ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2022B02
環及びその極大イデアルを考える。このとき-線型空間に積
を定める。この積によってを-代数と見做したものをとおく。
(1) の部分集合
はの極大イデアルであることを示せ。
(2) -線型空間の次元を求めなさい。
(3) 上記のに対して全射環準同型を構成し、その核のイデアルとしての生成系をひとつ挙げなさい。
- まず
とおき、写像
で定める。このときは及び加法を保ち、また
であるから全射環準同型である。また
と定義する。まずの元でを含む項はであるから、はwell-definedな写像である。もを保ち
であるから環準同型であり、とは一方が他方の逆を定めている。よって環同型が従う。このときに対応するのはであり、これはの極大イデアルである。 - 上記の対応から
であるから次元である。 - (1)から全射環準同型
によって所望の全射が誘導される。その核はであり、これはイデアルを含んでいる。ここでの元はの元と
の型をした元の和で書ける(は次式)。これをで送ると、
の型をしている。がに於いてであったとする。ここでは上の線型空間としてはについての次数が以上であるかとしての次数が以上であるような一部のによって生成されるから、が従う。よってが核であり、その生成系としてが挙げられる。