非整数階時間微分を含む拡散方程式の初期値境界値問題その2

Banachの不動点定理を用いて証明する. 作用素$\Phi$を
\begin{equation}\label{eq:9}\tag{9} \Phi[d_n](t) = d_{n,0} - I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n)(t) + F^n(t) \end{equation}
と定め, まず, $d_n \in Y_{\alpha}(T)$ならば$\Phi[d_n] \in Y_{\alpha}(T)$であることを示す. $\tilde{A}^nd_n \in C[0,T]$であるので, $I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n) \in C[0,T]$である. よって,
\begin{align} \left|\Phi[d_n]\right| & \leqslant |d_{n,0}| + \left|I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n)(t)\right| + |F^n(t)| \\ & \leqslant |d_{n,0}| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\left|\tilde{A}^n(\tau)d_n(\tau)\right|\ d\tau + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}|F^n(\tau)|\ d\tau \end{align}
と評価できるので, 両辺$t\in[0,T]$上でsupをとると,
\begin{align} \sup_{t\in[0,T]}\left|\Phi[d_n]\right| \leqslant |d_{n,0}| + \sup_{t\in[0,T]}\left|\tilde{A}^n(t)\right|\sup_{t\in[0,T]}\left|d_n(t)\right|\frac{T^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)} + \sup_{t\in[0,T]}\left|F^n(t)\right|\frac{T^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)} \end{align}
となるので,
\begin{equation} \left\|\Phi[d_n]\right\|_{C[0,T]} \leqslant |d_{n,0}| + \|\tilde{A^n}\|_{C[0,T]}\left\|d_n\right\|_{C[0,T]} + \|F^n\|_{C[0,T]} < \infty \end{equation}
が得られる. また,
\begin{equation} \Phi'[d_n](t) = -I^{\alpha}\left[(\tilde{A}^nd_n)'\right](t) + \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\tilde{A}^n(0)d_{n,0} + I^{\alpha}\left[(F^n)'\right](t) + \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}F^n(0) \end{equation}
となるので, 両辺に$t^{1-\alpha}$上をかけると
\begin{equation} t^{1-\alpha}\Phi'[d_n](t) = -t^{1-\alpha}I^{\alpha}\left[(\tilde{A}^nd_n)'\right](t) + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\tilde{A}^n(0)d_{n,0} + t^{1-\alpha}I^{\alpha}\left[(F^n)'\right](t) + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}F^n(0) \end{equation}
となる. したがって,
\begin{align} \left|t^{1-\alpha}\Phi'[d_n](t)\right| & \leqslant t^{1-\alpha}\left|\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}(\tilde{A}^n)'(\tau)d_n(\tau)\ d\tau\right| + t^{1-\alpha}\left|\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tilde{A}^n(\tau)d_n'(\tau)\ d\tau\right| \\ & \hspace{3cm} + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|\tilde{A}^n(0)||d_{n,0}| + t^{1-\alpha}\left|\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}(F^n)'(\tau)\ d\tau\right| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|F^n(0)| \\ & \leqslant \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\sup_{t\in[0,T]}|d_n(t)|\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}(\tilde{A}^n)'(t)|\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\alpha-1}\ d\tau \\ & \hspace{2cm} + \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\sup_{t\in[0,T]}|\tilde{A}^n(t)|\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}d_n'(t)|\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\alpha-1}\ d\tau \\ & \hspace{5cm} + \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}(F^n)'(t)|\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\alpha-1}\ d\tau \\ & \hspace{8cm} + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|\tilde{A}^n(0)||d_{n,0}| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|F^n(0)| \end{align}
と評価できる. ここで,
\begin{equation} \int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\alpha-1}\ d\tau = \frac{(\Gamma(\alpha))^2}{\Gamma(2\alpha)}t^{2\alpha-1} \end{equation}
であるので, 任意の$t \in [0,T]$に対して
\begin{align} \left|t^{1-\alpha}\Phi'[d_n](t)\right| & \leqslant \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}t^{\alpha}\sup_{t\in[0,T]}|d_n(t)|\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}(\tilde{A}^n)'(t)| + \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}t^{\alpha}\sup_{t\in[0,T]}|\tilde{A}^n(t)|\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}d_n'(t)| \\ & \hspace{3cm} + \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}t^{\alpha}\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}(F^n)'(t)| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|\tilde{A}^n(0)||d_{n,0}| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|F^n(0)| \end{align}
となる. したがって,
\begin{multline} \left\|t^{1-\alpha}\Phi'[d_n](t)\right\|_{C[0,T]} \\ \leqslant \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}T^{\alpha}\left(\|d_n\|_{C[0,T]}\|t^{1-\alpha}(\tilde{A}^n)'\|_{C[0,T]} + \|\tilde{A}^n\|_{C[0,T]}\|t^{1-\alpha}d_n'\|_{C[0,T]} + \|t^{1-\alpha}(F^n)'\|_{C[0,T]}\right) \\ + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|\tilde{A}^n(0)||d_{n,0}| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|F^n(0)| < \infty \end{multline}
が得られ, $\Phi[d_n] \in Y_{\alpha}(T)$が示された. 次に$\Phi[d_n]$が縮小写像であることを示す.
\begin{align} \|\Phi[d_n^1] - \Phi[d_n^2]\|_{C[0,T]} & \leqslant \left\|I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n^1) - I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n^2)\right\|_{C[0,T]} \\ & \leqslant \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\|\tilde{A}^n\|_{C[0,T]}\|d_n^1 - d_n^2\|_{C[0,T]}\ d\tau \\ & = \frac{T^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)}\|\tilde{A}^n\|_{C[0,T]}\|d_n^1 - d_n^2\|_{C[0,T]} \end{align}
となり, 同様にして
\begin{align} & \|t^{1-\alpha}\Phi'[d_n^1] - t^{1-\alpha}\Phi'[d_n^2]\|_{C[0,T]} \\ & \leqslant \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}T^{\alpha}\left(\|t^{1-\alpha}(\tilde{A}^n)'\|_{C[0,T]}\|d_n^1 - d_n^2\|_{C[0,T]} + \|\tilde{A}^n\|_{C[0,T]}\|t^{1-\alpha}(d_n^1)' - t^{1-\alpha}(d_n^2)'\|_{C[0,T]}\right) \end{align}
と評価できるので, これらを合わせて
\begin{align} \|\Phi[d_n^1] - \Phi[d_n^2]\|_{Y_{\alpha}(T)} & = \|\Phi[d_n^1] - \Phi[d_n^2]\|_{C[0,T]} + \|t^{1-\alpha}\Phi[d_n^1] - t^{1-\alpha}\Phi[d_n^2]\|_{C[0,T]} \\ & \leqslant C(\alpha)T^{\alpha}\|\tilde{A}^n\|_{Y_{\alpha}(T)}\|d_n^1 - d_n^2\|_{Y_{\alpha}(T)} \end{align}
とできる. よって,
\begin{equation} C(\alpha)T^{\alpha}\|\tilde{A}^n\|_{Y_{\alpha}(T)} < 1 \end{equation}
となるように$T$を選べば$\Phi[d_n]$は縮小写像になる. よって, Banachの不動点定理より$X(T)$に属する解が一意に存在することが証明された.

式\eqref{eq:10}の両辺に$d_{n,m}(t)$をかけて$m = 1$から$n$まで和を取ると,
\begin{multline} \int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n(x,t)\ dx \\ = \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}f_{n}(x,t)u_n(x,t)\ dx \end{multline}
となる. 左辺は, 補題3とelliptic conditionより
\begin{equation} \int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n(x,t)\ dx = \frac{1}{2}\caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{2\Gamma(1-\a)}\int_0^t\frac{\|u_n(t) - u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-\tau)^{\a+1}}\ d\tau + \frac{1}{2}g_{\a}(t)\|u_n(t) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2, \end{equation}
\begin{equation} \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n(x,t)\ dx \geqslant \lambda\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \end{equation}
となる. 右辺は, Holderの不等式とCauchyの不等式を用いると
\begin{multline} \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}f_{n}(x,t)u_n(x,t)\ dx\\ \leqslant q_n(t)\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{2}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \end{multline}
と評価できる. ここで, $q_n(t)$は$\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}, \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}, \lambda$に依存する関数である. よって, 以上をまとめると
\begin{multline}\label{eq:11}\tag{11} \caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\frac{\|u_n(t) - u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-\tau)^{\a+1}}\ d\tau + g_{\a}(t)\|u_n(t) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \lambda\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\ \leqslant q_n(t)\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \end{multline}
である. まず$\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}$の評価を行う.
\begin{equation} \caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant q_n(t)\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \end{equation}
の両辺を$0$から$t$まで$\alpha$階Riemann-Liouville積分すると, $\|u_n(\cdot)\|_{L^2(\om)} \in AC[0,T]$であるので,
\begin{equation} \|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}I^{\a}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 + h_n(t)I^{\a}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \end{equation}
となる. ここで, $h_n(t)$は$\|b\|_{L^\infty(Q_t)}, \|c\|_{L^\infty(Q_t)}, \lambda$に依存する$t$に関する非減少関数である. したがって, Gronwallの不等式から
\begin{equation} \|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty h_n^k(t)\frac{t^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)} + \frac{2}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty h_n^k(t)I^{\a(k+1)}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \end{equation}
を得る. 右辺が各$n \in \N$に対して絶対収束することを示す.
\begin{equation} \sum_{k=0}^\infty h_n^k(t)\frac{t^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)} = E_{\a}(h_n(t)t^{\a}) < \infty, \end{equation}
\begin{align} \sum_{k=0}^\infty h_n^k(t)I^{\a(k+1)}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 & = \sum_{k=0}^\infty\int_0^t\frac{h_n^k(t)(t-\tau)^{\a(k+1)-1}}{\Gamma(\a k+\a)}\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}\ d\tau \\ & \leqslant \sup_{\tau\in[0,t]}\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty\frac{h_n^k(t)t^{\a(k+1)}}{\Gamma(\a k+\a+1)} \\ & = \sup_{\tau\in[0,t]}\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2t^{\a}E_{\a}(h_n(t)t^\a) < \infty \end{align}
となり, 収束性が確かめられた. 式\eqref{eq:11}の両辺を$0$から$t$まで積分すると, $I = I^{1-\a}I^{\a}$より
\begin{multline} I^{1-\a}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|u_n(\tau) - u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{(\tau-s)^{\a+1}}\ dsd\tau + \int_0^tg_{\a}(\tau)\|u_n(\tau) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\ \leqslant \frac{t^{1-\a}}{\Gamma(2-\a)}\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + h_n(t)\int_0^t\|u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \end{multline}
が得られる. 故に, 先程の議論より,
\begin{align} h_n(t)\int_0^t\|u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau & \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty h_n^{k+1}(t)\frac{t^{\a k+1}}{\Gamma(\a k+2)} + \frac{2}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty h_n^{k+1}(t)I^{\a(k+1)+1}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \\ & \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty h_n^{k+1}(t)\frac{t^{\a k+1}}{\Gamma(\a k+2)} + \frac{2}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{h_n^{k+1}(t)t^{\a(k+1)}}{\Gamma(\a k+\a+1)}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \\ & = \|u_0\|_{L^2(\om)}^2t^{\a}h_n(t)E_{\a,2}(h_n(t)t^{\a}) + h_n(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(h_n(t)t^{\a})\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \end{align}
と評価できる. よって,
\begin{align} t^{\a}h_n(t)E_{\a,2}(h_n(t)t^{\a}) & \leqslant \sup_n\sup_{t\in[0,T]}t^{\a}h_n(t)E_{\a,2}(h_n(t)t^{\a}) \\ & = \sup_nT^{\a}h_n(T)E_{\a,2}(h_n(T)T^{\a}) =: \gamma_0 < \infty, \end{align}
\begin{align} h_n(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(h_n(t)t^{\a}) & \leqslant \sup_n\sup_{t\in[0,T]}h_n(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(h_n(t)t^{\a}) \\ & = \sup_nh_n(T)T^{\a}E_{\a,\a+1}(h_n(T)T^{\a}) =: \gamma_1 < \infty \end{align}
であり, $\gamma_0, \gamma_1$は$\a, T, \lambda, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である. 以上で補題の証明が完了した.

補題4より,
\begin{equation} \|u_n\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|u_n\|_{H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))} \leqslant C \end{equation}
である. 次に$\caputo u_n$の評価を行う. $\theta_m$を定数とし, $\displaystyle w(x) = \sum_{m=1}^\infty \theta_m\varphi_m(x)$とする. $\displaystyle w_n(x) = \sum_{m=1}^n\theta_m\varphi_m(x)$とし, 式\eqref{eq:10}の両辺に$\theta_m$をかけて$m=1$から$n$まで和を取ると,
\begin{multline} \int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iw_n(x)\ dx \\ = \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)w_n(x)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)w_n(x)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)w_n(x)\ dx \end{multline}
となり, Holderの不等式より
\begin{multline}\label{eq:12}\tag{12} \left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx\right| \leqslant N^2\mu\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n\|_{L^2(\om)} + \|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^{2}(\om)} \\ + \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^{2}(\om)}\|w_n\|_{L^{2}(\om)} + \|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}\|w_n\|_{H_0^1(\om)} \end{multline}
が得られる. ここで, $u_n(x,\cdot) \in AC[0,T]$より$\caputo u_n = \dt I^{1-\a}[u_n-u_{n.0}]$であるので,
\begin{equation} \left\|\frac{d}{dt}I^{1-\alpha}[u_n - u_{n,0}](t)\right\|_{H^{-1}(\om)} = \sup_{\|w\|_{H_0^1(\om)}}\left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx\right| \end{equation}
である. 式\eqref{eq:12}の右辺は$L^2(0,T)$の意味で$n$に対して一様有界であるから
\begin{equation} \sup_{n}\left\|\dt I^{1-\a}[u_{n} - u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))} < \infty \end{equation}
を得る. 以上の議論から, 弱コンパクト性定理より
\begin{equation} u_{n_k} \to u\ \ {\rm weakly\ in}\ \ L^2(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty, \end{equation}
\begin{equation} I^{1-\a}[u_{n_k} - u_{n_k,0}] \to I^{1-\a}[u-u_0]\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^1(0,T; H^{-1}(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty, \end{equation}
となる部分列$\{u_{n_k}\}$と$u \in L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))$が存在する. 今得られた$u$が定義1をみたすことは前回と同様に証明すればよい. 以上で定理1の証明が完了した.

\begin{equation} u(t) - u_0 = I^{\alpha}\frac{d}{dt}I^{1-\alpha}[u-u_0](t) \end{equation}
である.　また, $\dt I^{1-\alpha}[u-u_0] \in AC[0,T]$であるから,
$I^{\alpha}\dt I^{1-\alpha}[u-u_0] \in AC[0,T]$となる. よって, $u \in AC[0,T]$である. 両辺を$t$について微分すると,
\begin{equation} u'(t) = I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t) + \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](0) \end{equation}
となるので, 両辺に$t^{1-\alpha}$をかけると
\begin{equation} t^{1-\alpha}u'(t) = t^{1-\alpha}I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t) + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](0) \end{equation}
である. したがって,
\begin{equation} \|t^{1-\alpha}u'(t)\|_X \leqslant t^{1-\alpha}\left\|I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\left\|\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](0)\right\|_X \end{equation}
となる. 第1項はHolderの不等式より
\begin{align} \left\|I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X & \leqslant I^{\alpha}\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \\ & = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](\tau)\right\|_X\ d\tau \\ & \leqslant \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\left(\int_0^t(t-\tau)^{\frac{(\alpha-1)p}{p-1}}\ d\tau\right)^{\frac{p-1}{p}}\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0]\right\|_{L^p(0,T; X)} \\ & = C_{\alpha,p}t^{\alpha-\frac{1}{p}}\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0]\right\|_{L^p(0,T; X)} \end{align}
と評価できる. 第2項はSobolevの不等式より
\begin{equation} \left\|\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](0)\right\|_X \leqslant \sup_{t\in[0,T]}\left\|\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \leqslant C_T\|I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{W^{2,p}(0,T; X)} \end{equation}
が成立する. 以上をまとめると
\begin{equation} \sup_{t\in[0,T]}\|t^{1-\alpha}u'(t)\|_X \leqslant C\|I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{W^{2,p}(0,T; X)} \end{equation}
が得られる. ここで, $C$は$\alpha,p,T$に依存する定数である. 次に連続性を示す. $h > 0$とすると,
\begin{align} & \|(t+h)^{1-\alpha}u'(t+h) - t^{1-\alpha}u'(t)\|_X \\ & \leqslant \left\|(t+h)^{1-\alpha}I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t+h) - t^{1-\alpha}I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \\ & \leqslant (t+h)^{1-\alpha}\left\|I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t+h) - I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \\ & \hspace{4cm} + \left((t+h)^{1-\alpha} - t^{1-\alpha}\right)\left\|I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \\ & =: I_1 + I_2 \end{align}
となる. $I_1$は, $I^{\alpha}: L^p(0,T) \mapsto C^{0,\alpha-\frac{1}{p}}[0,T]$であるので, $I_1 \to 0$ as $h\to0$となり, $I _2 \to 0$ as $h \to 0$を得る. $h<0$のときも同様である. 以上で補題の証明が完了した. $\square$

式\eqref{eq:10}の右辺は$Y_{\a}(T)$に属するので, $\caputo u_n(x,\cdot) \in Y_{\a}(T)$である. よって, 式\eqref{eq:10}の両辺を$t$に関して微分し, $d_{n,m}'$をかけて$m=1$から$n$まで和を取ると$\dfrac{d}{dt}\caputo u_n = \dfrac{d}{dt}I^{1-\alpha}u_n' = \partial_t^{\alpha}u_n'$より
\begin{multline} \int_{\om}\partial_t^{\alpha}u_n'(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx \\ = \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx \\ + \int_{\om}c_n(x,t)|u_n'(x,t)|^2\ dx + \int_{\om}c_n'(x,t)u_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \int_{\om}f_n'(x,t)u_n'(x,t)\ dx \end{multline}
となる. まず最初に, 左辺について評価を行う. 左辺第1項は, $\partial_t^{\alpha}$の定義より
\begin{equation} \int_{\om}\partial_t^{\alpha}u_n'(x,t)u_n'(x,t)\ dx = \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx \end{equation}
と表せる. よって, 補題8より
\begin{equation} \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx \geqslant \frac{1}{2}\dt\left(g_{\a,k}*\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + \frac{1}{2}g_{\alpha,k}(t)\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \e_k(t) \end{equation}
となる. ここで, $g_{\a,k} \in W^{1,1}(0,T)$は$g_{\a,k} \to g_{\a}$ strongly in $L^1(0,T)$ as $k\to\infty$,
\begin{equation} \e_k(t) = \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx \end{equation}
であり, $\e_k \to 0$ strongly in $L^1(0,T)$ as $k\to\infty$をみたす. 実際,$B_k = \dt(g_{\a,k}*\cdot)$とすれば, $u_n' \in L^2(0,T; L^2(\om))$に対して,
\begin{equation} B_ku_n' \to Bu_n'\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^2(0,T; L^2(\om))\ \ {\rm as}\ \ k\to\infty \end{equation}
が成立する. このことから, Holderの不等式より
\begin{align} \int_0^T\e_k(t)\ dt & = \int_0^T\left\{\int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx\right\}dt \\ & \leqslant \int_0^T\left\|\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'\right)(t) - \frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*u_n'\right)(t)\right\|_{L^2(\om)}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}\ dt \\ & \leqslant \left\|\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'\right) - \frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*u_n'\right)\right\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\|u_n'\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} \to 0\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty \end{align}
がしたがう. 左辺第2項は,
\begin{equation} \sum_{i,j}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx \geqslant \lambda\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 \end{equation}
となり, 左辺第3項は
\begin{align} \left|\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx\right| & \leqslant N^2\max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)} \\ & \leqslant \frac{N^4}{\lambda}\max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}^2\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{4}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 \end{align}
と評価できる. 同様にして, 右辺も評価を行い, まとめると
\begin{multline} \frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + g_{\alpha,k}(t)\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + 2\e_k(t) + \lambda\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\ \leqslant h_n(t)\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + h_n(t)\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\|f_n'(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \end{multline}
が得られる. ただし, $h_n(t)$は$\lambda$, $N$, $\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|b_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}$に依存する関数である. したがって, 両辺を$0$から$t$まで積分すると,
\begin{align} \left(g_{\a,k}*\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) & = \int_0^tg_{\a,k}(t-\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\ & \leqslant \sup_{\tau\in[0,t]}|g_{\a,k}(\tau)|\int_0^t\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \to 0\ \ {\rm as}\ \ t \to 0 \end{align}
となるので,
\begin{multline} \left(g_{\a,k}*\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + \int_0^tg_{\alpha,k}(\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + 2\int_0^t\e_{k}(\tau)\ d\tau + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\ \leqslant q_n(t)\int_0^t\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \end{multline}
となる. ここで, $q_n(t)$は, $\lambda$, $N$, $\|b_n\|_{W^{1,\infty}(0,t; L^\infty(\om))}$, $\|c_n\|_{W^{1,\infty}(0,t; L^\infty(\om))}$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j,n}\|_{L^\infty(Q_t)}$に依存する$t$に関して非減少関数である. これまでの評価から, 各$n\in\N$に対して$g_{\a,k}(\cdot)\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2 \in L^1(0,T)$であるから, Fatouの補題より$g_{\a}(\cdot)\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2 \in L^1(0,T)$を得る. 故に, $k\to\infty$とすれば, $\left(g_{\a}*\cdot\right) = I^{1-\a}$より
\begin{multline}\label{eq:16}\tag{16} I^{1-\a}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^tg_{\alpha}(\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\ \leqslant q_n(t)\int_0^t\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \end{multline}
が得られる. さらに, Riemann-Liouville積分の加法性$I = I^{\a}I^{1-\a}$を用い, $I^{1-\a}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 = v(t)$と表すと
\begin{equation} v(t) \leqslant q_n(t)I^{\a}v(t) + q_n(t)\int_{\om}\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \end{equation}
となる. したがって, Gronwallの不等式を用いると
\begin{align} v(t) & \leqslant \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+1}(t)I^{\a k}\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau\right) + \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+1}(t)I^{\a k}\left(\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right) \\ & = \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+1}(t)I^{\a k+1}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+1}(t)I^{\a k+1}\|f_n'(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \\ & = \sum_{k=0}^\infty\int_0^t\frac{q_n^{k+1}(t)(t-\tau)^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)}\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \sum_{k=0}^\infty\int_0^t\frac{q_n^{k+1}(t)(t-\tau)^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)}\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \\ & \leqslant \sum_{k=0}^\infty \frac{q_n^{k+1}(t)t^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)}\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right) \\ & = q_n(t)E_{\a}(q_n(t)t^{\a})\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right) \\ & < \infty \end{align}
と評価できるので, 式\eqref{eq:16}に適用すると,
\begin{align} v(t) + \int_0^tg_{\alpha}(\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau & \leqslant \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+2}(t)I^{\a(k+1)+1}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+2}I^{\a(k+1)+1}\|f_n'(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{\lambda}{2}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \\ & \leqslant q_n^2(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(q_n(t)t^{\a})\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right) + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{\lambda}{2}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \end{align}
が得られる. よって,
\begin{equation} q_n^2(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(q_n(t)t^{\a}) \leqslant \sup_nq_n^2(T)T^{\a}E_{\a,\a+1}(q_n(T)T^{\a}) =: \gamma_2 < \infty \end{equation}
を得る. ここで, $\gamma_2$は$\lambda$, $N$, $\|b\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\|c\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である. 以上で補題の証明が完了した.

補題9より$u_n \in H^1(0,T; H_0^1(\om))$である. 次に, $\caputo u_n$の評価を行う. $u_n$の絶対連続性を用いると
\begin{equation} \sup_n\left\|\frac{d}{dt}I^{1-\alpha}[u_n-u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} = \sup_n\left\|\caputo u_n\right\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} \leqslant C_{\alpha,T}\sup_n\|u_n'\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} < \infty \end{equation}
が得られる. 一方, 式\eqref{eq:10}の両辺に$d_{n,m}'$をかけて$m=1,\cdots,n$まで和をとると,
\begin{multline} \int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx \\ = \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_n(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx \end{multline}
となる. ここで, $u_n' = \dt Iu_n' = \dt I^{\alpha}I^{1-\alpha}u_n' = \partial_t^{1-\alpha}[\caputo u_n]$に注意し, $v = \caputo u_n \in L^2(0,T;L^2(\om))$とおく. このとき, $\caputo u_n \in Y_{\alpha}(T)$より, 補題8は$k=g_{1-\alpha}$のときでも成立する. よって,
\begin{align} \int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx & = \int_{\om}\partial_t^{1-\alpha}v(x,t)v(x,t)\ dx \\ & = \frac{1}{2}\dt\left(g_{1-\alpha}*\|v(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right) + \frac{1}{2}g_{1-\alpha}(t)\|v(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1-\alpha}{2\Gamma(\alpha)}\int_0^t\frac{\|v(t)-v(\tau)\|_{L^2(\om)}}{(t-\tau)^{2-\alpha}}\ d\tau \end{align}
が得られる. したがって, Holderの不等式を用いると,
\begin{equation} \dt\left(g_{1-\alpha}*\|\caputo u_n(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + g_{1-\alpha}(t)\|\caputo u_n(t)\|_{L^2(\om))}^2 + \frac{1-\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\frac{\|\caputo u_n(t)-\caputo u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}}{(t-\tau)^{2-\alpha}}\ d\tau \leqslant h_n(t)\left(\|u_n(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|u_n'(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2\right) \end{equation}
が得られる. ここで, $h_n(t)$は$\mu,N,\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)},\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$に依存する. 故に, $0$から$t$まで積分すれば
\begin{equation} \left(g_{1-\alpha}*\|\caputo u_n(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + \int_0^tg_{1-\alpha}(\tau)\|\caputo u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{1-\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|\caputo u_n(\tau)-\caputo u_n(s)\|_{L^2(\om)}}{|\tau-s|^{2-\alpha}}\ dsd\tau \leqslant C(\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \|f\|_{H^1(0,T; H^{-1}(\om))}) \end{equation}
となる. したがって,
\begin{equation} \sup_n\sup_{t\in[0,T]}\left|\left(g_{1-\alpha}*\|\caputo u_n(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t)\right| + \sup_n\left|\int_0^Tg_{\alpha}(t)\|\caputo u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2\ dt\right| + \sup_n\|\caputo u_n\|_{H^{\frac{1-\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))} < \infty \end{equation}
を得る.
$w \in H_0^1(\om)$, $\theta_m$を定数とすると, $\displaystyle w(x) = \sum_{k=0}^\infty \theta_m\varphi_m(x)$となる. $\displaystyle w_n(x) = \sum_{k=0}^n \theta_m\varphi_m(x)$と表す. このとき, 式\eqref{eq:10}の両辺を$t$について微分し, $\theta_m$をかけて$m=1$から$n$まで和をとり, Holderの不等式を用いると,
\begin{align} & \left|\int_{\om}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u_n(x,\cdot) - u_{n,0}(x)](t)w_n(x)\ dx\right| \\ & \leqslant N^2\mu\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n\|_{L^2(\om)} + N^2\max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n\|_{L^2(\om)} \\ & \hspace{2cm} + \|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}\|w\|_{L^2(\om)} + \|b_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w\|_{L^2(\om)} \\ & \hspace{4cm} + \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^2(\om)} + \|c_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^2(\om)} \\ & \hspace{12cm} + \|f'(t)\|_{H^{-1}(\om)}\|w_n\|_{H_0^1(\om)} \end{align}
と
評価できる. この右辺は$L^2(0,T)$の意味で$n$に対して一様有界である. したがって,
\begin{equation} \left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\a}[u_n - u_{n,0}](t)\right\|_{H^{-1}(\om)} = \sup_{\|w\|_{H_0^1(\om)}=1}\left|\int_{\om}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\a}[u_n(x,\cdot) - u_{n,0}(x)](t)w(x)\ dx\right| \end{equation}
から
\begin{equation} \sup_n\left\|\frac{d^2}{dt^2} I^{1-\a}[u_n - u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))} < \infty \end{equation}
を得る. 以上の議論から, 弱コンパクト性より
\begin{equation} u_{n_k} \to u\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^1(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty, \end{equation}
\begin{equation} I^{1-\a}[u_{n_k}-u_{n_k,0}] \to I^{1-\a}[u-u_0]\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^2(0,T; H^{-1}(\om)) \cap H^1(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty \end{equation}
なる部分列$\{u_{n_k}\}$, $u \in H^1(0,T; H_0^1(\om))$が存在する. また, $u \in C([0,T]; H_0^1(\om)) \cap C^1((0,T]; H^{-1}(\om))$, $t^{1-\alpha}u' \in C([0,T]; H^{-1}(\om))$であることは補題9よりしたがう. 最後に, $f \in L^2(0,T; H_0^1(\om))$, $a_{i,j},b,c \in L^\infty(0,T; C^2(\overline{\om}))$, $\partial\om \in C^3$も仮定する. このとき, $h(t) := \caputo u(t) - f(t) \in H_0^1(\om)$ a.e. $t \in [0,T]$であるので, $v \in H_0^1(\om)$に対して等式
\begin{equation} \int_{\om}Lu(x,t)v(x)\ dx = \int_{\om}h(x,t)v(x)\ dx\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in [0,T] \end{equation}
が得られる. したがって, 楕円型正則性定理より
\begin{align} \|u(t)\|_{H^3(\om)}^2 & \leqslant C(\|h(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|u(t)\|_{L^2(\om)}) \\ & \leqslant C(\|\caputo u(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|f(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|u(t)\|_{L^2(\om)}^2) \end{align}
と評価できるので, $0$から$t$まで積分すれば,
\begin{align} \|u\|_{L^2(0,T; H^3(\om))} &\leqslant C(\|\caputo u\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|f\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))}^2 + \|u\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}) \\ & \leqslant C(\|u_0\|_{L^2(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|f'\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))}) \end{align}
となる. 以上で定理の証明が完了した. $\square$

式\eqref{eq:10}の両辺を$t$について微分し, $\lambda_md_{n,m}'$をかけて$m=1$から$n$まで和をとると,
\begin{multline} -\int_{\om}\partial_t^{\alpha}u_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\partial_i\Delta u_n'(x,t)\ dx \\ -\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\Delta u_n'(x,t)\ dx \\ = -\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx \\ - \int_{\om}c_n(x,t)u_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n'(x,t)u_n(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}f_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx \end{multline}
となる. 左辺第1項は,
\begin{align} -\int_{\om}\partial_t^{\alpha}u_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx & = \int_{\om}\partial_t^{\alpha}\nabla u_n'(x,t)\cdot\nabla u_n'(x,t)\ dx \\ & \geqslant \frac{1}{2}\dt\left(g_{\a,k}*\|\nabla u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + \tilde{\e}_k(t) \end{align}
と評価できる. ここで,
\begin{equation} \tilde{\e}_k(t) = \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*\nabla u_n'(x,\cdot)\right)(t)\cdot\nabla u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}^k*\nabla u_n'(x,\cdot)\right)(t)\cdot\nabla u_n'(x,t)\ dx \end{equation}
かつ, $\e_k\to0$ strongly in $L^1(0,T)$ as $k\to\infty$をみたす. 左辺第2項は,
\begin{align} - \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\partial_i\Delta u_n'(x,t)\ dx & = \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}\partial_i\left(a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\right)\Delta u_n'(x,t)\ dx \\ & \geqslant \frac{\lambda}{4}\|\nabla^2u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 - C_{0,n}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 \end{align}
が得られる. ここで, $C_{0,n}$は$\kappa(t) = \displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j,n}(t)\|_{L^\infty(\om)}$と$\partial\om$の正則性に依存する定数である. 左辺第3項と右辺は,
\begin{multline} \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n(x,t)u_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n'(x,t)u_n(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}f_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx \\ \leqslant h_n(t)\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + h_n(t)\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{16}\|\nabla^2u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 \end{multline}
となる. ここで, $h_n(t)$は$\lambda$, $N$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|b_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}$に依存する関数である. よって, 以上をまとめ, $0$から$t$まで積分すると,
\begin{multline} \left(g_{\alpha}^k*\|\nabla u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + 2\int_0^t\tilde{\e}_k(\tau)\ d\tau + \frac{\lambda}{8}\int_0^t\|\nabla^2u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\ \leqslant q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{1}{\lambda}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \end{multline}
ここで, $q_n(t)$は$\lambda, N, M_T, \|b_n\|_{W^{1,\infty}(0,t; L^\infty(\om))}, \|c_n\|_{W^{1,\infty}(0,t; L^\infty(\om))}, \kappa(t)$, $\partial\om$の正則性に依存する定数である. よって, $k \to \infty$とすれば補題の証明が完了する.

補題10, 補題11より同様の議論をすることで, $u \in H^1(0,T; H^2(\om))$の存在性,
\begin{equation} \sup_n\sup_{t\in[0,T]}\left|\left(g_{\alpha}*\|u_n'(\cdot)\|_{H_0^1(\om)}^2\right)(t)\right| + \sup_n\left|\int_0^Tg_{\alpha}(t)\|u_n'(t)\|_{H_0^1(\om)}^2\ dt\right| < \infty, \end{equation}
\begin{equation} \sup_n\sup_{t\in[0,T]}\left|\left(g_{1-\alpha}*\|\caputo u_n(\cdot)\|_{H_0^1(\om)}^2\right)(t)\right| + \sup_n\left|\int_0^Tg_{1-\alpha}(t)\|\caputo u_n(t)\|_{H_0^1(\om)}^2\ dt\right| < \infty, \end{equation}
\begin{equation} \sup_n\|I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}]\|_{H^2(0,T; L^2(\om))} + \sup_n\|I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{H^1(0,T; H^2(\om))} + \sup_n\|\caputo u_n\|_{H^{\frac{1-\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))} < \infty \end{equation}
が得られる. また, $u \in C([0,T; H^2(\om)) \cap C^1((0,T]; L^2(\om))$ with $t^{1-\alpha}u' \in C([0,T]; L^2(\om))$であることは補題9を用いればよい. さらに, $f \in L^2(0,T; H^2(\om))$, $a_{i,j},b,c \in L^\infty(0,T; C^3(\overline{\om}))$, $\partial\om \in C^4$も仮定し, 楕円型正則性定理を用いれば$u \in L^2(0,T; H^4(\om))$が得られる. 以上で定理の証明が完了した. $\square$