東大数理院試過去問解答例(2004B04)
ここでは東大数理の修士課程の院試の2004B04の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
素数$p\geq 3$及び単位的可換環$A$について、$A$の単元群$A^\times$は位数$p^2$の巡回群にはならないことを示しなさい。
背理法によって示す。このような$A$が存在したとし、$A^\times$の生成元を一つとりこれを$x$とおく。このとき$A$に於いては$2=0$になることを考慮すると、包含
$$
\mathbb{F}_2[x]\subseteq A
$$
が成り立っている。この左辺の単元群は位数$p^2$の巡回群であるから、これを改めて$A$とおくことで、自然な全射
$$
\mathbb{F}_2[X]/(X^{p^2}-1)\twoheadrightarrow A
$$
が存在するとして良い。このときこの全射準同型の核の生成元を$f$とすると、これは重根を持たない多項式であるから、$2^a-1=p$なるある$a$に対して
$$
A=\mathbb{F}_{2^a}^2\times\mathbb{F}_2^n
$$
と表されるか、$2^b-1=p^2$なるある$b$について
$$
A=\mathbb{F}_{2^b}\times\mathbb{F}_2^n
$$
と表されるかのいずれかである。しかし上の条件を満たす$b$及び素数$p$の組は存在しないから後者はあり得ず、前者が成り立つとき$A$は巡回群にならない。以上から位数$p^2$の単元群を持つ可換環は存在しない。