(古典的)代数幾何の計算でよく使うテクニック

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!!これは自分用メモです!!

ハーツホーンI章の演習問題を解いていく中で、覚えておきたいテクニックをメモしていくもの。

生成元の行き先を決めれば代数の準同型が決まるやつ

[青雪江] 命題1.3.14と同じ。(詳しい証明はそっちを参照。)

$k$ を体、 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ を $k$ 上の $n$ 変数多項式環とする。また、 $A$ を $k$ 代数とする。

「生成元の行き先」 $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ を与えれば、 $k$ 準同型 $ϕ : k [x_{1}, \dots, x_{n}] \to A$ で、
$ϕ (x_{1}) = a_{1}, ϕ (x_{2}) = a_{2}, \dots, ϕ (x_{n}) = a_{n}$
なるものが一意に定まる。

$ϕ$ は具体的には $f (x_{1}, \dots, x_{n})$ に $x_{1} = a_{1}, \dots, x_{n} = a_{n}$ を代入する写像である（下の例を参照）。

$n = 2$ , $A = k [t]$ とする。
$ϕ (x) = t, ϕ (y) = t^{2}$ により $ϕ : k [x, y] \to k [t]$ を定める。
例えば $f = x^{2} + x y + 2 y^{2} \in k [x, y]$ に対して、
$ϕ (f) = ϕ (x)^{2} + ϕ (x) ϕ (y) + 2 ϕ (y)^{2} = t^{2} + t \cdot t^{2} + 2 (t^{2})^{2} = t^{2} + t^{3} + 2 t^{4}$ となる。

根基イデアルで割ると冪零元を持たない(= 被約)。逆も成り立つ。
c.f.) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A2%AB%E7%B4%84%E7%92%B0

0でない冪零元を持たない環を被約環と呼ぶ。
自身の根基と等しいようなイデアルを根基イデアルと呼ぶ。

命題:
$A$ を可換環、 $J$ をそのイデアルとする。このとき、
$J$ が根基イデアル $\Leftrightarrow$ 剰余環 $B := A / J$ は0でない冪零元を持たない、すなわち被約環である。

$b \in A$ が定める $B$ での同値類を $\bar{b}$ と書くことにする。
( $\Rightarrow$ ) $\bar{b} \in B$ が冪零元であるとすると、 $\exists n > 0, {\bar{b}}^{n} = 0$ in $B$ .
これは $b^{n} \in J \subset A$ を意味する。イデアルの根基の定義を思い出すと、 $b \in \sqrt{J}$ .
ところが $J$ は根基イデアルなので $\sqrt{J} = J$ . したがって $b \in J$ .
これは $B$ に移ると、 $\bar{b} = 0$ in $B$ を意味する。
これで $B$ の冪零元は0のみであることが分かり、( $\Rightarrow$ )が示された。

( $\Leftarrow$ ) $J$ が根基イデアルでないとすると $J ⫋ \sqrt{J}$ . したがって $b \notin J$ かつ $b^{n} \in J, n > 1$ なる $b \in A$ が存在する。これを $B$ に移すと $\bar{b} \neq 0$ かつ ${\bar{b}}^{n} = 0$ . すなわち $\bar{b}$ は0でない冪零元ということになり、これは $B$ が被約であることに矛盾する。したがって $J$ は根基イデアルでなければならない。

Noether的位相空間の既約成分は既約閉部分集合の極大元である
ハーツホーン命題1.5にある既約成分表示 $Y = Y_{1} \cup \dots \cup Y_{r}$ に出てくる既約成分 $Y_{1}, \dots Y_{r}$ は $Y$ の既約閉部分集合全体の族における極大元である。また、その極大元はこれらで尽きている。

$C$ を $Y$ の既約閉部分集合とする。 $C \subseteq Y$ .
$C = C \cap Y$ より

$C = ⋃_{i} (C \cap Y_{i}) .$
$C$ も $Y_{i}$ も閉集合なので $(C \cap Y_{i})$ は閉集合。 $C$ の既約性より、ある $i$ について $C = C \cap Y_{i}$ すなわち $C \subseteq Y_{i}$ .
したがってどんな既約閉集合 $C$ も $Y_{i}$ たちのどれかより真に大きい( $Y_{i} ⊊ C$ )ということはない。のみならず、ある $Y_{i}$ に含まれる( $C \subseteq Y_{i}$ )ので $Y_{i}$ たちを除いては極大元は存在しない。これで題意が示された。

投稿日：2024年5月12日

更新日：2024年6月10日

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