Nassrallah-Rahman積分
前回の記事
と同様に,
\begin{align}
w(x;a,b,c,d)&:=\frac{h(x,1)h(x,-1)h(x,\sqrt q)h(x,-\sqrt q)}{\sqrt{1-x^2}h(x,a)h(x,b)h(x,c)h(x,d)}\\
h(x,a)&:=\prod_{k=0}^{\infty}(1-2axq^k+a^2q^{2k})
\end{align}
とする.
Askey-Wilson積分
は
\begin{align}
\int_{-1}^1w(x;a,b,c,d)\,dx&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}
\end{align}
で与えられる. その一般化として, 以下はNassrallah-Rahman積分として知られているものである.
\begin{align} &\frac{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}{2\pi(abcd;q)_{\infty}} \int_{-1}^1\left|\frac{(Ate^{i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2w(x;a,b,c,d)\,dx\\ &=\frac{(acdt,Aat,Act,Adt;q)_{\infty}}{(Aacdt,at,ct,dt;q)_{\infty}}\Q87{Aacdt/q,q\sqrt{Aacdt/q},-q\sqrt{Aacdt/q},At/b,A,ac,ad,cd}{\sqrt{Aacdt/q},-\sqrt{Aacdt/q},abcd,acdt,Aat,Adt,Act}{bt} \end{align}
non-terminating $q$-Saalschützの和公式
\begin{align}
&\Q32{a,b,c}{e,f}{q}+\frac{(q/e,a,b,c,fq/e;q)_{\infty}}{(e/q,aq/e,bq/e,cq/e,f;q)_{\infty}}\Q32{aq/e,bq/e,cq/e}{q^2/e,fq/e}q\\
&=\frac{(q/e,f/a,f/b,f/c;q)_{\infty}}{(aq/e,bq/e,cq/e,f;q)_{\infty}},\qquad abcq=ef
\end{align}
から始める. $a\mapsto A, b\mapsto ae^{i\theta},c\mapsto ae^{-i\theta},e\mapsto E$とすると,
\begin{align}
&\Q32{A,ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{E,Aa^2q/E}{q}+\frac{(q/E,A,ae^{i\theta},ae^{-i\theta},Aa^2q^2/E^2;q)_{\infty}}{(E/q,Aq/E,aqe^{i\theta}/E,aqe^{-i\theta}/E,Aa^2q/E;q)_{\infty}}\Q32{Aq/E,aqe^{i\theta}/E,aqe^{-i\theta}/E}{q^2/E,Aa^2q^2/E^2}q\\
&=\frac{(q/E,a^2q/E,Aaqe^{i\theta}/E,Aaqe^{-i\theta}/E;q)_{\infty}}{(Aq/E,aqe^{i\theta}/E,aqe^{-i\theta}/E,Aa^2q/E;q)_{\infty}}
\end{align}
両辺に$w(x;a,b,c,d)$を掛けて$[-1,1]$で積分すると, Askey-Wilson積分より,
\begin{align}
&\int_{-1}^1\Q32{A,ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{E,Aa^2q/E}{q}w(x;a,b,c,d)\,dx\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}\Q43{A,ab,ac,ad}{E,Aa^2q/E,abcd}{q}\\
&\int_{-1}^1\frac{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\infty}}{(aqe^{i\theta}/E,aqe^{-i\theta}/E;q)_{\infty}}\Q32{Aq/E,aqe^{i\theta}/E,aqe^{-i\theta}/E}{q^2/E,Aa^2q^2/E^2}qw(x;a,b,c,d)\,dx\\
&=\int_{-1}^1\Q32{Aq/E,aqe^{i\theta}/E,aqe^{-i\theta}/E}{q^2/E,Aa^2q^2/E^2}qw(x;aq/E,b,c,d)\,dx\\
&=\frac{2\pi(abcdq/E;q)_{\infty}}{(abq/E,acq/E,adq/E,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}\Q43{Aq/E,abq/E,acq/E,adq/E}{q^2/E,Aa^2q^2/E^2,abcdq/E}q
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac{(q/E,a^2q/E;q)_{\infty}}{(Aq/E,Aa^2q/E;q)_{\infty}}\int_{-1}^1\left|\frac{(Aaqe^{i\theta}/E;q)_{\infty}}{(aqe^{i\theta}/E;q)_{\infty}}\right|^2w(x;a,b,c,d)\,dx\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}\Q43{A,ab,ac,ad}{E,Aa^2q/E,abcd}{q}\\
&\qquad+\frac{(q/E,A,Aa^2q^2/E^2;q)_{\infty}}{(E/q,Aq/E,Aa^2q/E;q)_{\infty}}\frac{2\pi(abcdq/E;q)_{\infty}}{(abq/E,acq/E,adq/E,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}\Q43{Aq/E,abq/E,acq/E,adq/E}{q^2/E,Aa^2q^2/E^2,abcdq/E}q\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}\Q43{A,ab,ac,ad}{E,Aa^2q/E,abcd}{q}\\
&\qquad+\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}\frac{(q/E,A,Aa^2q^2/E^2;q)_{\infty}}{(E/q,Aq/E,Aa^2q/E;q)_{\infty}}\frac{(ab,ac,ad,abcdq/E;q)_{\infty}}{(abcd,abq/E,acq/E,adq/E;q)_{\infty}}\Q43{Aq/E,abq/E,acq/E,adq/E}{q^2/E,Aa^2q^2/E^2,abcdq/E}q
\end{align}
ここで,
non-terminating $q$-Whippleの変換公式
より,
\begin{align}
&\Q43{A,ab,ac,ad}{E,Aa^2q/E,abcd}{q}\\
&\qquad+\frac{(q/E,A,Aa^2q^2/E^2;q)_{\infty}}{(E/q,Aq/E,Aa^2q/E;q)_{\infty}}\frac{(ab,ac,ad,abcdq/E;q)_{\infty}}{(abcd,abq/E,acq/E,adq/E;q)_{\infty}}\Q43{Aq/E,abq/E,acq/E,adq/E}{q^2/E,Aa^2q^2/E^2,abcdq/E}q\\
&=\frac{(a^2cdq/E,Aacq/E,Aadq/E,q/E;q)_{\infty}}{(Aa^2cdq/E,acq/E,adq/E,Aq/E;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{Aa^2cd/E,q\sqrt{Aa^2cd/E},-q\sqrt{Aa^2cd/E},cd,Aaq/bE,A,ac,ad}{\sqrt{Aa^2cd/E},-\sqrt{Aa^2cd/E},Aa^2q/E,abcdq,a^2cdq/E,Aadq/E,Aacq/E}{\frac{abq}E}
\end{align}
だから, これを代入して,
\begin{align}
&\frac{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}{2\pi(abcd;q)_{\infty}}\int_{-1}^1\left|\frac{(Aaqe^{i\theta}/E;q)_{\infty}}{(aqe^{i\theta}/E;q)_{\infty}}\right|^2w(x;a,b,c,d)\,dx\\
&=\frac{(Aq/E,Aa^2q/E;q)_{\infty}}{(q/E,a^2q/E;q)_{\infty}}\frac{(a^2cdq/E,Aacq/E,Aadq/E,q/E;q)_{\infty}}{(Aa^2cdq/E,acq/E,adq/E,Aq/E;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{Aa^2cd/E,q\sqrt{Aa^2cd/E},-q\sqrt{Aa^2cd/E},cd,Aaq/bE,A,ac,ad}{\sqrt{Aa^2cd/E},-\sqrt{Aa^2cd/E},Aa^2q/E,abcdq,a^2cdq/E,Aadq/E,Aacq/E}{\frac{abq}E}\\
&=\frac{(Aa^2q/E,a^2cdq/E,Aacq/E,Aadq/E;q)_{\infty}}{(a^2q/E,Aa^2cdq/E,acq/E,adq/E;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{Aa^2cd/E,q\sqrt{Aa^2cd/E},-q\sqrt{Aa^2cd/E},cd,Aaq/bE,A,ac,ad}{\sqrt{Aa^2cd/E},-\sqrt{Aa^2cd/E},Aa^2q/E,abcdq,a^2cdq/E,Aadq/E,Aacq/E}{\frac{abq}E}
\end{align}
ここで, $aq/E\mapsto t$と置き換えて定理を得る.
$w$を明示的に書くと,
\begin{align}
&\frac{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}{2\pi(abcd;q)_{\infty}}
\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\theta},Ate^{i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},te^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\
&=\frac{(acdt,Aat,Act,Adt;q)_{\infty}}{(Aacdt,at,ct,dt;q)_{\infty}}\Q87{Aacdt/q,q\sqrt{Aacdt/q},-q\sqrt{Aacdt/q},At/b,A,ac,ad,cd}{\sqrt{Aacdt/q},-\sqrt{Aacdt/q},abcd,acdt,Aat,Adt,Act}{bt}
\end{align}
となる. さらに, $At\mapsto f$とすると,
\begin{align}
&\frac{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}{2\pi(abcd;q)_{\infty}}
\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\theta},fe^{i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},te^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\
&=\frac{(acdt,af,cf,df;q)_{\infty}}{(acdf,at,ct,dt;q)_{\infty}}\Q87{acdf/q,q\sqrt{acdf/q},-q\sqrt{acdf/q},f/b,f/t,ac,ad,cd}{\sqrt{acdf/q},-\sqrt{acdf/q},abcd,acdt,af,df,cf}{bt}
\end{align}
となる. 右辺の$q$超幾何級数が$a,c,d$に関して対称であることと, $b,t$に関して対称であることに着目し, $d\mapsto b,b\mapsto s$と文字を置き換えると
\begin{align}
&\frac{(q,ab,ac,bc;q)_{\infty}}{2\pi}
\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\theta},fe^{i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},se^{i\theta},te^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\
&=\frac{(abcs,abct,af,bf,cf;q)_{\infty}}{(abcf,as,bs,cs,at,bt,ct;q)_{\infty}}\Q87{abcf/q,q\sqrt{abcf/q},-q\sqrt{abcf/q},f/s,f/t,ab,ac,bc}{\sqrt{abcf/q},-\sqrt{abcf/q},abcs,abct,af,bf,cf}{st}
\end{align}
と書くことができ, より覚えやすくなると思う.
\begin{align} \frac 1{2\pi}\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\theta},abcste^{i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},se^{i\theta},te^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{(abcs,abct,abst,acst,bcst;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,bc,as,bs,cs,at,bt,ct,st;q)_{\infty}},\qquad x=\cos\theta \end{align}
$f=abcst$として, Nassrallah-Rahman積分より,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\theta},fe^{i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},se^{i\theta},te^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\
&=\frac{1}{(q,ab,ac,bc;q)_{\infty}}
\frac{(abcs,abct,af,bf,cf;q)_{\infty}}{(abcf,as,bs,cs,at,bt,ct;q)_{\infty}}\Q65{abcf/q,q\sqrt{abcf/q},-q\sqrt{abcf/q},ab,ac,bc}{\sqrt{abcf/q},-\sqrt{abcf/q},af,bf,cf}{st}
\end{align}
ここで,
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
より,
\begin{align}
\Q65{abcf/q,q\sqrt{abcf/q},-q\sqrt{abcf/q},ab,ac,bc}{\sqrt{abcf/q},-\sqrt{abcf/q},af,bf,cf}{st}&=\frac{(abcf,f/a,f/b,f/c;q)_{\infty}}{(af,bf,cf,f/abc;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\theta},fe^{i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},se^{i\theta},te^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\
&=\frac{1}{(q,ab,ac,bc;q)_{\infty}}
\frac{(abcs,abct,af,bf,cf;q)_{\infty}}{(abcf,as,bs,cs,at,bt,ct;q)_{\infty}}\frac{(abcf,f/a,f/b,f/c;q)_{\infty}}{(af,bf,cf,f/abc;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(abcs,abct,abst,acst,bcst;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,bc,as,bs,cs,at,bt,ct,st;q)_{\infty}}
\end{align}
となって定理が示される.
これは, 総乗の記法を用いると,
\begin{align}
\frac 1{2\pi}\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\theta},t_1t_2t_3t_4t_5e^{i\theta};q)_{\infty}}{\prod_{i=1}^5(t_ie^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\prod_{i=1}^5(t_1t_2t_3t_4t_5/t_i;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}\prod_{1\leq i\leq j\leq 5}(t_it_j;q)_{\infty}}
\end{align}
と美しく書くことができる. これはAskey-Wilson積分の一般化であり, 実際に$t_5=0$とするとAskey-Wilson積分に一致する.
古典極限
定理1の古典極限は以下のようになる.
\begin{align} &\frac{\Gamma(a+b+c+d)}{2\pi\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)\Gamma(c+d)}\\\ &\qquad\cdot\int_0^{\infty}\left|\frac{\Gamma(a+ix)\Gamma(b+ix)\Gamma(c+ix)\Gamma(d+ix)\Gamma(t+ix)}{\Gamma(2ix)\Gamma(A+t+ix)}\right|^2\,dx\\ &=\frac{\Gamma(A+a+c+d+t)\Gamma(a+t)\Gamma(c+t)\Gamma(d+t)}{\Gamma(a+c+d+t)\Gamma(A+a+t)\Gamma(A+c+t)\Gamma(A+d+t)}\\ &\qquad\cdot\F76{A+a+c+d+t-1,1+\frac{A+a+c+d+t-1}2,A+t-b,A,a+c,a+d,c+d}{\frac{A+a+c+d+t-1}2,a+b+c+d,a+c+d+t,A+a+t,A+d+t,A+c+t}{1} \end{align}
先ほどのように整理すると,
\begin{align}
&\frac{1}{2\pi\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(b+c)}\int_0^{\infty}\left|\frac{\Gamma(a+ix)\Gamma(b+ix)\Gamma(c+ix)\Gamma(d+ix)\Gamma(t+ix)}{\Gamma(2ix)\Gamma(f+ix)}\right|^2\,dx\\
&=\frac{\Gamma(a+b+c+f)\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(a+t)\Gamma(b+t)\Gamma(c+t)}{\Gamma(a+b+c+s)\Gamma(a+b+c+t)\Gamma(a+f)\Gamma(b+f)\Gamma(c+f)}\\
&\qquad\cdot\F76{a+b+c+f-1,1+\frac{a+b+c+f-1}2,f-s,f-t,a+b,a+c,b+c}{\frac{a+b+c+f-1}2,a+b+c+s,a+b+c+t,a+f,b+f,c+f}{1}
\end{align}
と書くことができる.
定理2の古典極限は以下のようになる.
\begin{align} &\frac 1{2\pi}\int_0^{\infty}\left|\frac{\Gamma(a+ix)\Gamma(b+ix)\Gamma(c+ix)\Gamma(s+ix)\Gamma(t+ix)}{\Gamma(2ix)\Gamma(a+b+c+s+t+ix)}\right|^2\,dx\\ &=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(b+c)\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(a+t)\Gamma(b+t)\Gamma(c+t)\Gamma(s+t)}{\Gamma(a+b+c+s)\Gamma(a+b+c+t)\Gamma(a+b+s+t)\Gamma(a+c+s+t)\Gamma(b+c+s+t)} \end{align}
参考文献
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