東大数理院試過去問解答例(2004B04)

背理法によって示す。このような$A$が存在したとし、$A^{\times }$の生成元を一つとりこれを$x$とおく。このとき$A$に於いては$2=0$になることを考慮すると、包含
$${\mathbb{F}}_2[x]\subseteq A$$
が成り立っている。この左辺の単元群は位数$p^2$の巡回群であるから、これを改めて$A$とおくことで、自然な全射
$${\mathbb{F}}_2[X]/(X^{p^2}-1)\twoheadrightarrow A$$
が存在するとして良い。このときこの全射準同型の核の生成元を$f$とすると、これは重根を持たない多項式であるから、$2^a-1=p$なるある$a$に対して
$$A={\mathbb{F}}_{2^a}^2\times {\mathbb{F}}_2^n$$
と表されるか、$2^b-1=p^2$なるある$b$について
$$A={\mathbb{F}}_{2^b}\times {\mathbb{F}}_2^n$$
と表されるかのいずれかである。しかし上の条件を満たす$b$及び素数$p$の組は存在しないから後者はあり得ず、前者が成り立つとき$A$は巡回群にならない。以上から位数$p^2$の単元群を持つ可換環は存在しない。