【リーマン幾何学】Warped積多様体の曲率
リーマン直積多様体の一般化の一つであるWarped積多様体の曲率の公式を証明します。
$(B,h),(F,k)$を擬リーマン多様体とし、$f\in C^2(B)$とする。$M=B\times F$とし、$M$上の擬リーマン計量を
$$
g=h+f^2k
$$
とする。このとき$(M,g)$を$B$と$F$のWarped積多様体と呼び、$M=B\times_fF$と表す。
$B$の適当な座標を$\{x^i\}$とし、$F$の適当な座標を$\{y^\alpha\}$とし、$M$の座標を$\{x^i,y^\alpha\}$とすれば、
$$
g=h_{ij}dx^idx^j+f(x)^2k_{\alpha\beta}dy^\alpha dy^\beta
$$
と表されます。
$\pi^B:M\to B,\ \pi^F:M\to F$をそれぞれの因子への射影とします。$T_pM$に対して
$$
\mathcal{F}_p:=\ker\pi^B_*
$$
とし、$\mathcal{F}_p$の$g$に関する直交補空間を$\mathcal{B}_p$とします。さらに点$p$に部分空間$\mathcal{F}_p,\mathcal{B}_p$を対応させる分布を$\mathcal{F},\mathcal{B}$とします。
$X\in\Gamma(TB)$に対して、$\overline X\in\Gamma(\mathcal{B})$で$\pi^B_*(\overline X)=X$となるものがただ一つ存在します。同様に$\xi\in\Gamma(TF)$に対して、$\overline \xi\in\Gamma(\mathcal{F})$で$\pi^F_*(\overline \xi)=\xi$となるものがただ一つ存在します。また$B,F$上のスカラー関数を$\pi^B,\pi^F$で$M$上に引き戻したものも同じ記号で表すことにします。
接続の係数
曲率を計算するためにまずリーマン接続の係数を計算します。
擬リーマン多様体$(B,h),(F,k)$と$f\in C^2(B)$に対して、Warped積を$(M=B\times_fF,g=h+f^2k)$とする。${}^g\nabla,{}^h\nabla,{}^k\nabla$を$(M,g),(B,h),(F,k)$のリーマン接続とする。
このとき$X,Y\in\Gamma(\mathcal{B}),\xi,\zeta\in\Gamma(\mathcal{F})$に対して
\begin{align}
{}^g\nabla_{\overline X}\overline Y&=\overline{{}^h\nabla_XY}\\
{}^g\nabla_{\overline X}\overline\xi&={}^g\nabla_{\overline\xi} \overline X=\frac{1}{f}X(f)\overline\xi\\
{}^g\nabla_{\bar\xi}\bar\zeta&=\overline{{}^k\nabla_{\xi}\zeta}-\frac{1}{f}g(\xi,\zeta){}^g\nabla f
\end{align}
が成り立つ。
また局所座標では接続の係数は以下のように与えられる。$B$の適当な座標を$\{x^i\}$とし、$F$の適当な座標を$\{y^\alpha\}$とし、$M$の座標を$\{x^i,y^\alpha\}$とする。${}^g\nabla,{}^h\nabla,{}^k\nabla$の接続の係数を${}^g\Gamma^A_{BC},{}^h\Gamma^i_{jk},{}^k\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}$とすると、
\begin{align}
{}^g\Gamma^i_{jk}&={}^h\Gamma^i_{jk}\\
{}^g\Gamma^\alpha_{i\beta}&=\frac{1}{f}\partial_if\delta^\alpha_\beta\\
{}^g\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}&={}^k\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}\\
{}^g\Gamma^i_{\beta\gamma}&=-\frac{1}{f}\nabla^ifg_{\alpha\beta}
\end{align}
であり、他は0である。
$$
{}^g\Gamma^i_{jC}=\frac{1}{2}g^{im}(\partial_jg_{mC}+\partial_Cg_{mj}-\partial_mg_{jC})
$$
より
\begin{align}
{}^g\Gamma^i_{jl}&=\frac{1}{2}g^{im}(\partial_jg_{ml}+\partial_lg_{mj}-\partial_mg_{jl})
=\frac{1}{2}h^{im}(\partial_jh_{ml}+\partial_lh_{mj}-\partial_mh_{jl})
={}^h\Gamma^i_{jl}\\
{}^g\Gamma^i_{j\alpha}&=0
\end{align}
また
$$
{}^g\Gamma^i_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{im}(\partial_\alpha g_{m\beta}+\partial_\beta g_{m\alpha}-\partial_mg_{\alpha\beta})
=-\frac{1}{2}g^{im}\partial_m(f^2k_{\alpha\beta})
=-\frac{1}{f}(\nabla^if)g_{\alpha\beta}
$$
となる。
さらに
$$
{}^g\Gamma^\alpha_{iC}=\frac{1}{2}\frac{1}{f^2}k^{\alpha\gamma}(\partial_ig_{\gamma C}+\partial_Cg_{\gamma i}-\partial_\gamma g_{iC})
$$
より
\begin{align}
{}^g\Gamma^\alpha_{ij}&=\frac{1}{2}\frac{1}{f^2}k^{\alpha\gamma}(\partial_ig_{\gamma j}+\partial_jg_{\gamma i}-\partial_\gamma g_{ij})=0\\
{}^g\Gamma^\alpha_{i\beta}&=\frac{1}{2}\frac{1}{f^2}k^{\alpha\gamma}(\partial_ig_{\gamma\beta}+\partial_\beta g_{\gamma i}-\partial_\gamma g_{i\beta})
=\frac{1}{2}\frac{1}{f^2}k^{\alpha\gamma}\partial_i(f^2k_{\gamma\beta})
=\frac{1}{f}\nabla_if\delta^\alpha_{~\beta}
\end{align}
となる。
最後に
$$
{}^g\Gamma^\alpha_{\beta\delta}=\frac{1}{2}\frac{1}{f^2}k^{\alpha\gamma}(\partial_\beta g_{\gamma \delta}+\partial_\delta g_{\gamma \beta}-\partial_\gamma g_{\beta\delta})={}^k\Gamma^\alpha_{\beta\delta}
$$
となる。
リーマン曲率テンソル
擬リーマン多様体$(M,g)$においてリーマン曲率テンソルは
$$
R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z
$$
で与えられます。Warped積多様体のリーマン曲率テンソルは次で与えられます。
擬リーマン多様体$(B,h),(F,k)$と$f\in C^2(B)$に対して、Warped積を$(M=B\times_fF,g=h+f^2k)$とする。${}^gR,{}^hR,{}^kR$を$(M,g),(B,h),(F,k)$のリーマン曲率テンソルとする。$X,Y,Z\in\Gamma(\mathcal{B}),U,V,W\in\Gamma(\mathcal{F})$とするとき、次が成り立つ。
\begin{align}
{}^gR(\overline{X},\overline Y)\overline Z&=\overline{{}^hR(X,Y)Z}\\
{}^gR(\overline{V},\overline X)\overline Y&=-\frac{H^f(X,Y)}{f}V\\
{}^gR(\overline{X},\overline Y)\overline V&={}^gR(\overline{V},\overline W)\overline X=0\\
{}^gR(\overline{X},\overline V)\overline W&=\frac{g(V,W)}{f}\overline{{}^h\nabla_X{}^h\nabla f}\\
{}^gR(\overline{V},\overline W)\overline U&=\overline{{}^kR(V,W)U}+\frac{||{}^h\nabla f||^2_h}{f^2}(g(\overline V,\overline U)\overline W-g(\overline W,\overline U)\overline V)
\end{align}
ここで$H^f(X,Y)=(\nabla df)(X,Y)$は$f$のHessianである。
また局所座標では接続の係数は以下のように与えられる。$B$の適当な座標を$\{x^i\}$とし、$F$の適当な座標を$\{y^\alpha\}$とし、$M$の座標を$\{x^i,y^\alpha\}$とする。このとき次が成り立つ。
\begin{align}
{}^gR(\partial_i,\partial_j)\partial_l&={}^hR(\partial_i,\partial_j)\partial_l\\
{}^gR(\partial_\alpha,\partial_i)\partial_j&=-\frac{1}{f}H^f(\partial_i,\partial_j)\partial_\alpha\\
{}^gR(\partial_i,\partial_j)\partial_\alpha&={}^gR(\partial_\alpha,\partial_\beta)\partial_i=0\\
{}^gR(\partial_i,\partial_\alpha)\partial_\beta&=-\frac{1}{f}g_{\alpha\beta}{}^h\nabla_i{}^h\nabla f\\
{}^gR(\partial_\alpha,\partial_\beta)\partial_\gamma&={}^kR(\partial_\alpha,\partial_\beta)\partial_\gamma+\frac{||{}^h\nabla f||^2_h}{f^2}(g_{\alpha\gamma}\partial_\beta-g_{\beta\gamma}\partial_\alpha)
\end{align}
${}^gR(\partial_i,\partial_j)\partial_l={}^hR(\partial_i,\partial_j)\partial_l$は明らかである。
\begin{align}
{}^gR(\partial_\alpha,\partial_i)\partial_j&=\nabla_\alpha\nabla_i\partial_j-\nabla_i\nabla_\alpha\partial_j
=\nabla_\alpha({}^g\Gamma^l_{ij}\partial_l)-\nabla_i({}^g\Gamma^\beta_{\alpha j}\partial_\beta)\\
&={}^g\Gamma^l_{ij}{}^g\Gamma^\beta_{\alpha l}\partial_\beta-\nabla_i\left(\frac{1}{f}\partial_jf\partial_\alpha\right)\\
&={}^g\Gamma^l_{ij}{}^g\Gamma^\beta_{\alpha l}\partial_\beta
+\frac{1}{f^2}\partial_if\partial_jf\partial_\alpha-\frac{1}{f}\partial_i\partial_jf\partial_\alpha-\frac{1}{f}\partial_jf\nabla_i\partial_\alpha\\
&={}^g\Gamma^l_{ij}\frac{1}{f}\partial_lf\partial_\alpha
-\frac{1}{f}\partial_i\partial_jf\partial_\alpha
+\frac{1}{f^2}\partial_if\partial_jf\partial_\alpha
-\frac{1}{f^2}\partial_jf\partial_if\partial_\alpha\\
&=-\frac{1}{f}(\partial_i\partial_jf-{}^g\Gamma^l_{ij}\partial_lf)\partial_\alpha
=-\frac{1}{f}H^f(\partial_i,\partial_j)\partial_\alpha\\
{}^gR(\partial_i,\partial_j)\partial_\alpha&=\nabla_i\nabla_j\partial_\alpha-(i,j入れ替え)\\
&=\nabla_i\left(\frac{1}{f}\partial_jf\partial_\alpha\right)-(i,j入れ替え)\\
&=-\frac{1}{f^2}\partial_if\partial_jf\partial_\alpha+\frac{1}{f}\partial_i\partial_jf\partial_\alpha+\frac{1}{f}\partial_jf\frac{1}{f}\partial_if\partial_\alpha-(i,j入れ替え)=0\\
{}^gR(\partial_\alpha,\partial_\beta)\partial_i&=\nabla_\alpha\nabla_\beta\partial_i-(\alpha,\beta入れ替え)\\
&=\nabla_\alpha\left(\frac{1}{f}\partial_if\partial_\beta\right)-(\alpha,\beta入れ替え)\\
&=\frac{1}{f}\partial_if{}^k\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\partial_\gamma-(\alpha,\beta入れ替え)=0\\
{}^gR(\partial_i,\partial_\alpha)\partial_\beta&=\nabla_i\nabla_\alpha\partial_\beta-\nabla_\alpha\nabla_i\partial_\beta\\
&=\nabla_i({}^k\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\partial_\gamma+{}^g\Gamma^j_{\alpha\beta}\partial_j)-\nabla_\alpha({}^g\Gamma^\gamma_{i\beta}\partial_\gamma)\\
&={}^k\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\frac{1}{f}\partial_if\partial_\gamma
+\nabla_i\left(-\frac{1}{f}g_{\alpha\beta}\nabla^jf\partial_j\right)
-\nabla_\alpha\left(\frac{1}{f}\partial_if\partial_\beta\right)\\
&={}^k\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\frac{1}{f}\partial_if\partial_\gamma
-\frac{1}{f^2}g_{\alpha\beta}{\rm grad}f
-\frac{1}{f}g_{\alpha\beta}\nabla_i{\rm grad}f
-\frac{1}{f}\partial_i({}^k\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\partial_\gamma
+\Gamma^j_{\alpha\beta}\partial_j)\\
&=-\frac{1}{f^2}g_{\alpha\beta}{\rm grad}f
-\frac{1}{f}g_{\alpha\beta}\nabla_i{\rm grad}f
+\frac{1}{f}g_{\alpha\beta}\nabla_i{\rm grad}f\\
&=-\frac{1}{f}g_{\alpha\beta}\nabla_i{\rm grad}f
\end{align}
また各ファイバーをリーマン部分多様体と見なせば第二基本形式は
$$
II(\partial_\alpha,\partial_\beta)=H^i_{\alpha\beta}\partial_i={}^g\Gamma^i_{\alpha\beta}\partial_i=-\frac{1}{f}\nabla^ifg_{\alpha\beta}\partial_i
$$
であるから、ガウスの方程式
\begin{align}
{}^gR^\delta_{\gamma\alpha\beta}={}^kR^\delta_{\gamma\alpha\beta}
-g^{ij}H_{i\beta\gamma}H_{j\alpha}^{~~~\delta}
+g^{ij}H_{i\alpha\gamma}H_{j\beta}^{~~~\delta}
\end{align}
より
\begin{align}
{}^gR(\partial_\alpha,\partial_\beta)\partial_\gamma={}^kR(\partial_\alpha,\partial_\beta)\partial_\gamma+\frac{1}{f^2}||{\rm grad}f||^2_g(g_{\alpha\gamma}\partial_\beta-g_{\beta\gamma}\partial_\alpha)
\end{align}
となる。
Ricciテンソル
擬リーマン多様体$(M,g)$においてRicciテンソルは
$$
Ric(X,Y)={\rm tr}[Z\mapsto R(Z,X,Y)]
$$
で与えられます。Warped積多様体のRicciテンソルについては次が成り立ちます。
擬リーマン多様体$(B,h),(F,k)$と$f\in C^2(B)$に対して、Warped積を$(M=B\times_fF,g=h+f^2k)$とする。$d_F={\rm dim}F$とする。${}^g{\rm Ric},{}^h{\rm Ric},{}^k{\rm Ric}$を$(M,g),(B,h),(F,k)$のRicciテンソルとする。$X,Y\in\Gamma(\mathcal{B}),V,W\in\Gamma(\mathcal{F})$とするとき、次が成り立つ。
\begin{align}
{}^g{\rm Ric}(\overline X,\overline Y)&={}^h{\rm Ric}(X,Y)-\frac{d_F}{f}H^f(X,Y)\\
{}^g{\rm Ric}(\overline X,\overline V)&=0\\
{}^g{\rm Ric}(\overline V,\overline W)&={}^k{\rm Ric}(V,W)-g(\overline V,\overline W)\left(\frac{{}^h\Delta f}{f}+(d_F-1)\frac{||{}^h\nabla f||^2_h}{f^2}\right)
\end{align}
また局所座標では接続の係数は以下のように与えられる。$B$の適当な座標を$\{x^i\}$とし、$F$の適当な座標を$\{y^\alpha\}$とし、$M$の座標を$\{x^i,y^\alpha\}$とする。このとき次が成り立つ。
\begin{align}
{}^g{\rm Ric}_{ij}&={}^h{\rm Ric}_{ij}-\frac{d_F}{f}H^f_{ij}\\
{}^g{\rm Ric}_{i\alpha}&=0\\
{}^g{\rm Ric}_{\alpha\beta}&={}^k{\rm Ric}_{\alpha\beta}-g_{\alpha\beta}\left(\frac{{}^h\Delta f}{f}+(d_F-1)\frac{||{}^h\nabla f||^2_h}{f^2}\right)
\end{align}
\begin{align} {}^g{\rm Ric}(\partial_i,\partial_j)&=g^{AB}g({}^gR(\partial_A,\partial_i)\partial_j,\partial_B)\\ &=g^{lm}g({}^gR(\partial_l,\partial_i)\partial_j,\partial_m) +g^{\alpha\beta}g({}^gR(\partial_\alpha,\partial_i)\partial_j,\partial_\beta)\\ &={}^h{\rm Ric}(\partial_i,\partial_j)-\frac{d_F}{f}H^f(\partial_i,\partial_j)\\ {}^g{\rm Ric}(\partial_i,\partial_\alpha)&=g^{AB}g({}^gR(\partial_A,\partial_i)\partial_\alpha,\partial_B)\\ &=g^{lm}g({}^gR(\partial_l,\partial_i)\partial_\alpha,\partial_m) +g^{\beta\gamma}g({}^gR(\partial_\beta,\partial_i)\partial_\alpha,\partial_\gamma)\\ &=\frac{1}{f}g_{\alpha\beta}g^{\beta\gamma}g(\nabla_i{\rm grad}f,\partial_\gamma)=0\\ {}^g{\rm Ric}(\partial_\alpha,\partial_\beta)&=g^{AB}g({}^gR(\partial_A,\partial_\alpha)\partial_\beta,\partial_B)\\ &=g^{lm}g({}^gR(\partial_l,\partial_\alpha)\partial_\beta,\partial_m)+g^{\gamma\delta}g({}^gR(\partial_\gamma,\partial_\alpha)\partial_\beta,\partial_\delta)\\ &=-\frac{1}{f}g^{lm}g_{\alpha\beta}g(\nabla_l{\rm grad}f,\partial_m)+\frac{1}{f^2}{}^k{\rm Ric}(\partial_\alpha,\partial_\beta) +\frac{1}{f}||{\rm grad}f||^2_gg^{\delta\gamma}(g_{\gamma\beta}g_{\alpha\delta}-g_{\alpha\beta}g_{\gamma\delta})\\ &=-\frac{{}^h\Delta f}{f}g_{\alpha\beta}+\frac{1}{f^2}{}^k{\rm Ric}(\partial_\alpha,\partial_\beta)-\frac{d_F-1}{f^2}||{\rm grad}f||^2_gg_{\alpha\beta} \end{align}
断面曲率
擬リーマン多様体$(B,h),(F,k)$と$f\in C^2(B)$に対して、Warped積を$(M=B\times_fF,g=h+f^2k)$とする。${}^gR,{}^hR,{}^kR$を$(M,g),(B,h),(F,k)$のリーマン曲率テンソルとし、$K^g,K^h,K^k$を$(M,g),(B,h),(F,k)$の断面曲率とする。$X,Y\in\Gamma(\mathcal{B}),U,V\in\Gamma(\mathcal{F})$とするとき、次が成り立つ。
\begin{align}
K^g(\overline{X},\overline{Y})&=K^h(X,Y)\\
K^g(\overline{V},\overline{X})&=-\frac{H^f(X,Y)}{f || X||_h^2}\\
K^g(\overline{V},\overline{W})&=\frac{K^k(V,W)}{f^2}-\frac{||{}^h\nabla f||^2_h}{f^2}\\
\end{align}
$X,Y,V,W$などは$g$に関して正規直交とする。
\begin{align}
K^g(\overline{X},\overline{Y})&=||X||^2_g||Y||^2_gg({}^gR(\overline{X},\overline Y)\overline Y,\overline{X})
=||X||^2_h||Y||^2_hh({}^hR(\overline{X},\overline Y)\overline Y,\overline{X})=K^h(X,Y)\\
K^g(\overline{V},\overline{X})&=||X||^2_g||V||^2_gg({}^gR(\overline{V},\overline X)\overline X,\overline{V})
=-\frac{H^f(X,X)}{f}||X||^2_g\\
K^g(\overline{V},\overline{W})&=||V||^2_g||W||^2_gg({}^gR(\overline{V},\overline W)\overline W,\overline{V})\\
&=||V||^2_g||W||^2_gg(\overline{{}^kR(V,W)W},\overline{V})
-\frac{||{}^h\nabla f||^2_h}{f^2}\\
&=||V||^2_g||W||^2_g||V||^2_h||W||^2_hf^2\frac{k({}^kR(V,W)W,V)}{||V||^2_h||W||^2_h}
-\frac{||{}^h\nabla f||^2_h}{f^2}\\
&=\frac{K^k(V,W)}{f^2}-\frac{||{}^h\nabla f||^2_h}{f^2}
\end{align}
例
ある多様体を定曲率空間など曲率が単純な空間と少し複雑な空間のWarped積と見なすことができれば、曲率を計算する必要のある多様体の次元が実質的には減るので計算が楽になります。
例えば、2次元のLorentz多様体$(B,g_B)$と2次元定曲率リーマン多様体$(F,g_F)$のWarped積$(M=B\times_rF,g)$を考えてみます。すなわち
\begin{align}
g_B&=-e^{2\lambda}dt^2+e^{2\nu}dr^2\\
g_F&=d\theta^2+ \chi(\theta)^2d\phi^2\\
\chi(\theta)&=\begin{cases}\sin\theta\ (k=1) \\ \theta\ (k=0) \\ \sinh\theta\ (k=-1)\end{cases}\\
g&=g_B+r^2g_F
\end{align}
とします。ここで$k$は$F$の断面曲率です。Schwartzschild時空などもこのタイプの時空です。この場合$M$の曲率を計算するためには実質的には$(B,g_B)$だけ計算すればよいことになります。
2次元のLorentz多様体$(B,g)$
$$
g=\epsilon e^{2\lambda(t,r)}dt^2+e^{2\nu(t,r)}dr^2,\ \epsilon=\pm1
$$
に対して、
\begin{align}
\Gamma^t_{tt}&=\partial_t\lambda\\
\Gamma^t_{tr}&= \partial_r\lambda\\
\Gamma^t_{rr}&=-\epsilon e^{-2(\lambda-\nu)}\partial_t\nu\\
\Gamma^r_{tt}&=-\epsilon e^{2(\lambda-\nu)}\partial_r\lambda\\
\Gamma^r_{tr}&= \partial_t\nu\\
\Gamma^r_{rr}&=\partial_r\nu
\end{align}
となる。また断面曲率は
$$
K=-e^{2\nu}\partial_r(\lambda\partial_r\lambda)+e^{-2\nu}\partial_r\lambda\partial_r\nu-\epsilon e^{-2\lambda}\partial_t(\nu\partial_t\nu)+\epsilon e^{-2\lambda}\partial_t\lambda\partial_t\nu
$$
である。また$f\in C^2(B)$に対して、
\begin{align}
H^f_{tt}&=\partial_t^2f-\partial_t\lambda\partial_tf+\epsilon e^{2(\lambda-\nu)}\partial_r\lambda\partial_rf\\
H^f_{tr}&=\partial_t\partial_rf-\partial_r\lambda\partial_tf-\partial_t\nu\partial_rf\\
H^f_{rr}&=\partial_r^2f+\epsilon e^{-2(\lambda-\nu)}\partial_t\nu\partial_tf-\partial_r\nu\partial_rf
\end{align}
となる。
この補題を使って$(M,g)$のRicciテンソルを計算してみます。$B$に平行な成分は
\begin{align}
{}^M{\rm Ric}_{tt}&={}^B{\rm Ric}_{tt}-\frac{d_F}{r}H^r_{tt}
=K(g_B)_{tt}-\frac{2}{r}H^r_{tt}=-Ke^{2\lambda}+\frac{2}{r}e^{2(\lambda-\nu)}\partial_r\lambda\\
{}^M{\rm Ric}_{tr}&=K(g_B)_{tr}-\frac{2}{r}H^r_{tr}=\frac{2}{r}\partial_t\nu\\
{}^M{\rm Ric}_{rr}&=K(g_B)_{rr}-\frac{2}{r}H^r_{rr}=Ke^{2\nu}+\frac{2}{r}\partial_r\nu\\
\end{align}
であり、$F$に平行な成分は
\begin{align}
{}^M{\rm Ric}_{\alpha\beta}&={}^F{\rm Ric}_{\alpha\beta}-g_{\alpha\beta}\left(\frac{\Delta r}{r}+\frac{||\nabla r||^2}{r^2}\right)=\left(k-r\Delta r-||\nabla r||^2\right)(g_F)_{\alpha\beta}
\end{align}
である。ただし
$$
||\nabla r||^2=g^{rr}=e^{-2\nu},\ \Delta r=e^{-(\lambda+\nu)}\partial_r(e^{\lambda+\nu}e^{-2\nu})=e^{-2\nu}\partial_r(\lambda-\nu)
$$
である。