α} \end{aligned}$
となる。

最後に
$^{g} Γ_{β δ}^{α} = \frac{1}{2} \frac{1}{f^{2}} k^{α γ} (\partial_{β} g_{γ δ} + \partial_{δ} g_{γ β} - \partial_{γ} g_{β δ}) =^{k} Γ_{β δ}^{α}$
となる。

リーマン曲率テンソル

　擬リーマン多様体 $(M, g)$ においてリーマン曲率テンソルは
$R (X, Y) Z = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z - \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{[X, Y]} Z$
で与えられます。Warped積多様体のリーマン曲率テンソルは次で与えられます。

リーマン曲率テンソル

擬リーマン多様体 $(B, h), (F, k)$ と $f \in C^{2} (B)$ に対して、Warped積を $(M = B \times_{f} F, g = h + f^{2} k)$ とする。 $^{g} R,^{h} R,^{k} R$ を $(M, g), (B, h), (F, k)$ のリーマン曲率テンソルとする。 $X, Y, Z \in Γ (B), U, V, W \in Γ (F)$ とするとき、次が成り立つ。
$\begin{aligned} ^{g} R (\overset{―}{X}, \overset{―}{Y}) \overset{―}{Z} & = \overset{―}{^{h} R (X, Y) Z} \\ ^{g} R (\overset{―}{V}, \overset{―}{X}) \overset{―}{Y} & = - \frac{H^{f} (X, Y)}{f} V \\ ^{g} R (\overset{―}{X}, \overset{―}{Y}) \overset{―}{V} & =^{g} R (\overset{―}{V}, \overset{―}{W}) \overset{―}{X} = 0 \\ ^{g} R (\overset{―}{X}, \overset{―}{V}) \overset{―}{W} & = \frac{g (V, W)}{f} \overset{―}{^{h} \nabla_{X}^{h} \nabla f} \\ ^{g} R (\overset{―}{V}, \overset{―}{W}) \overset{―}{U} & = \overset{―}{^{k} R (V, W) U} + \frac{| |^{h} \nabla f | |_{h}^{2}}{f^{2}} (g (\overset{―}{V}, \overset{―}{U}) \overset{―}{W} - g (\overset{―}{W}, \overset{―}{U}) \overset{―}{V}) \end{aligned}$
ここで $H^{f} (X, Y) = (\nabla d f) (X, Y)$ は $f$ のHessianである。

また局所座標では接続の係数は以下のように与えられる。 $B$ の適当な座標を ${x^{i}}$ とし、 $F$ の適当な座標を ${y^{α}}$ とし、 $M$ の座標を ${x^{i}, y^{α}}$ とする。このとき次が成り立つ。
$\begin{aligned} ^{g} R (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{l} & =^{h} R (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{l} \\ ^{g} R (\partial_{α}, \partial_{i}) \partial_{j} & = - \frac{1}{f} H^{f} (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{α} \\ ^{g} R (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{α} & =^{g} R (\partial_{α}, \partial_{β}) \partial_{i} = 0 \\ ^{g} R (\partial_{i}, \partial_{α}) \partial_{β} & = - \frac{1}{f} g_{α β}^{h} \nabla_{i}^{h} \nabla f \\ ^{g} R (\partial_{α}, \partial_{β}) \partial_{γ} & =^{k} R (\partial_{α}, \partial_{β}) \partial_{γ} + \frac{| |^{h} \nabla f | |_{h}^{2}}{f^{2}} (g_{α γ} \partial_{β} - g_{β γ} \partial_{α}) \end{aligned}$

$^{g} R (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{l} =^{h} R (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{l}$ は明らかである。

$\begin{aligned} ^{g} R (\partial_{α}, \partial_{i}) \partial_{j} & = \nabla_{α} \nabla_{i} \partial_{j} - \nabla_{i} \nabla_{α} \partial_{j} = \nabla_{α} (^{g} Γ_{i j}^{l} \partial_{l}) - \nabla_{i} (^{g} Γ_{α j}^{β} \partial_{β}) \\ =^{g} Γ_{i j}^{l}^{g} Γ_{α l}^{β} \partial_{β} - \nabla_{i} (\frac{1}{f} \partial_{j} f \partial_{α}) \\ =^{g} Γ_{i j}^{l}^{g} Γ_{α l}^{β} \partial_{β} + \frac{1}{f^{2}} \partial_{i} f \partial_{j} f \partial_{α} - \frac{1}{f} \partial_{i} \partial_{j} f \partial_{α} - \frac{1}{f} \partial_{j} f \nabla_{i} \partial_{α} \\ =^{g} Γ_{i j}^{l} \frac{1}{f} \partial_{l} f \partial_{α} - \frac{1}{f} \partial_{i} \partial_{j} f \partial_{α} + \frac{1}{f^{2}} \partial_{i} f \partial_{j} f \partial_{α} - \frac{1}{f^{2}} \partial_{j} f \partial_{i} f \partial_{α} \\ = - \frac{1}{f} (\partial_{i} \partial_{j} f -^{g} Γ_{i j}^{l} \partial_{l} f) \partial_{α} = - \frac{1}{f} H^{f} (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{α} \\ ^{g} R (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{α} & = \nabla_{i} \nabla_{j} \partial_{α} - (i, j 入れ替え) \\ = \nabla_{i} (\frac{1}{f} \partial_{j} f \partial_{α}) - (i, j 入れ替え) \\ = - \frac{1}{f^{2}} \partial_{i} f \partial_{j} f \partial_{α} + \frac{1}{f} \partial_{i} \partial_{j} f \partial_{α} + \frac{1}{f} \partial_{j} f \frac{1}{f} \partial_{i} f \partial_{α} - (i, j 入れ替え) = 0 \\ ^{g} R (\partial_{α}, \partial_{β}) \partial_{i} & = \nabla_{α} \nabla_{β} \partial_{i} - (α, β 入れ替え) \\ = \nabla_{α} (\frac{1}{f} \partial_{i} f \partial_{β}) - (α, β 入れ替え) \\ = \frac{1}{f} \partial_{i} f^{k} Γ_{α β}^{γ} \partial_{γ} - (α, β 入れ替え) = 0 \\ ^{g} R (\partial_{i}, \partial_{α}) \partial_{β} & = \nabla_{i} \nabla_{α} \partial_{β} - \nabla_{α} \nabla_{i} \partial_{β} \\ = \nabla_{i} (^{k} Γ_{α β}^{γ} \partial_{γ} +^{g} Γ_{α β}^{j} \partial_{j}) - \nabla_{α} (^{g} Γ_{i β}^{γ} \partial_{γ}) \\ =^{k} Γ_{α β}^{γ} \frac{1}{f} \partial_{i} f \partial_{γ} + \nabla_{i} (- \frac{1}{f} g_{α β} \nabla^{j} f \partial_{j}) - \nabla_{α} (\frac{1}{f} \partial_{i} f \partial_{β}) \\ =^{k} Γ_{α β}^{γ} \frac{1}{f} \partial_{i} f \partial_{γ} - \frac{1}{f^{2}} g_{α β} g r a d f - \frac{1}{f} g_{α β} \nabla_{i} g r a d f - \frac{1}{f} \partial_{i} (^{k} Γ_{α β}^{γ} \partial_{γ} + Γ_{α β}^{j} \partial_{j}) \\ = - \frac{1}{f^{2}} g_{α β} g r a d f - \frac{1}{f} g_{α β} \nabla_{i} g r a d f + \frac{1}{f} g_{α β} \nabla_{i} g r a d f \\ = - \frac{1}{f} g_{α β} \nabla_{i} g r a d f \end{aligned}$
また各ファイバーをリーマン部分多様体と見なせば第二基本形式は
$I I (\partial_{α}, \partial_{β}) = H_{α β}^{i} \partial_{i} =^{g} Γ_{α β}^{i} \partial_{i} = - \frac{1}{f} \nabla^{i} f g_{α β} \partial_{i}$
であるから、ガウスの方程式
$\begin{array}{r} ^{g} R_{γ α β}^{δ} =^{k} R_{γ α β}^{δ} - g^{i j} H_{i β γ} H_{j α}^{δ} + g^{i j} H_{i α γ} H_{j β}^{δ} \end{array}$
より
$\begin{array}{r} ^{g} R (\partial_{α}, \partial_{β}) \partial_{γ} =^{k} R (\partial_{α}, \partial_{β}) \partial_{γ} + \frac{1}{f^{2}} | | g r a d f | |_{g}^{2} (g_{α γ} \partial_{β} - g_{β γ} \partial_{α}) \end{array}$
となる。

Ricciテンソル

　擬リーマン多様体 $(M, g)$ においてRicciテンソルは
$R i c (X, Y) = t r [Z \mapsto R (Z, X, Y)]$
で与えられます。Warped積多様体のRicciテンソルについては次が成り立ちます。　

擬リーマン多様体 $(B, h), (F, k)$ と $f \in C^{2} (B)$ に対して、Warped積を $(M = B \times_{f} F, g = h + f^{2} k)$ とする。 $d_{F} = d i m F$ とする。 $^{g} R i c,^{h} R i c,^{k} R i c$ を $(M, g), (B, h), (F, k)$ のRicciテンソルとする。 $X, Y \in Γ (B), V, W \in Γ (F)$ とするとき、次が成り立つ。
$\begin{aligned} ^{g} R i c (\overset{―}{X}, \overset{―}{Y}) & =^{h} R i c (X, Y) - \frac{d_{F}}{f} H^{f} (X, Y) \\ ^{g} R i c (\overset{―}{X}, \overset{―}{V}) & = 0 \\ ^{g} R i c (\overset{―}{V}, \overset{―}{W}) & =^{k} R i c (V, W) - g (\overset{―}{V}, \overset{―}{W}) (\frac{^{h} Δ f}{f} + (d_{F} - 1) \frac{| |^{h} \nabla f | |_{h}^{2}}{f^{2}}) \end{aligned}$

また局所座標では接続の係数は以下のように与えられる。 $B$ の適当な座標を ${x^{i}}$ とし、 $F$ の適当な座標を ${y^{α}}$ とし、 $M$ の座標を ${x^{i}, y^{α}}$ とする。このとき次が成り立つ。
$\begin{aligned} ^{g} {R i c}_{i j} & =^{h} {R i c}_{i j} - \frac{d_{F}}{f} H_{i j}^{f} \\ ^{g} {R i c}_{i α} & = 0 \\ ^{g} {R i c}_{α β} & =^{k} {R i c}_{α β} - g_{α β} (\frac{^{h} Δ f}{f} + (d_{F} - 1) \frac{| |^{h} \nabla f | |_{h}^{2}}{f^{2}}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} ^{g} R i c (\partial_{i}, \partial_{j}) & = g^{A B} g (^{g} R (\partial_{A}, \partial_{i}) \partial_{j}, \partial_{B}) \\ = g^{l m} g (^{g} R (\partial_{l}, \partial_{i}) \partial_{j}, \partial_{m}) + g^{α β} g (^{g} R (\partial_{α}, \partial_{i}) \partial_{j}, \partial_{β}) \\ =^{h} R i c (\partial_{i}, \partial_{j}) - \frac{d_{F}}{f} H^{f} (\partial_{i}, \partial_{j}) \\ ^{g} R i c (\partial_{i}, \partial_{α}) & = g^{A B} g (^{g} R (\partial_{A}, \partial_{i}) \partial_{α}, \partial_{B}) \\ = g^{l m} g (^{g} R (\partial_{l}, \partial_{i}) \partial_{α}, \partial_{m}) + g^{β γ} g (^{g} R (\partial_{β}, \partial_{i}) \partial_{α}, \partial_{γ}) \\ = \frac{1}{f} g_{α β} g^{β γ} g (\nabla_{i} g r a d f, \partial_{γ}) = 0 \\ ^{g} R i c (\partial_{α}, \partial_{β}) & = g^{A B} g (^{g} R (\partial_{A}, \partial_{α}) \partial_{β}, \partial_{B}) \\ = g^{l m} g (^{g} R (\partial_{l}, \partial_{α}) \partial_{β}, \partial_{m}) + g^{γ δ} g (^{g} R (\partial_{γ}, \partial_{α}) \partial_{β}, \partial_{δ}) \\ = - \frac{1}{f} g^{l m} g_{α β} g (\nabla_{l} g r a d f, \partial_{m}) + \frac{1}{f^{2}}^{k} R i c (\partial_{α}, \partial_{β}) + \frac{1}{f} | | g r a d f | |_{g}^{2} g^{δ γ} (g_{γ β} g_{α δ} - g_{α β} g_{γ δ}) \\ = - \frac{^{h} Δ f}{f} g_{α β} + \frac{1}{f^{2}}^{k} R i c (\partial_{α}, \partial_{β}) - \frac{d_{F} - 1}{f^{2}} | | g r a d f | |_{g}^{2} g_{α β} \end{aligned}$

断面曲率

リーマン曲率テンソル

擬リーマン多様体 $(B, h), (F, k)$ と $f \in C^{2} (B)$ に対して、Warped積を $(M = B \times_{f} F, g = h + f^{2} k)$ とする。 $^{g} R,^{h} R,^{k} R$ を $(M, g), (B, h), (F, k)$ のリーマン曲率テンソルとし、 $K^{g}, K^{h}, K^{k}$ を $(M, g), (B, h), (F, k)$ の断面曲率とする。 $X, Y \in Γ (B), U, V \in Γ (F)$ とするとき、次が成り立つ。
$\begin{aligned} K^{g} (\overset{―}{X}, \overset{―}{Y}) & = K^{h} (X, Y) \\ K^{g} (\overset{―}{V}, \overset{―}{X}) & = - \frac{H^{f} (X, Y)}{f | | X | |_{h}^{2}} \\ K^{g} (\overset{―}{V}, \overset{―}{W}) & = \frac{K^{k} (V, W)}{f^{2}} - \frac{| |^{h} \nabla f | |_{h}^{2}}{f^{2}} \end{aligned}$

$X, Y, V, W$ などは $g$ に関して正規直交とする。
$\begin{aligned} K^{g} (\overset{―}{X}, \overset{―}{Y}) & = | | X | |_{g}^{2} | | Y | |_{g}^{2} g (^{g} R (\overset{―}{X}, \overset{―}{Y}) \overset{―}{Y}, \overset{―}{X}) = | | X | |_{h}^{2} | | Y | |_{h}^{2} h (^{h} R (\overset{―}{X}, \overset{―}{Y}) \overset{―}{Y}, \overset{―}{X}) = K^{h} (X, Y) \\ K^{g} (\overset{―}{V}, \overset{―}{X}) & = | | X | |_{g}^{2} | | V | |_{g}^{2} g (^{g} R (\overset{―}{V}, \overset{―}{X}) \overset{―}{X}, \overset{―}{V}) = - \frac{H^{f} (X, X)}{f} | | X | |_{g}^{2} \\ K^{g} (\overset{―}{V}, \overset{―}{W}) & = | | V | |_{g}^{2} | | W | |_{g}^{2} g (^{g} R (\overset{―}{V}, \overset{―}{W}) \overset{―}{W}, \overset{―}{V}) \\ = | | V | |_{g}^{2} | | W | |_{g}^{2} g (\overset{―}{^{k} R (V, W) W}, \overset{―}{V}) - \frac{| |^{h} \nabla f | |_{h}^{2}}{f^{2}} \\ = | | V | |_{g}^{2} | | W | |_{g}^{2} | | V | |_{h}^{2} | | W | |_{h}^{2} f^{2} \frac{k (^{k} R (V, W) W, V)}{| | V | |_{h}^{2} | | W | |_{h}^{2}} - \frac{| |^{h} \nabla f | |_{h}^{2}}{f^{2}} \\ = \frac{K^{k} (V, W)}{f^{2}} - \frac{| |^{h} \nabla f | |_{h}^{2}}{f^{2}} \end{aligned}$

例

　ある多様体を定曲率空間など曲率が単純な空間と少し複雑な空間のWarped積と見なすことができれば、曲率を計算する必要のある多様体の次元が実質的には減るので計算が楽になります。

　例えば、2次元のLorentz多様体 $(B, g_{B})$ と2次元定曲率リーマン多様体 $(F, g_{F})$ のWarped積 $(M = B \times_{r} F, g)$ を考えてみます。すなわち
$\begin{aligned} g_{B} & = - e^{2 λ} d t^{2} + e^{2 ν} d r^{2} \\ g_{F} & = d θ^{2} + χ (θ)^{2} d ϕ^{2} \\ χ (θ) & = {\begin{cases} \sin θ (k = 1) \\ θ (k = 0) \\ \sinh θ (k = - 1) \end{cases} \\ g & = g_{B} + r^{2} g_{F} \end{aligned}$
とします。ここで $k$ は $F$ の断面曲率です。Schwartzschild時空などもこのタイプの時空です。この場合 $M$ の曲率を計算するためには実質的には $(B, g_{B})$ だけ計算すればよいことになります。

2次元のLorentz多様体 $(B, g)$
$g = ϵ e^{2 λ (t, r)} d t^{2} + e^{2 ν (t, r)} d r^{2}, ϵ = \pm 1$
に対して、
$\begin{aligned} Γ_{t t}^{t} & = \partial_{t} λ \\ Γ_{t r}^{t} & = \partial_{r} λ \\ Γ_{r r}^{t} & = - ϵ e^{- 2 (λ - ν)} \partial_{t} ν \\ Γ_{t t}^{r} & = - ϵ e^{2 (λ - ν)} \partial_{r} λ \\ Γ_{t r}^{r} & = \partial_{t} ν \\ Γ_{r r}^{r} & = \partial_{r} ν \end{aligned}$
となる。また断面曲率は
$K = - e^{2 ν} \partial_{r} (λ \partial_{r} λ) + e^{- 2 ν} \partial_{r} λ \partial_{r} ν - ϵ e^{- 2 λ} \partial_{t} (ν \partial_{t} ν) + ϵ e^{- 2 λ} \partial_{t} λ \partial_{t} ν$
である。また $f \in C^{2} (B)$ に対して、
$\begin{aligned} H_{t t}^{f} & = \partial_{t}^{2} f - \partial_{t} λ \partial_{t} f + ϵ e^{2 (λ - ν)} \partial_{r} λ \partial_{r} f \\ H_{t r}^{f} & = \partial_{t} \partial_{r} f - \partial_{r} λ \partial_{t} f - \partial_{t} ν \partial_{r} f \\ H_{r r}^{f} & = \partial_{r}^{2} f + ϵ e^{- 2 (λ - ν)} \partial_{t} ν \partial_{t} f - \partial_{r} ν \partial_{r} f \end{aligned}$
となる。

　この補題を使って $(M, g)$ のRicciテンソルを計算してみます。 $B$ に平行な成分は
$\begin{aligned} ^{M} {R i c}_{t t} & =^{B} {R i c}_{t t} - \frac{d_{F}}{r} H_{t t}^{r} = K (g_{B})_{t t} - \frac{2}{r} H_{t t}^{r} = - K e^{2 λ} + \frac{2}{r} e^{2 (λ - ν)} \partial_{r} λ \\ ^{M} {R i c}_{t r} & = K (g_{B})_{t r} - \frac{2}{r} H_{t r}^{r} = \frac{2}{r} \partial_{t} ν \\ ^{M} {R i c}_{r r} & = K (g_{B})_{r r} - \frac{2}{r} H_{r r}^{r} = K e^{2 ν} + \frac{2}{r} \partial_{r} ν \end{aligned}$
であり、 $F$ に平行な成分は
$\begin{aligned} ^{M} {R i c}_{α β} & =^{F} {R i c}_{α β} - g_{α β} (\frac{Δ r}{r} + \frac{| | \nabla r | |^{2}}{r^{2}}) = (k - r Δ r - | | \nabla r | |^{2}) (g_{F})_{α β} \end{aligned}$
である。ただし
$| | \nabla r | |^{2} = g^{r r} = e^{- 2 ν}, Δ r = e^{- (λ + ν)} \partial_{r} (e^{λ + ν} e^{- 2 ν}) = e^{- 2 ν} \partial_{r} (λ - ν)$
である。