楕円ベータ積分

まず
\begin{align} \rho(z,t_1,\dots,t_5)&:=\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(t_jz,t_j/z;q,p)}{\Gamma(z^2,1/z^2,Az,A/z;q,p)}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(A/t_j;q,p)}{\prod_{1\leq j< k\leq 5}\Gamma(t_jt_k;q,p)}\\ g(z,t_1,\dots,t_5)&:=\rho(z,t_1,\dots,t_5)\frac{\prod_{j=1}^5\theta(t_jz;p)}{\prod_{j=2}^5\theta(t_1t_j;p)}\frac{\theta(t_1A;p)}{\theta(z^2,Az;p)}\frac{t_1}z\\ &=\frac{t_1\theta(t_1A;p)\prod_{j=1}^5\Gamma(t_jzq,t_j/z;q,p)}{z\Gamma(z^2q,1/z^2,Azq,A/z;q,p)}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(A/t_j;q,p)}{\prod_{j=2}^5\Gamma(t_1t_jq;q,p)\prod_{2\leq j< k\leq 5}\Gamma(t_jt_k;q,p)}\\ \end{align}
とするとき,
\begin{align} &\rho(z,t_1q,t_2,\dots,t_5)-\rho(z,t_1,\dots,t_5)\\ &=g(z/q,t_1,\dots,t_5)-g(z,t_1,\dots,t_5) \end{align}
であることを示す. これを両辺を$\rho(z,t_1,\dots,t_5)$で割った等式は
\begin{align} &\frac{\theta(t_1z,t_1/z;p)}{\theta(Az,A/z;p)}\prod_{j=2}^5\frac{\theta(A/t_j;p)}{\theta(t_1t_j;p)}-1\\ &=\frac{\prod_{j=1}^5\theta(t_j/z;p)}{\prod_{j=2}^5\theta(t_1t_j;p)}\frac{\theta(t_1A;p)}{\theta(z^2,A/z;p)}z^3t_1 -\frac{\prod_{j=1}^5\theta(t_jz;p)}{\prod_{j=2}^5\theta(t_1t_j;p)}\frac{\theta(t_1A;p)}{\theta(z^2,Az;p)}\frac{t_1}z \end{align}
となる. つまり,
\begin{align} &\frac{\theta(t_1z,t_1/z;p)}{\theta(Az,A/z;p)}\prod_{j=2}^5\frac{\theta(A/t_j;p)}{\theta(t_1t_j;p)}-1\\ &=\frac{t_1\theta(t_1A;p)}{z\theta(z^2;p)\prod_{j=2}^5\theta(t_1t_j;p)}\left(\frac{z^4\prod_{j=1}^5\theta(t_j/z;p)}{\theta(A/z;p)}-\frac{\prod_{j=1}^5\theta(t_jz;p)}{\theta(Az;p)}\right) \end{align}
を示せばよい. まず, 両辺は$z\mapsto pz$に関して不変であるから, $\ln z$に関する楕円関数である. 極$z=A$における留数については
\begin{align} &\lim_{z\to A}\theta(A/z;p)\left(\frac{\theta(t_1z,t_1/z;p)}{\theta(Az,A/z;p)}\prod_{j=2}^5\frac{\theta(A/t_j;p)}{\theta(t_1t_j;p)}-1\right)\\ &=\frac{\theta(t_1A,t_1/A;p)}{\theta(A^2;p)}\prod_{j=2}^5\frac{\theta(A/t_j;p)}{\theta(t_1t_j;p)}\\ &=\lim_{z\to A}\theta(A/z;p)\cdot\frac{t_1\theta(t_1A;p)}{z\theta(z^2;p)\prod_{j=2}^5\theta(t_1t_j;p)}\left(\frac{z^4\prod_{j=1}^5\theta(t_j/z;p)}{\theta(A/z;p)}-\frac{\prod_{j=1}^5\theta(t_jz;p)}{\theta(Az;p)}\right) \end{align}
となることから等しくなる. 両辺は$z\mapsto z^{-1}$について不変なので, 両辺の差を考えると全ての極$Ap^j, p^j/A,j\in\ZZ$は打ち消し合い, $\ln z$に関して極を持たない楕円関数になる. よって両辺の差は定数である. $z=t_1$とすると両辺が$-1$になることから, 両辺が等しいことが分かる. よって,
\begin{align} &\rho(z,t_1q,t_2,\dots,t_5)-\rho(z,t_1,\dots,t_5)\\ &=g(z/q,t_1,\dots,t_5)-g(z,t_1,\dots,t_5) \end{align}
が示せた. これを積分すると
\begin{align} I(t_1,\dots,t_5):=\int_{|z|=1}\rho(z;t_1,\dots,t_5)\frac{dz}z \end{align}
として,
\begin{align} I(t_1q,t_2,\dots,t_5)-I(t_1,\dots,t_5)=\left(\int_{|z|=|q|^{-1}}-\int_{|z|=1}\right)g(z,t_1,\dots,t_5)\frac{dz}z \end{align}
を得る.
\begin{align} g(z,t_1,\dots,t_5) &=\frac{t_1\theta(t_1A;p)\prod_{j=1}^5\Gamma(t_jzq,t_j/z;q,p)}{z\Gamma(z^2q,1/z^2,Azq,A/z;q,p)}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(A/t_j;q,p)}{\prod_{j=2}^5\Gamma(t_1t_jq;q,p)\prod_{2\leq j< k\leq 5}\Gamma(t_jt_k;q,p)} \end{align}
の極は$t_mq^jp^k,A^{-1}q^jp^{k+1},t_m^{-1}q^{-j-1}p^{-k},Aq^{-j-1}p^{-k-1}$の形をしている. ここで, $j,k$は非負整数である. $|p|<|A|$であると仮定すれば, 条件から$|t_m|<1$であったから$g$は$1<|z|<|q|^{-1}$に極を持たない. よって,
\begin{align} I(t_1q,t_2,\dots,t_5)=I(t_1,\dots,t_5) \end{align}
を得る. 対称性から$|q|<|A|$と仮定すれば
\begin{align} I(t_1p,t_2,\dots,t_5)=I(t_1,\dots,t_5) \end{align}
も得られる. ここで, $p,q$を任意の正整数$n,k$に対し$p^n\neq q^k$となるような実数$p< q$とすれば, 上2つの関係式を繰り返し用いて, 非負整数$j,k$で$q^jp^{-k}\in [p,1]$となるものに対し
\begin{align} I(t_1q^jp^{-k},t_2,\dots,t_5)=I(t_1,\dots,t_5) \end{align}
となる. このような点は稠密であるから, $I(t_1,\dots,t_5)$は$t_1$によらない. 対称性から$I$は他の$t_m$にもよらないことが分かる. よって, $I$は$p,q$にのみ依存することが分かる.　ここで, $t_2\to t_1^{-1}$の極限を考えると$\rho$の分母には$\Gamma(t_1t_2;q,p)$があるので
\begin{align} \rho(z;t_1,\dots,t_5)\to 0 \end{align}
である. $p,q<|t_1|<1$と仮定する.
\begin{align} \lim_{t_2\to t_1^{-1}}I(t_1,\dots,t_5) \end{align}
を考えると, $t_2$が$t_1^{-1}$に近づく過程で単位円上を横切る. $|t_2|>1$となる場合について$t_2$が内側, $t_2^{-1}$が外側にくるように$|z|=1$を変形した積分路を$C$とすると留数定理より
\begin{align} &I(t_1,\dots,t_5)\\ &=\int_C\rho(z;t_1,\dots,t_5)\frac{dz}z\\ &=\int_{|z|=1}\rho(z;t_1,\dots,t_5)\frac{dz}z+2\pi i\Res_{z=t_2}\rho(z;t_1,\dots,t_5)\frac{1}z-2\pi i\Res_{z=t_2^{-1}}\rho(z;t_1,\dots,t_5)\frac{1}z \end{align}
となる. ここで, 定義から
\begin{align} \lim_{x\to 1}(1-x)\Gamma(x;q,p)=\frac 1{(q;q)_{\infty}(p;p)_{\infty}} \end{align}
であることが分かるので,
\begin{align} &\Res_{z=t_2}\rho(z;t_1,\dots,t_5)\frac{1}z\\ &=\lim_{z\to t_2}(z-t_2)\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(t_jz,t_j/z;q,p)}{\Gamma(z^2,1/z^2,Az,A/z;q,p)}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(A/t_j;q,p)}{\prod_{1\leq j< k\leq 5}\Gamma(t_jt_k;q,p)}\frac 1z\\ &=\frac 1{(q;q)_{\infty}(p;p)_{\infty}}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(t_2t_j;q,p)\prod_{\substack{1\leq j\leq 5\\j\neq 2}}\Gamma(t_j/t_2;q,p)}{\Gamma(t_2^2,1/t_2^2,At_2,A/t_2;q,p)}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(A/t_j;q,p)}{\prod_{1\leq j< k\leq 5}\Gamma(t_jt_k;q,p)} \end{align}
となる. 同様に
\begin{align} \Res_{z=t_2^{-1}}\rho(z;t_1,\dots,t_5)\frac{1}z=-\frac 1{(q;q)_{\infty}(p;p)_{\infty}}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(t_2t_j;q,p)\prod_{\substack{1\leq j\leq 5\\j\neq 2}}\Gamma(t_j/t_2;q,p)}{\Gamma(t_2^2,1/t_2^2,At_2,A/t_2;q,p)}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(A/t_j;q,p)}{\prod_{1\leq j< k\leq 5}\Gamma(t_jt_k;q,p)} \end{align}
であることが分かる. よって,
\begin{align} &\lim_{t_2\to t_1^{-1}}I(t_1,\dots,t_5)\\ &=\lim_{t_2\to t_1^{-1}}\int_{|z|=1}\rho(z;t_1,\dots,t_5)\frac{dz}z+\frac{4\pi i}{(q;q)_{\infty}(p;p)_{\infty}}\lim_{t_2\to t_1^{-1}}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(t_2t_j;q,p)\prod_{\substack{1\leq j\leq 5\\j\neq 2}}\Gamma(t_j/t_2;q,p)}{\Gamma(t_2^2,1/t_2^2,At_2,A/t_2;q,p)}\frac{\prod_{j=1}^5\Gamma(A/t_j;q,p)}{\prod_{1\leq j< k\leq 5}\Gamma(t_jt_k;q,p)}\\ &=\frac{4\pi i}{(q;q)_{\infty}(p;p)_{\infty}}\frac{\prod_{\substack{1\leq j\leq 5\\j\neq 2}}\Gamma(t_1t_j;q,p)}{\Gamma(t_1^2,t_3t_4t_5/t_1,t_1t_3t_4t_5;q,p)}\frac{\Gamma(t_1t_3t_4t_5,t_3t_4t_5/t_1,t_3t_4,t_3t_5,t_4t_5;q,p)}{\prod_{\substack{1\leq j< k\leq 5\\j,k\neq 2}}\Gamma(t_jt_k;q,p)}\\ &=\frac{4\pi i}{(q;q)_{\infty}(p;p)_{\infty}} \end{align}
となる. よって,
\begin{align} I(t_1,\dots,t_5)=\frac{4\pi i}{(q;q)_{\infty}(p;p)_{\infty}} \end{align}
が示せた. 途中でいくつかの条件を仮定したが, 一般の場合は各変数に関して一致の定理を用いることで示される.