logdetは凹関数

$B$は正定値対称行列なので、$B=(\sqrt{B})^2$となる正定値対称行列$\sqrt{B}$が存在し、
\begin{align} {}&\log\det(tA+(1-t)B)\\={}&\log\det\left(\sqrt{B}(t\sqrt{B}^{-1}A\sqrt{B}^{-1}+(1-t)I)\sqrt{B}\right)\\ ={}&\log\det(tC+(1-t)I)+2\log\det\sqrt{B}\\ {}&(C=\sqrt{B}^{-1}A\sqrt{B}^{-1}とした)\nonumber \end{align}
で、同様の計算により
\begin{align} {}&t\log\det A+(1-t)\log\det B\\={}&t\log\det C+(1-t)\log\det I+2\log\det \sqrt{B}\\ ={}&t\log\det C+2\log\det \sqrt{B} \end{align}
となる。よって、$C\in\mathbb{S}_n^+$となることと合わせて、式(1)を示すには任意の$C\in\mathbb{S}_n^+$について
\begin{equation} \log\det(tC+(1-t)I)\geq t\log\det C\tag{2} \end{equation}
となることを示せば良い。ここで、$C$の固有値を$\lambda_1,\,\dots,\,\lambda_n\,(>0)$とすると、これらは全て正となる。$tC+(1-t)I$の固有値は$t(\lambda_1-1)+1,\,\dots,\,t(\lambda_n-1)+1$であり、$t\in[0,1],\ \lambda_i-1>-1$よりこれらは全て正。よって、(2)は
\begin{align} \log\prod_i(t(\lambda_1-1)+1)-t\log\prod_i\lambda_i\geq{}&0\\ \sum_i\left(\log(t(\lambda_1-1)+1)-\log\lambda_i\right)\geq{}&0 \end{align}
となるが、これは$\log$が凹関数であることより成立する。