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東大数理院試過去問解答例(2022B02)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2022B02

R=C[X,Y]/(X2)及びその極大イデアルm:=(X,Y)/(X2)を考える。このときC-線型空間Rmに積
(a,z)(b,w)=(ab,aw+bz)
を定める。この積によってRmC-代数と見做したものをRmとおく。
(1) Rmの部分集合
mm:={(a,z)Rm|am}
Rmの極大イデアルであることを示せ。
(2) C-線型空間(mm)/(mm)2の次元nを求めなさい。
(3) 上記のnに対して全射環準同型C[T1,,Tn]Rmを構成し、その核のイデアルとしての生成系をひとつ挙げなさい。

  1. まず
    S=C[X,Y,XZ,YZ]/(X2,X2Z2,Y2Z2,XYZ2,X2Z)
    とおき、写像
    RmS(a,z)a+zZ
    で定める。このときf1及び加法を保ち、また
    f((az)(bw))=f((ab,aw+bz))=ab+(aw+bz)Z=(a+zZ)(b+wZ)=f(az)f(bw)
    であるから全射環準同型である。また
    SRmf(X,Y)+Zg(X,Y)(f,g)
    と定義する。まずSの元でZ2を含む項は0であるから、gはwell-definedな写像である。g1を保ち
    g((s+tZ)(a+bZ))=g(sa+(sb+ta)Z)=(sa,sb+ta)=(s,t)(a,b)=g(s+tZ)g(a+bZ)
    であるから環準同型であり、fgは一方が他方の逆を定めている。よって環同型RmSが従う。このときmmに対応するのはn:=(X,Y,XZ,YZ)/(X2,X2Z2,XYZ2,Y2Z2,X2Z)であり、これはSの極大イデアルである。
  2. 上記の対応から
    n/n2(X,Y,XZ,YZ)/(X2,XY,Y2,X2Z2,XYZ2,Y2Z2,X2Z,XYZ)CXCYCXZCYZ
    であるから4次元である。
  3. (1)から全射環準同型
    f:C[T1,T2,T3,T4]Sf(T1,T2,T3,T4)f(X,Y,XZ,YZ)
    によって所望の全射g:=T=C[T1,T2,T3,T4]Rmが誘導される。その核はf1(X2,X2Z,X2Z2,XYZ2,Y2Z2)であり、これはイデアルp:=(T12,T1T3,T3T4,T32,T42)を含んでいる。ここでTの元はpの元と
    i=0Nfi(T1,T3,T4,T1T4)T2i
    の型をした元の和で書ける(fi1次式)。これをfで送ると、
    F:=i=0Nfi(X,XZ,YZ,XYZ)Yi
    の型をしている。FSに於いて0であったとする。ここでnC上の線型空間としてはXについての次数が2以上であるかZとしての次数が2以上であるような一部のXaYbZcによって生成されるから、F=0が従う。よってpが核であり、その生成系として{T12,T32,T42,T1T3,T3T4}が挙げられる。
投稿日:20231023
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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