(n!)の-2乗の無限和（収束先を定積分で表す）を完全に高校範囲で示す！

はじめに

ご機嫌よう!　りーるるです。突然ですが、みなさんは無限級数
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}$$
の和の値をご存知です。（断定）
そうですね。$e$です。
ここで、この無限和に、ほんのわずかに、変化を加えてみましょう。例えば、$2$乗するとか、、、
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n!)^2}$$
、、、なんやねんこれ！！ってなりますね。では今回は高校範囲のみでこの和を求めてみましょう。今回は結論を最後に載せるスタイルでいきます。

もちろん！丁寧に解説しているので、数Ⅲ習った人ならわかると思いますよ！！では行く‼️

準備

$n$を$0$以上の整数とする。
$$ I_n=\int_{0}^{\pi}(\cos{x})^{n}dx$$
としたとき、
$$ I_n= \begin{cases} 0 &(n=2k+1)\\ {\pi}\cdot\dfrac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\; &(n=2k) \end{cases} $$

これは超有名ウォリス積分ですね。部分積分で簡単に処理できます。

$n=2k+1$ （奇数）の場合

被積分関数 $f(x) = (\cos{x})^{2k+1}$ について、積分変数 $x$ を $\pi - t$ と置換する。
$dx = -dt$ であり、積分範囲は $x=0 \to t=\pi$, $x=\pi \to t=0$ となるため、
$$ I_{2k+1} = \int_{0}^{\pi} (\cos{x})^{2k+1} dx = \int_{\pi}^{0} (\cos(\pi - t))^{2k+1} (-dt) $$
となる。 $\cos(\pi - t) = -\cos{t}$ であるから、
$$ I_{2k+1} = \int_{0}^{\pi} (-\cos{t})^{2k+1} dt = \int_{0}^{\pi} -(\cos{t})^{2k+1} dt = -I_{2k+1} $$
を得る。ゆえに $2I_{2k+1} = 0$ となり、
$$ I_{2k+1} = 0 $$
である。

$n=2k$ （偶数）の場合

被積分関数 $f(x) = (\cos{x})^{2k}$ は $\cos(\pi - x) = -\cos{x}$ であることから、
$$ (\cos(\pi - x))^{2k} = (-\cos{x})^{2k} = (\cos{x})^{2k} $$
となり、 $x = \dfrac{\pi}{2}$ に関して対称である。よって、
$$ I_{2k} = 2 \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (\cos{x})^{2k} dx $$
と変形できる。ここで、 $J_n = \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (\cos{x})^n dx$ とおくと、部分積分によりウォリスの公式が導かれる。 $n \geqq 2$ のとき、
$$ \begin{aligned} J_n &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (\cos{x})^{n-1} \cdot \cos{x} \, dx \\ &= \left[ (\cos{x})^{n-1} \sin{x} \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (n-1)(\cos{x})^{n-2}(-\sin{x})\sin{x} \, dx \\ &= 0 + (n-1) \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (\cos{x})^{n-2} (1-\cos^{2}x) \, dx \\ &= (n-1)(J_{n-2} - J_n) \end{aligned} $$
整理すると $n J_n = (n-1) J_{n-2}$ となり、漸化式
$$ J_n = \dfrac{n-1}{n} J_{n-2} $$
を得る。これを繰り返し用いると、
$$ \begin{aligned} J_{2k} &= \dfrac{2k-1}{2k} \cdot \dfrac{2k-3}{2k-2} \cdot \cdots \cdot \dfrac{1}{2} \cdot J_{0} \\ &= \dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} dx \\ &= \dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \dfrac{\pi}{2} \end{aligned} $$
となる。ここで、分子・分母に $(2k)!!$ を掛けて階乗の形に整理する。
$$ \begin{aligned} J_{2k} &= \dfrac{(2k-1)!! \cdot (2k)!!}{(2k)!! \cdot (2k)!!} \cdot \dfrac{\pi}{2} \\ &= \dfrac{(2k)!}{(2^k k!)^2} \cdot \dfrac{\pi}{2} \\ &= \dfrac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \cdot \dfrac{\pi}{2} \end{aligned} $$
したがって、求める値は
$$ I_{2k} = 2 J_{2k} = 2 \cdot \dfrac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \cdot \dfrac{\pi}{2} = \pi \cdot \dfrac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} $$
となる。
以上より、題意を得る。

ウォリス積分に関しては超重要事項とも言えるので、必ず押さえておきましょう！決して暗記「だけ」にならないように！

$n$を$0$以上の整数とする.
$$ f_n(x)=\int_{0}^{x}t^{n}e^{-t}dt$$としたとき,次の等式が成り立つ.
$$ \dfrac{e^x f_n(x)}{n!}=e^x-\biggl(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)$$

$f_n(x)$を$f_{n-1}(x)$を用いて表す.$(n\geqq1)$
部分積分より,
$$\int_{0}^{x}t^{n}e^{-t}dt=\biggl[-t^ne^{-t}\biggl]_{0}^{x}-\int_{0}^{x} nt^{n-1}(-e^{-t})dt$$
$$f_n(x)=-x^ne^{-x}+nf_{n-1}(x)$$
両辺を$n!$で割る.
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=-\dfrac{x^n}{n!}e^{-x}+\dfrac{f_{n-1}(x)}{(n-1)!}$$
$n$を$n-1$と置き換えることで,
$$\dfrac{f_{n-1}(x)}{(n-1)!}=-\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-x}+\dfrac{f_{n-2}(x)}{(n-2)!}$$
先ほどの式に代入すると,
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=-\dfrac{x^n}{n!}e^{-x}-\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-x}+\dfrac{f_{n-2}(x)}{(n-2)!}$$
$$ \dfrac{f_n(x)}{n!}=\dfrac{f_{n-2}(x)}{(n-2)!}-\biggl(\dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}\biggl)e^{-x}$$
これを$f_n(x)$を$f_0(x)$を用いて表せるまで繰り返す.
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=\dfrac{f_{0}(x)}{0!}-\biggl(\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)e^{-x}$$
$f_0(x)=1-e^{-x},\;0!=1$より,
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=1-e^{-x}-\biggl(\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)e^{-x}$$
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=1-\biggl(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)e^{-x}$$
両辺に$e^x$をかけて,
$$\dfrac{e^x f_n(x)}{n!}=e^x-\biggl(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)$$
と, 題意を得る.

（帰納法でもできますよ!!）
次を示すことは極限のいい練習になるかもしれません。ぜひ取り組んでみてください！

$$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}\left|e^{2\cos{u}}f_{n}(2\cos u)\right|du=0$$

$$ K_n=\int_{0}^{\pi}\left|e^{2\cos{u}}f_{n}(2\cos u)\right|du$$
とおくと求める極限は $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{K_n}{n!}$ となる.
$$K_n=\int_{0}^{\pi}\left|e^{2\cos{u}}\int_{0}^{2\cos{u}}t^{n}e^{-t}dt\right|du$$
$0\leqq u\leqq \pi$の範囲だと$-2\leqq 2\cos{u}\leqq 2$であり,$e^{-t}$は単調減少なので$t=-2$で固定したときの方が大きい。よって
$$K_{n}\leqq \int_{0}^{\pi}\left|e^{2\cos{u}}\int_{0}^{2\cos{u}}t^{n}e^{2}dt\right|du $$
さらに$t^{n}$は単調増加なので$2\cos{u}\leqq 2$ を用いて、
$$K_{n}\leqq e^2\int_{0}^{\pi}\left|e^{2\cos{u}}\dfrac{2^{n+1}}{2n+1}\right|du=\dfrac{e^2 2^{n+1}}{2n+1}\int_{0}^{\pi}\left|e^{2\cos{u}}\right|du\leqq \dfrac{e^{2}2^{n+1}}{2n+1}e^{2}\int_{0}^{\pi}du$$
すなわち、
$$K_{n}\leqq \dfrac{\pi e^{4}2^{n+1}}{2n+1}$$
$$\dfrac{K_{n}}{n!}\leqq \dfrac{\pi e^{4}2^{n+1}}{(2n+1)n!}\to0\quad(n\to\infty)$$
よって題意は示された。

では道具も揃ったことですし、求めていきましょう。

本題

$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n!)^{2}}=\text{???}$$

$f_n(2\cos{u})$を考える.補題2より,
$$\dfrac{e^{2\cos u} f_n(2\cos{u})}{n!}=e^{2\cos{u}}-\biggl(1+\dfrac{2\cos{u}}{1!}+\dfrac{(2\cos{u})^2}{2!}+\dfrac{(2\cos{u})^3}{3!}+\cdots +\dfrac{(2\cos{u})^n}{n!}\biggl)$$
和の記号を用いて、
$$\dfrac{1}{n!}e^{2\cos u} f_n(2\cos{u})=e^{2\cos u}-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(2\cos{u})^k}{k!}$$
両辺を$u$について$[0,\pi]$で積分する。（さらに、両辺に絶対値をとり、三角不等式を用いた。）
$$\dfrac{K_{n}}{n!}\geqq\left|\int_{0}^{\pi}e^{2\cos{u}}du\,-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{2^k}{k!}\int_{0}^{\pi}(\cos{u})^kdu\right|$$
$n=2N$ と仮定すると, 補題1から, 奇数番目の項は$0$なので
$$\dfrac{K_{2N}}{n!}\geqq\left|\int_{0}^{\pi}e^{2\cos{u}}du\,-\sum_{k=0}^{N}\dfrac{2^{2k}}{(2k)!}\cdot\pi \cdot \dfrac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2}\right|$$
すなわち、
$$\dfrac{K_{2N}}{n!}\geqq\left|\int_{0}^{\pi}e^{2\cos{u}}du\,-\pi \sum_{k=0}^{N}\dfrac{1}{(k!)^2}\right|$$
$N\to\infty$ とすれば補題3より、はさみうちの原理で
$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n!)^2}=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{2\cos{x}}dx$$
を得る。$n=2N+1$ でも同様に示せる。

最後に

いかがでしたか？？？まさかまさかの結果ですよね。高校範囲（定積分の形）で求められるだなんて！！

$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}=e$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n!)^2}=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{2\cos{x}}dx$$

収束速度もすごい！！（当たり前か）

え？「その定積分が高校範囲で解けないだろ？」って？

それは絶対に言ってはなりません‼️ちょ、まじでやめてね。

とまあ、このようにウォリス積分および$e^x$のマクローリン展開を利用して求められたわけですが、僕は今これが「無理数」なのか気になってたまりませんね！！！
ちなみにこの導出を思いついたの高校3年生の夏休みど真ん中ですね。（受験生が何をしているんですかね？）作問仲間に解かせたいい思い出ですね〜、、、今は3乗の場合の和を考えていますが高校範囲で収まってくれる気はしませんね。ここからはこの級数に関する「おまけ」程度のお話です！！

(ちなみに作問の題材としてたけど普通に解くのに時間かかりすぎるのでボツにしました。)

おまけ

この等式の背景には、第1種ベッセル関数 $I_{\nu}(z)$というものがあります。
$$I_{\nu}(z) = \sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{1}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\dfrac{1}{2}z\right)^{\nu+2m} $$
今回はこれの $\nu=0,\,z=2$ だったというわけです。
もっと勉強してからこれについての記事も上げたいですね。
Wolframさん