ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
環$R=\mathbb{C}[X,Y]/(X^2)$及びその極大イデアル$\mathfrak{m}:=(X,Y)/(X^2)$を考える。このとき$\mathbb{C}$-線型空間$R\oplus\mathfrak{m}$に積
$$
(a,z)\ast(b,w)=(ab,aw+bz)
$$
を定める。この積によって$R\oplus\mathfrak{m}$を$\mathbb{C}$-代数と見做したものを$R\ast\mathfrak{m}$とおく。
(1) $R\ast\mathfrak{m}$の部分集合
$$
\mathfrak{m}\ast\mathfrak{m}:=\{(a,z)\in R\ast\mathfrak{m}|a\in\mathfrak{m}\}
$$
は$R\ast\mathfrak{m}$の極大イデアルであることを示せ。
(2) $\mathbb{C}$-線型空間$(\mathfrak{m}\ast\mathfrak{m})/(\mathfrak{m}\ast\mathfrak{m})^2$の次元$n$を求めなさい。
(3) 上記の$n$に対して全射環準同型$\mathbb{C}[T_1,\cdots,T_n]\twoheadrightarrow R\ast\mathfrak{m}$を構成し、その核のイデアルとしての生成系をひとつ挙げなさい。