ここでは, 次の非整数階時間微分を含む拡散方程式の初期値境界値問題
\begin{equation}\label{eq:1}\tag{1}
\begin{cases}
\caputo u = Lu + f & {\rm in}\ \ \om\times(0,T) =: Q_T,\\
u = 0 & {\rm on}\ \ \partial\om\times[0,T] =: \Sigma_T,\\
u = u_0 & {\rm on}\ \ \om\times\{t=0\}
\end{cases}
\end{equation}
について考える. 前回では, 一様楕円型作用素$L$が空間変数にのみ依存していたが, 今回は時間変数にも依存するとする. すなわち,
\begin{equation}
Lu = \sum_{i,j=1}^N\partial_i(a_{i,j}(x,t)\partial_ju) + \sum_{j=1}^Nb_j(x,t)\partial_ju + c(x,t)u
\end{equation}
であり, 任意の$(x,t) \in \overline{Q}_T$に対して,
\begin{equation}\label{eq:2}\tag{2}
\lambda|\xi|^2 \leqslant \sum_{i,j=1}^Na_{i,j}(x,t)\xi_i\xi_j \leqslant \mu|\xi|^2
\end{equation}
となる$\lambda, \mu > 0$が存在し, $a_{i,j} = a_{j,i}$をみたす.
次に, 問題\eqref{eq:1}の弱解の定義を次のように与える.
$u$が次の(i), (ii)をみたすとき, 問題\eqref{eq:1}の弱解という.
(i) $u \in W(u_0, H_0^1(\om), L^2(\om)) := \{u \in L^2(0,T; H_0^1(\om)); I^{1-\a}[u-u_0] \in {_0H^1(0,T; H^{-1}(\om))}\}$,
(ii)任意の$\varphi \in H_0^1(\om)$に対して,
\begin{multline}
\dt\int_{\om}I^{1-\a}[u(x,\cdot)-u_0(x)](t)\varphi(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_ju(x,t)\partial_i\varphi(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x,t)\partial_ju(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}c(x,t)u(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}f(x,t)\varphi(x)\ dx,\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in (0,T)
\end{multline}
をみたす. ただし,
\begin{equation}
{_0H^1(0,T) = \{f \in H^1(0,T); f(0) = 0\}}
\end{equation}
である.
問題\eqref{eq:1}に対して, 次の定理が成立する.
$u_0 \in L^2(\om)$, $f \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))$, 式\eqref{eq:2}が成立し, $b,c \in L^\infty(Q_T)$とする. このとき, 問題\eqref{eq:1}の弱解$u = u(x,t)$が一意に存在する. さらに,
\begin{equation}\label{eq:3}\tag{3}
\|I^{1-\a}[u-u_0]\|_{H^1(0,T; H^{-1}(\om))} + \|u\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|u\|_{H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))} \leqslant C\left(\|u_0\|_{L^2(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))}\right)
\end{equation}
が成立する. ここで, $C$は, $\alpha, T, \lambda, \mu, N, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である. また, $\a \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$のとき, $u \in C([0,T]; H^{-1}(\om))$である.
まず最初に, 関数空間$Y_{\alpha}(T)$を
\begin{equation}\label{not1}
Y_{\alpha}(T) = \left\{h \in C^1(0,T]; t^{1-\alpha}h' \in C[0,T]\right\}
\end{equation}
とし, ノルムを
\begin{equation}
\|h\|_{Y_{\alpha}(T)} = \|h\|_{C[0,T]} + \|t^{1-\alpha}h'\|_{C[0,T]}
\end{equation}
と定める. このとき, $Y_{\alpha}(T)$はBanach空間となる. ここで, $\eta_{\e} = \eta_{\e}(t)$をmollifier, すなわち
\begin{equation}
\eta_{\e} \in C_0^\infty(-\e,\e), \ \ \eta_{\e} \geqslant 0,\ \ \int_{\R}\eta_{\e}(t)\ dt = 1
\end{equation}
をみたすものとする. さらに,
\begin{equation}
a_{i,j,n} = \left(\eta_{1/n}*a_{i,j}(x,\cdot)\right)(t)
\end{equation}
と定め,
\begin{equation}
a_{i,j,n} \to a_{i,j}\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^2(Q_T)\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty
\end{equation}
をみたすとする. さらに, 式\eqref{eq:2}より, 任意の$(x,t) \in \overline{Q}_T$に対して
\begin{equation}
\lambda|\xi|^2 \leqslant \sum_{i,j=1}^Na_{i,j,n}(x,t)\xi_i\xi_j \leqslant \mu|\xi|^2\ \ \ {\rm for}\ \ \xi \in {\R}^N
\end{equation}
が成立する. 実際,
\begin{align}
\sum_{i,j=1}^Na_{i,j,n}(x,t)\xi_i\xi_j = \int_{\R}\eta_{1/n}(t-s)\left(\sum_{i,j=1}^Na_{i,j}(x,s)\xi_i\xi_j\right)\ ds
\end{align}
であるので,
\begin{equation}
\lambda|\xi|^2 = \int_{\R}\eta_{1/n}(t-s)\lambda|\xi|^2\ ds \leqslant \int_{\R}\eta_{1/n}(t-s)\left(\sum_{i,j=1}^Na_{i,j}(x,s)\xi_i\xi_j\right)\ ds \leqslant \int_{\R}\eta_{1/n}(t-s)\mu|\xi|^2\ ds = \mu|\xi|^2
\end{equation}
が得られる. 同様にして,
\begin{equation}
b_{j,n}(x,t) = \left(\eta_{1/n}*b_j(x,\cdot)\right)(t),\ \ c_n(x,t) = \left(\eta_{1/n}*c(x,\cdot)\right)(t),\ \ f_n(x,t) = \left(\eta_{1/n}*f(x,\cdot)\right)(t)
\end{equation}
と定義する.
本章では, 通常の放物型方程式に対するGalerkin methodと同様に, 式\eqref{eq:1}の近似解を構成することを目標とする. 前回では, 一様楕円型作用素が空間変数にのみ依存していたため, fractional ODEの解の表現公式を用いて簡単に構成できた. しかし, 今回は変数係数のfractional ODEのため, 積分方程式に書き換え, Banachの不動点定理を用いて解の構成を行う.
$\{\varphi_n(x)\}_{n \in \mathbb{N}}$を
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta\varphi_n = \lambda_n\varphi_n & {\rm in}\ \ \Omega, \\
\varphi_n = 0 & {\rm on}\ \ \partial\Omega
\end{cases}
\end{equation}
をみたす$L^2(\Omega)$の正規直交基底, $H_0^1(\Omega)$の直交基底とし, 次のような問題\eqref{eq:1}の近似解
\begin{equation}\label{eq:4}\tag{4}
u_n(x,t) = \sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\varphi_k(x)
\end{equation}
を求める. すなわち, 係数$d_{n,k}(t)$を決定する. そのため, 次の初期値境界値問題
\begin{equation}\label{eq:5}\tag{5}
\begin{cases}
\displaystyle \caputo u_n = L^nu_n + f_n & {\rm in}\ \ Q_T,\\
u_n = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T, \\
u_n = u_{n,0} & {\rm in}\ \ \Omega \times \{t = 0\}
\end{cases}
\end{equation}
について考える. ただし,
\begin{equation}
u_{n,0}(x) = \varphi_k(x)\left(\sum_{k=1}^n\int_{\Omega}u_0(y)\varphi_k(y)\ dy\right),
\end{equation}
\begin{equation}
L^nu(x,t) = \sum_{i,j=1}^N\partial_i\left(a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju(x,t)\right) + \sum_{j=1}^Nb_{j,n}(x,t)\partial_ju(x,t) + c_n(x,t)u(x,t)
\end{equation}
である. 係数$d_{n,k}$は式\eqref{eq:5}を$\{\varphi_1, \cdots, \varphi_n\}$による有限次元空間への射影を考えることによって決定する. すなわち, 問題\eqref{eq:5}の1行目の方程式の両辺に$\varphi_m$をかけて$\Omega$上で積分をすると, 左辺は
\begin{align}
\int_{\Omega}\varphi_m(x)\caputo u_n(x,t)\ dx
& = \int_{\Omega}\varphi_m(x)\caputo\left(\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\varphi_k(x)\right)(t)\ dx \\
& = \sum_{k=1}^n\caputo d_{n,k}(t)\int_{\Omega}\varphi_m(x)\varphi_k(x)\ dx \\
& = \caputo d_{n,m}(t)
\end{align}
となり, 右辺第1項は部分積分より,
\begin{align}
\sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}\varphi_m(x)\partial_i(a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t))\ dx
& = -\sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}a_{i,j,n}(x,t)\left(\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\partial_j\varphi_k(x)\right)\partial_i\varphi_m(x)\ dx \\
& = -\sum_{i,j=1}^N\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\int_{\Omega}a_{i,j,n}(x,t)\partial_j\varphi_k(x)\partial_i\varphi_m(x)\ dx
\end{align}
となるので,
\begin{multline}
\caputo d_{n,m}(t) = -\sum_{k=1}^n\sum_{i,j=1}^Nd_{n,k}(t)\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_j\varphi_k(x)\partial_i\varphi(x)\ dx \\
+ \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^Nd_{n,k}(t)\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_j\varphi_k(x)\varphi_m(x)\ dx + \sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\int_{\om}c_n(x,t)\varphi_k(x)\varphi_m(x)\ dx \\
+ \int_{\om}f_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx
\end{multline}
が得られる. ここで,
\begin{equation}
d_n(t) = (d_{n,1}(t), \cdots, d_{n,n}(t)),
\end{equation}
\begin{equation}
A_{m,k}^n(t) = \sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}a_{i,j,n}(x,t)\partial_j\varphi_k(x)\partial_i\varphi_m(x)\ dx,\ \ A^n(t) = \{A_{m,k}^n(t)\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
B_{m,k}^n(t) = \sum_{j=1}^N\int_{\Omega}b_{j,n}(x,t)\partial_j\varphi_k(x)\varphi_m(x)\ dx,\ \ B^n(t) = \{B_{m,k}^n(t)\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
C_{m,k}^n(t) = \int_{\Omega}c_n(x,t)\varphi_k(x)\varphi_m(x)dx,\ \ C^n(t) = \{C_{m,k}^n(t)\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
F^n(t) = \left(\int_{\om}f_n(y,t)\varphi_1(y)\ dy, \cdots, \int_{\om}f_n(y,t)\varphi_n(y)\ dy\right),
\end{equation}
\begin{equation}
d_{n,0} = \left(\int_{\Omega}u_0(y)\varphi_1(y)\ dy, \cdots, \int_{\Omega}u_0(y)\varphi_n(y)\ dy\right)
\end{equation}
と定義すると, 式\eqref{eq:5}は,
\begin{equation}\label{eq:6}\tag{6}
\begin{cases}
\caputo d_n(t) = -A^n(t)d_n(t) + B^n(t)d_n(t) + C^n(t)d_n(t) + F^n(t),\\
d_n(0) = d_{n,0}
\end{cases}
\end{equation}
と表される. $d_n \in AC[0,T]$を仮定し, 式\eqref{eq:6}の両辺を$\alpha$階Riemann-Liouville積分すると, 積分方程式
\begin{equation}\label{eq:7}\tag{7}
d_n(t) = d_{n,0} - I^{\alpha}(A^nd_n)(t) + I^{\alpha}(B^nd_n)(t) + I^{\alpha}(C^nd_n)(t) + I^{\alpha}(F^n)(t)
\end{equation}
に書き直せる. $F^n$は滑らかかつ, $A^n, B^n, C^n \in Y_{\alpha}(T)$より$\tilde{A}^n := A^n - B^n - C^n$とすれば
\begin{equation}
\tilde{A}^n \in Y_{\alpha}(T)
\end{equation}
を得る. さらに, 関数空間$X(T)$を
\begin{equation}\label{8}\tag{8}
X(T) = \{z \in C^1((0,T]; \mathbb{R}^n); z(0) = z_{n,0},\ \ t^{1-\alpha}z'(t) \in C([0,T]; \mathbb{R}^n)\}
\end{equation}
と定義し, $z_1, z_2 \in X(T)$に対して距離を
\begin{equation}
\rho(z_1, z_2) = \|z_1 - z_2\|_{Y_{\alpha}(T)}
\end{equation}
と定めると, これは$X(T)$上で完備距離空間となる. 以上の議論より, 次の補題を得る.
任意の$n \in \N$と$T > 0$に対して, 式\eqref{eq:7}をみたす$d_n \in Y_{\alpha}(T)$が一意に存在する.
Banachの不動点定理を用いて証明する. 作用素$\Phi$を
\begin{equation}\label{eq:9}\tag{9}
\Phi[d_n](t) = d_{n,0} - I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n)(t) + F^n(t)
\end{equation}
と定め, まず, $d_n \in Y_{\alpha}(T)$ならば$\Phi[d_n] \in Y_{\alpha}(T)$であることを示す. $\tilde{A}^nd_n \in C[0,T]$であるので, $I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n) \in C[0,T]$である. よって,
\begin{align}
\left|\Phi[d_n]\right|
& \leqslant |d_{n,0}| + \left|I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n)(t)\right| + |F^n(t)| \\
& \leqslant |d_{n,0}| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\left|\tilde{A}^n(\tau)d_n(\tau)\right|\ d\tau + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}|F^n(\tau)|\ d\tau
\end{align}
と評価できるので, 両辺$t\in[0,T]$上でsupをとると,
\begin{align}
\sup_{t\in[0,T]}\left|\Phi[d_n]\right| \leqslant |d_{n,0}| + \sup_{t\in[0,T]}\left|\tilde{A}^n(t)\right|\sup_{t\in[0,T]}\left|d_n(t)\right|\frac{T^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)} + \sup_{t\in[0,T]}\left|F^n(t)\right|\frac{T^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)}
\end{align}
となるので,
\begin{equation}
\left\|\Phi[d_n]\right\|_{C[0,T]} \leqslant |d_{n,0}| + \|\tilde{A^n}\|_{C[0,T]}\left\|d_n\right\|_{C[0,T]} + \|F^n\|_{C[0,T]} < \infty
\end{equation}
が得られる. また,
\begin{equation}
\Phi'[d_n](t) = -I^{\alpha}\left[(\tilde{A}^nd_n)'\right](t) + \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\tilde{A}^n(0)d_{n,0} + I^{\alpha}\left[(F^n)'\right](t) + \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}F^n(0)
\end{equation}
となるので, 両辺に$t^{1-\alpha}$上をかけると
\begin{equation}
t^{1-\alpha}\Phi'[d_n](t) = -t^{1-\alpha}I^{\alpha}\left[(\tilde{A}^nd_n)'\right](t) + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\tilde{A}^n(0)d_{n,0} + t^{1-\alpha}I^{\alpha}\left[(F^n)'\right](t) + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}F^n(0)
\end{equation}
となる. したがって,
\begin{align}
\left|t^{1-\alpha}\Phi'[d_n](t)\right|
& \leqslant t^{1-\alpha}\left|\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}(\tilde{A}^n)'(\tau)d_n(\tau)\ d\tau\right| + t^{1-\alpha}\left|\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tilde{A}^n(\tau)d_n'(\tau)\ d\tau\right| \\
& \hspace{3cm} + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|\tilde{A}^n(0)||d_{n,0}| + t^{1-\alpha}\left|\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}(F^n)'(\tau)\ d\tau\right| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|F^n(0)| \\
& \leqslant \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\sup_{t\in[0,T]}|d_n(t)|\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}(\tilde{A}^n)'(t)|\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\alpha-1}\ d\tau \\
& \hspace{2cm} + \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\sup_{t\in[0,T]}|\tilde{A}^n(t)|\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}d_n'(t)|\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\alpha-1}\ d\tau \\
& \hspace{5cm} + \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}(F^n)'(t)|\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\alpha-1}\ d\tau \\
& \hspace{8cm} + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|\tilde{A}^n(0)||d_{n,0}| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|F^n(0)|
\end{align}
と評価できる. ここで,
\begin{equation}
\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\alpha-1}\ d\tau = \frac{(\Gamma(\alpha))^2}{\Gamma(2\alpha)}t^{2\alpha-1}
\end{equation}
であるので, 任意の$t \in [0,T]$に対して
\begin{align}
\left|t^{1-\alpha}\Phi'[d_n](t)\right|
& \leqslant \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}t^{\alpha}\sup_{t\in[0,T]}|d_n(t)|\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}(\tilde{A}^n)'(t)| + \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}t^{\alpha}\sup_{t\in[0,T]}|\tilde{A}^n(t)|\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}d_n'(t)| \\
& \hspace{3cm} + \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}t^{\alpha}\sup_{t\in[0,T]}|t^{1-\alpha}(F^n)'(t)| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|\tilde{A}^n(0)||d_{n,0}| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|F^n(0)|
\end{align}
となる. したがって,
\begin{multline}
\left\|t^{1-\alpha}\Phi'[d_n](t)\right\|_{C[0,T]} \\
\leqslant \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}T^{\alpha}\left(\|d_n\|_{C[0,T]}\|t^{1-\alpha}(\tilde{A}^n)'\|_{C[0,T]} + \|\tilde{A}^n\|_{C[0,T]}\|t^{1-\alpha}d_n'\|_{C[0,T]} + \|t^{1-\alpha}(F^n)'\|_{C[0,T]}\right) \\
+ \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|\tilde{A}^n(0)||d_{n,0}| + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}|F^n(0)| < \infty
\end{multline}
が得られ, $\Phi[d_n] \in Y_{\alpha}(T)$が示された. 次に$\Phi[d_n]$が縮小写像であることを示す.
\begin{align}
\|\Phi[d_n^1] - \Phi[d_n^2]\|_{C[0,T]}
& \leqslant \left\|I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n^1) - I^{\alpha}(\tilde{A}^nd_n^2)\right\|_{C[0,T]} \\
& \leqslant \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\|\tilde{A}^n\|_{C[0,T]}\|d_n^1 - d_n^2\|_{C[0,T]}\ d\tau \\
& = \frac{T^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)}\|\tilde{A}^n\|_{C[0,T]}\|d_n^1 - d_n^2\|_{C[0,T]}
\end{align}
となり, 同様にして
\begin{align}
& \|t^{1-\alpha}\Phi'[d_n^1] - t^{1-\alpha}\Phi'[d_n^2]\|_{C[0,T]} \\
& \leqslant \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}T^{\alpha}\left(\|t^{1-\alpha}(\tilde{A}^n)'\|_{C[0,T]}\|d_n^1 - d_n^2\|_{C[0,T]} + \|\tilde{A}^n\|_{C[0,T]}\|t^{1-\alpha}(d_n^1)' - t^{1-\alpha}(d_n^2)'\|_{C[0,T]}\right)
\end{align}
と評価できるので, これらを合わせて
\begin{align}
\|\Phi[d_n^1] - \Phi[d_n^2]\|_{Y_{\alpha}(T)}
& = \|\Phi[d_n^1] - \Phi[d_n^2]\|_{C[0,T]} + \|t^{1-\alpha}\Phi[d_n^1] - t^{1-\alpha}\Phi[d_n^2]\|_{C[0,T]} \\
& \leqslant C(\alpha)T^{\alpha}\|\tilde{A}^n\|_{Y_{\alpha}(T)}\|d_n^1 - d_n^2\|_{Y_{\alpha}(T)}
\end{align}
とできる. よって,
\begin{equation}
C(\alpha)T^{\alpha}\|\tilde{A}^n\|_{Y_{\alpha}(T)} < 1
\end{equation}
となるように$T$を選べば$\Phi[d_n]$は縮小写像になる. よって, Banachの不動点定理より$X(T)$に属する解が一意に存在することが証明された.
これより, 次の系を得る.
$n \in \N$, $T > 0$とする. このとき, 式\eqref{eq:4}で与えられる$u_n$は, $m \in \{1,\cdots, n\}$に対して
\begin{multline}\label{eq:10}\tag{10}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\varphi_m(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx
\end{multline}
をみたす. さらに, $x\in\om$と$\beta\in\N^N$に対して, $\partial\om$が十分滑らかなとき$\partial_x^{\beta}u_n(x,\cdot) \in AC[0,T]$かつ$t^{1-\alpha}\partial_x^{\beta}u_n'(x,\cdot) \in C(\overline{Q}_T)$である.
Energy methodを適用して解の構成を行う. そのため, 次の補題を用いる.
$w \in L^2(Q_T)$とし,
\begin{equation}
w(x, \cdot) \in AC[0,T]\ \ {\rm for}\ \ x \in \Omega,
\end{equation}
\begin{equation}
t^{1-\alpha}w_t \in L^{\infty}(Q_T)
\end{equation}
とする. このとき, $t>0$に対して, 等式
\begin{multline}
\caputo\|w(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t \frac{\|w(t) - w(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-\tau)^{\alpha+1}}\ d\tau \\
+ g_{\alpha}(t)\|w(t) - w(0)\|_{L^2(\om)}^2 = 2\int_{\Omega}\caputo w(x,t) \cdot w(x,t)\ dx
\end{multline}
が成立する.
補題3より, 近似解に対して, 次のEnergy estimateが成立する.
$u_0 \in L^2(\om)$, $f \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))$, $\{a_{i,j}\}_{i,j=1}^N$が仮定\eqref{eq:2}をみたし, $b,c \in L^\infty(Q_T)$とする. このとき, 各$t \in [0,T]$と$n \in \N$に対して, 近似解$u_n$は
\begin{multline}
I^{1-\alpha}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|u_n(\tau) - u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{(\tau - s)^{\alpha+1}}\ dsd\tau \\
+ \int_0^tg_{\alpha}(\tau)\|u_n(\tau) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \lambda \int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant C_0\left(\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}}^2\ d\tau\right)
\end{multline}
をみたす. ここで, $C_0$は$\|b\|_{L^\infty(Q_T)},\|c\|_{L^\infty(Q_T)}, \lambda, \alpha, T$に依存する定数である.
式\eqref{eq:10}の両辺に$d_{n,m}(t)$をかけて$m = 1$から$n$まで和を取ると,
\begin{multline}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n(x,t)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}f_{n}(x,t)u_n(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. 左辺は, 補題3とelliptic conditionより
\begin{equation}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n(x,t)\ dx = \frac{1}{2}\caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{2\Gamma(1-\a)}\int_0^t\frac{\|u_n(t) - u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-\tau)^{\a+1}}\ d\tau + \frac{1}{2}g_{\a}(t)\|u_n(t) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2,
\end{equation}
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n(x,t)\ dx \geqslant \lambda\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
となる. 右辺は, Holderの不等式とCauchyの不等式を用いると
\begin{multline}
\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}f_{n}(x,t)u_n(x,t)\ dx\\
\leqslant q_n(t)\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{2}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{multline}
と評価できる. ここで, $q_n(t)$は$\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}, \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}, \lambda$に依存する関数である. よって, 以上をまとめると
\begin{multline}\label{eq:11}\tag{11}
\caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\frac{\|u_n(t) - u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-\tau)^{\a+1}}\ d\tau + g_{\a}(t)\|u_n(t) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \lambda\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
\leqslant q_n(t)\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{multline}
である. まず$\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}$の評価を行う.
\begin{equation}
\caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant q_n(t)\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{equation}
の両辺を$0$から$t$まで$\alpha$階Riemann-Liouville積分すると, $\|u_n(\cdot)\|_{L^2(\om)} \in AC[0,T]$であるので,
\begin{equation}
\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}I^{\a}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 + h_n(t)I^{\a}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
となる. ここで, $h_n(t)$は$\|b\|_{L^\infty(Q_t)}, \|c\|_{L^\infty(Q_t)}, \lambda$に依存する$t$に関する非減少関数である. したがって, Gronwallの不等式から
\begin{equation}
\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty h_n^k(t)\frac{t^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)} + \frac{2}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty h_n^k(t)I^{\a(k+1)}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{equation}
を得る. 右辺が各$n \in \N$に対して絶対収束することを示す.
\begin{equation}
\sum_{k=0}^\infty h_n^k(t)\frac{t^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)} = E_{\a}(h_n(t)t^{\a}) < \infty,
\end{equation}
\begin{align}
\sum_{k=0}^\infty h_n^k(t)I^{\a(k+1)}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
& = \sum_{k=0}^\infty\int_0^t\frac{h_n^k(t)(t-\tau)^{\a(k+1)-1}}{\Gamma(\a k+\a)}\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}\ d\tau \\
& \leqslant \sup_{\tau\in[0,t]}\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty\frac{h_n^k(t)t^{\a(k+1)}}{\Gamma(\a k+\a+1)} \\
& = \sup_{\tau\in[0,t]}\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2t^{\a}E_{\a}(h_n(t)t^\a) < \infty
\end{align}
となり, 収束性が確かめられた. 式\eqref{eq:11}の両辺を$0$から$t$まで積分すると, $I = I^{1-\a}I^{\a}$より
\begin{multline}
I^{1-\a}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|u_n(\tau) - u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{(\tau-s)^{\a+1}}\ dsd\tau + \int_0^tg_{\a}(\tau)\|u_n(\tau) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant \frac{t^{1-\a}}{\Gamma(2-\a)}\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + h_n(t)\int_0^t\|u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{multline}
が得られる. 故に, 先程の議論より,
\begin{align}
h_n(t)\int_0^t\|u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau
& \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty h_n^{k+1}(t)\frac{t^{\a k+1}}{\Gamma(\a k+2)} + \frac{2}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty h_n^{k+1}(t)I^{\a(k+1)+1}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \\
& \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty h_n^{k+1}(t)\frac{t^{\a k+1}}{\Gamma(\a k+2)} + \frac{2}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{h_n^{k+1}(t)t^{\a(k+1)}}{\Gamma(\a k+\a+1)}\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \\
& = \|u_0\|_{L^2(\om)}^2t^{\a}h_n(t)E_{\a,2}(h_n(t)t^{\a}) + h_n(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(h_n(t)t^{\a})\int_0^t\|f_n(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{align}
と評価できる. よって,
\begin{align}
t^{\a}h_n(t)E_{\a,2}(h_n(t)t^{\a})
& \leqslant \sup_n\sup_{t\in[0,T]}t^{\a}h_n(t)E_{\a,2}(h_n(t)t^{\a}) \\
& = \sup_nT^{\a}h_n(T)E_{\a,2}(h_n(T)T^{\a}) =: \gamma_0 < \infty,
\end{align}
\begin{align}
h_n(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(h_n(t)t^{\a})
& \leqslant \sup_n\sup_{t\in[0,T]}h_n(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(h_n(t)t^{\a}) \\
& = \sup_nh_n(T)T^{\a}E_{\a,\a+1}(h_n(T)T^{\a}) =: \gamma_1 < \infty
\end{align}
であり, $\gamma_0, \gamma_1$は$\a, T, \lambda, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である. 以上で補題の証明が完了した.
補題4より,
\begin{equation}
\|u_n\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|u_n\|_{H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))} \leqslant C
\end{equation}
である. 次に$\caputo u_n$の評価を行う. $\theta_m$を定数とし, $\displaystyle w(x) = \sum_{m=1}^\infty \theta_m\varphi_m(x)$とする. $\displaystyle w_n(x) = \sum_{m=1}^n\theta_m\varphi_m(x)$とし, 式\eqref{eq:10}の両辺に$\theta_m$をかけて$m=1$から$n$まで和を取ると,
\begin{multline}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iw_n(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)w_n(x)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)w_n(x)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)w_n(x)\ dx
\end{multline}
となり, Holderの不等式より
\begin{multline}\label{eq:12}\tag{12}
\left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx\right| \leqslant N^2\mu\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n\|_{L^2(\om)} + \|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^{2}(\om)} \\
+ \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^{2}(\om)}\|w_n\|_{L^{2}(\om)} + \|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}\|w_n\|_{H_0^1(\om)}
\end{multline}
が得られる. ここで, $u_n(x,\cdot) \in AC[0,T]$より$\caputo u_n = \dt I^{1-\a}[u_n-u_{n.0}]$であるので,
\begin{equation}
\left\|\frac{d}{dt}I^{1-\alpha}[u_n - u_{n,0}](t)\right\|_{H^{-1}(\om)} = \sup_{\|w\|_{H_0^1(\om)}}\left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx\right|
\end{equation}
である. 式\eqref{eq:12}の右辺は$L^2(0,T)$の意味で$n$に対して一様有界であるから
\begin{equation}
\sup_{n}\left\|\dt I^{1-\a}[u_{n} - u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))} < \infty
\end{equation}
を得る. 以上の議論から, 弱コンパクト性定理より
\begin{equation}
u_{n_k} \to u\ \ {\rm weakly\ in}\ \ L^2(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty,
\end{equation}
\begin{equation}
I^{1-\a}[u_{n_k} - u_{n_k,0}] \to I^{1-\a}[u-u_0]\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^1(0,T; H^{-1}(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty,
\end{equation}
となる部分列$\{u_{n_k}\}$と$u \in L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))$が存在する. 今得られた$u$が定義1をみたすことは前回と同様に証明すればよい. 以上で定理1の証明が完了した.
定理1と前回と同様の計算を行うことで次の定理が得られる.
$u_0 \in H_0^1(\om)$, $f \in L^2(0,T; L^2(\om))$, $b,c \in L^\infty(Q_T)$とし, $\max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(Q_T)}$と仮定する. このとき, $I^{1-\a}[u-u_0] \in {_0H^1(0,T; L^2(\om))}$となる問題\eqref{eq:1}の弱解$u \in L^2(0,T; H^2(\om)) \cap H^{\frac{\a}{2}}(0,T; H_0^1(\om))$が一意に存在する. さらに,
\begin{equation}
\|I^{1-\a}[u-u_0]\|_{H^1(0,T; L^2(\om))} + \|u\|_{L^2(0,T; H^2(\om))} + \|u\|_{H^{\frac{\a}{2}}(0,T; H_0^1(\om))} \leqslant C\left(\|u_0\|_{H_0^1(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\right)
\end{equation}
が成立する. ここで, $C$は$\alpha, \mu, \lambda, T, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$, さらにポアンカレ定数, $\partial\om$の$C^2$ノルムに依存する正定数である. また, $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$のとき, $u \in C([0,T]; L^2(\om))$である.
本章では, 問題\eqref{eq:1}の弱解の時間変数に対する正則性を上げること, すなわち次の定理を証明することを目標とする. 以下, $' = \dt$とする.
$\a \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$, $u_0 \in L^2(\om)$, $b,c \in W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))$, $f \in H^1(0,T; H^{-1}(\om))$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)} < \infty$と仮定する. このとき,
\begin{equation}
I^{1-\a}[u-u_0] \in {_0H^1}(0,T; H_0^1(\om)) \cap {_0H^2}(0,T; H^{-1}(\om)),\ \ \caputo u \in H^{\frac{1-\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om)),
\end{equation}
\begin{equation}
g_{\alpha}*\|u'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2 \in L^\infty(0,T),\ \ g_{\alpha}(\cdot)\|u'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2 \in L^1(0,T),
\end{equation}
\begin{equation}
g_{1-\alpha}*\|\caputo u(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2 \in L^\infty(0,T),\ \ g_{1-\alpha}(\cdot)\|\caputo u(\cdot)\|_{L^2(0,T)}^2 \in L^1(0,T)
\end{equation}
をみたす問題\eqref{eq:1}の弱解$u \in H^1(0,T; H_0^1(\om))$が一意に存在する. さらに,
\begin{equation}\label{eq:13}\tag{13}
\|I^{1-\a}[u-u_0]\|_{H^2(0,T; H^{-1}(\om))} + \|I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{H^1(0,T; H_0^1(\om))} + \|\caputo u\|_{H^{\frac{1-\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))} + \|u\|_{H^1(0,T; H_0^1(\om))} \leqslant C\left(\|u_0\|_{L^2(\om)} + \|f\|_{H^1(0,T; H^{-1}(\om))}\right)
\end{equation}
が成立する. ここで, $C$は$\alpha, T, N, \lambda, \mu$, $\|b\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\|c\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\displaystyle\max_{i,j}\|a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である. また, $u \in C([0,T]; H_0^1(\om)) \cap C^1((0,T]; H^{-1}(\om))$, $t^{1-\alpha}u' \in C([0,T]; H^{-1}(\om))$である.
もし, $f \in L^2(0,T; H_0^1(\om))$, $a_{i,j},b,c \in L^\infty(0,T; C^2(\overline{\om}))$, $\partial\om \in C^3$も仮定すると, $u \in L^2(0,T; H^3(\om))$であり,
\begin{equation}
\|u\|_{L^2(0,T; H^3(\om))} \leqslant C(\|u_0\|_{L^2(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|f'\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))})
\end{equation}
が成立する. ただし, $C$は$a_{i,j},b,c$の正則性, $\om$にも依存する.
Sobolev空間の基礎理論を用いると, 式\eqref{eq:13}より$I^{1-\alpha}[u-u_0] \in C^1([0,T]; L^2(\om))$ with $I^{1-\alpha}[u-u_0](0) = 0$, 同様に$u \in C([0,T]; H^2(\om))$がわかる.
$\a \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$, $u_0 \in H_0^1(\om)$, $b,c \in W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))$, $f \in H^1(0,T; L^2(\om))$,
\begin{equation}
M_T = \max_{i,j}\|a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)} + \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(Q_T)} + \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)} < \infty
\end{equation}
と仮定する. このとき,
\begin{equation}
I^{1-\a}[u-u_0] \in {_0H^2}(0,T; L^2(\om)) \cap {_0H^1}(0,T; H_0^1(\om)),\ \ \caputo u \in H^{\frac{1-\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om)),
\end{equation}
\begin{equation}
g_{\alpha}*\|u'(\cdot)\|_{H_0^1(\om)}^2 \in L^\infty(0,T),\ \ g_{\alpha}(\cdot)\|u'(\cdot)\|_{H_0^1(\om)}^2 \in L^1(0,T),
\end{equation}
\begin{equation}
g_{1-\alpha}*\|\caputo u(\cdot)\|_{H_0^1(\om)}^2 \in L^\infty(0,T),\ \ g_{1-\alpha}(\cdot)\|\caputo u(\cdot)\|_{H_0^1(\om)}^2 \in L^1(0,T)
\end{equation}
をみたす問題\eqref{eq:1}の弱解$u \in H^1(0,T; H^2(\om) \cap H_0^1(\om))$が一意に存在する. さらに,
\begin{equation}\label{eq:14}\tag{14}
\|I^{1-\a}[u-u_0]\|_{H^2(0,T; L^2(\om))} + \|I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{H^1(0,T; H^2(\om))} + \|\caputo u\|_{H^{\frac{1-\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))} + \|u\|_{H^1(0,T; H^2(\om))} \leqslant C\left(\|u_0\|_{H_0^1} + \|f\|_{H^1(0,T; L^2(\om))}\right)
\end{equation}
が成立する. ここで, $C$は$\alpha, T, N, \lambda, \mu$, $\|b\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\|c\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $M_T$, $\partial\om$の$C^2$正則性に依存する定数である. また, $u \in C([0,T]; H^2(\om)) \cap C^1((0,T]; L^2(\om))$, $t^{1-\alpha}u' \in C([0,T]; L^2(\om))$である.
もし, $f \in L^2(0,T; H^2(\om))$, $a_{i,j},b,c \in L^\infty(0,T; C^3(\overline{\om}))$, $\partial\om \in C^4$も仮定すると, $u \in L^2(0,T; H^4(\om))$であり,
\begin{equation}
\|u\|_{L^2(0,T; H^4(\om))} \leqslant C(\|u_0\|_{H_0^1(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; H^2(\om))} + \|f'\|_{L^2(0,T; L^2(\om))})
\end{equation}
が成立する.
本節では, 定理6, 定理7を証明する際に必要な抽象発展方程式の理論について述べる. $0 < \alpha < 1$, $1 \leqslant p < \infty$, $T > 0$とし, $X$を実Banach空間とする. このとき, 作用素$B$を
\begin{equation}
Bu = \dt(g_{\a}*u),\ \ D(B) = \{u \in L^p(0,T; X);\ g_{\a}*u \in {_0W^{1,p}}(0,T; X)\}
\end{equation}
と定義する. ただし,
\begin{equation}
{_0W^{1,p}}(0,T) = \{f \in W^{1,p}(0,T);\ f(0) = 0\}
\end{equation}
である. 定義より, $B$は$L^p(0,T; X)$における$m$-accretive作用素である. $B$の吉田近似を$B_n = nB(n+B)^{-1}, n \in \N$と定義すると, 任意の$u \in D(B)$に対して,
\begin{equation}
B_nu \to Bu\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^p(0,T; X)\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty
\end{equation}
が成立する. さらに,
\begin{equation}
B_nu = \dt\left(g_{\a,n}*u\right),\ \ u \in L^p(0,T; X),\ \ n \in \N
\end{equation}
と表される. ここで, $g_{\a,n} = ns_{\a,n}$であり, $s_{\a,n}$はscalar-valued Volterra equation
\begin{equation}
s_{\a,n}(t) + n(s_{a,n}*g_{1-\a})(t) = 1,\ \ t > 0,\ \ n \in \N
\end{equation}
の一意解である. $h_{a,n} \in L_{loc}^1(\R_+)$を$ng_{1-\a}$に関するresolvent kernelとする, すなわち
\begin{equation}\label{eq:15}\tag{15}
h_{\a,n}(t) + n(h_{\a,n}*g_{1-\a})(t) = ng_{1-\a}(t),\ \ t > 0,\ \ n \in \N
\end{equation}
とする. 式\eqref{eq:15}の両辺を$g_{\a}$との合成積をとると, $g_{1-\a}*g_{\a} = 1$より
\begin{equation}
(g_{\a}*h_{\a,n})(t) + n([g_{\a}*h_{\a,n}]*g_{1-\a})(t) = n,\ \ t > 0,\ \ n \in \N
\end{equation}
を得る. 故に,
\begin{equation}
g_{\a,n} = ns_{\a,n} = g_{\a}*h_{\a,n},\ \ n \in \N
\end{equation}
である. $g_{\a,n}$は任意の$n\in\N$に対してnon-negativeかつnon-increasingであり, $W^{1,1}(0,T)$に属する. 任意の$f \in L^p(0,T; X)$に対して,
\begin{equation}
(h_{\a,n}*f) \to f\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^p(0,T; X)\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty
\end{equation}
が成立する. 実際, $u = (g_{1-\a}*f)$とおけば, $u \in D(B)$であり,
\begin{align}
B_nu
& = \dt\left(g_{\a,n}*u\right) = \dt\left(g_{\a}*g_{1-\a}*h_{\a,n}*f\right) \\
& = (h_{\a,n}*f) \to Bu = f\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^p(0,T; X)\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty
\end{align}
である. 特に,
\begin{equation}
g_{\a,n} \to g_{\a}\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^1(0,T)\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty
\end{equation}
である.
定理7を証明するため, 次の補題を用いる.
$H$を実Hilbert空間とする. このとき, 任意の$h \in W^{1,1}(0,T)$と$u \in L^2(0,T; H)$に対して,
\begin{multline}
\left(\dt(h*u)(t),u(t)\right)_H = \frac{1}{2}\dt(h*\|u(\cdot)\|_{H}^2)(t) + \frac{1}{2}h(t)\|u(t)\|_{H}^2 \\
- \frac{1}{2}\int_0^th'(s)\|u(t) - u(t-s)\|_{H}^2\ ds,\ \ {\rm for}\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in (0,T)
\end{multline}
が成立する. 特に, $h' \leqslant 0$のとき,
\begin{equation}
\left(\dt(h*u)(t),u(t)\right)_H \geqslant \frac{1}{2}\dt(h*\|u(\cdot)\|_{H}^2)(t) + \frac{1}{2}h(t)\|u(t)\|_{H}^2,\ \ {\rm for}\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in (0,T)
\end{equation}
である.
$X$を実Banach空間, $1 < p < \infty$, $u \in W^{1,1}(0,T;X)$, $I^{1-\alpha}[u-u_0] \in {_0W^{2,p}}(0,T;X)$と仮定する. このとき, $\alpha \in \left(\dfrac{1}{p},1\right)$であれば$u \in C^1((0,T]; X)$, $t^{1-\alpha}u' \in C([0,T]; X)$である.
\begin{equation}
u(t) - u_0 = I^{\alpha}\frac{d}{dt}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)
\end{equation}
である. また, $\dt I^{1-\alpha}[u-u_0] \in AC[0,T]$であるから,
$I^{\alpha}\dt I^{1-\alpha}[u-u_0] \in AC[0,T]$となる. よって, $u \in AC[0,T]$である. 両辺を$t$について微分すると,
\begin{equation}
u'(t) = I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t) + \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](0)
\end{equation}
となるので, 両辺に$t^{1-\alpha}$をかけると
\begin{equation}
t^{1-\alpha}u'(t) = t^{1-\alpha}I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t) + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](0)
\end{equation}
である. したがって,
\begin{equation}
\|t^{1-\alpha}u'(t)\|_X \leqslant t^{1-\alpha}\left\|I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\left\|\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](0)\right\|_X
\end{equation}
となる. 第1項はHolderの不等式より
\begin{align}
\left\|I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X
& \leqslant I^{\alpha}\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](\tau)\right\|_X\ d\tau \\
& \leqslant \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\left(\int_0^t(t-\tau)^{\frac{(\alpha-1)p}{p-1}}\ d\tau\right)^{\frac{p-1}{p}}\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0]\right\|_{L^p(0,T; X)} \\
& = C_{\alpha,p}t^{\alpha-\frac{1}{p}}\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0]\right\|_{L^p(0,T; X)}
\end{align}
と評価できる. 第2項はSobolevの不等式より
\begin{equation}
\left\|\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](0)\right\|_X \leqslant \sup_{t\in[0,T]}\left\|\dt I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \leqslant C_T\|I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{W^{2,p}(0,T; X)}
\end{equation}
が成立する. 以上をまとめると
\begin{equation}
\sup_{t\in[0,T]}\|t^{1-\alpha}u'(t)\|_X \leqslant C\|I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{W^{2,p}(0,T; X)}
\end{equation}
が得られる. ここで, $C$は$\alpha,p,T$に依存する定数である. 次に連続性を示す. $h > 0$とすると,
\begin{align}
& \|(t+h)^{1-\alpha}u'(t+h) - t^{1-\alpha}u'(t)\|_X \\
& \leqslant \left\|(t+h)^{1-\alpha}I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t+h) - t^{1-\alpha}I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \\
& \leqslant (t+h)^{1-\alpha}\left\|I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t+h) - I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \\
& \hspace{4cm} + \left((t+h)^{1-\alpha} - t^{1-\alpha}\right)\left\|I^{\alpha}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u-u_0](t)\right\|_X \\
& =: I_1 + I_2
\end{align}
となる. $I_1$は, $I^{\alpha}: L^p(0,T) \mapsto C^{0,\alpha-\frac{1}{p}}[0,T]$であるので, $I_1 \to 0$ as $h\to0$となり, $I
_2 \to 0$ as $h \to 0$を得る. $h<0$のときも同様である. 以上で補題の証明が完了した. $\square$
定理6, 定理7で$\alpha$に制限がかかるのは, 近似解$u_n$に対して補題8を用いる際$u_n' \in L^2(0,T; L^2(\om))$でなければならないからである. 実際,
\begin{align}
\|u_n'\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}^2
& = \int_0^T\int_{\om}\left|\sum_{m=0}^nd_{n,m}'(t)\varphi_m(x)\right|^2\ dxdt \\
& \leqslant \int_0^T\sup_{m}\left|d_{n,m}'(t)\right|^2\int_{\om}\left|\sum_{m=0}^n\varphi_m(x)\right|^2\ dxdt \\
& \leqslant n\sup_m\|t^{1-\alpha}d_{n,m}'\|_{L^\infty(0,T)}^2\int_0^Tt^{2\alpha-2}\ dt \\
& = n\sup_m\|t^{1-\alpha}d_{n,m}'\|_{L^\infty(0,T)}^2T^{2\alpha-1}
\end{align}
と評価できるので, 右辺が$[0,T]$上で有界になるためには, $2\alpha-1 > 0$すなわち$\alpha > \dfrac{1}{2}$でなければならないことがわかる.
定理6を証明するため, 次の補題を示す.
$\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$, $u_0 \in L^2(\om)$, $f \in H^1(0,T; H^{-1}(\om))$, $b,c \in W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)} < \infty$と仮定する. このとき, 各$t \in [0,T]$と$n \in \N$に対して近似解$u_n$は
\begin{equation}
I^{1-\alpha}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^tg_{\alpha}(\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \dfrac{\lambda}{4}\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \leqslant C_0\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right)
\end{equation}
をみたす. ここで, $C_0$は$\displaystyle\alpha, T, \lambda$, $\|b\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\|c\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\max_{i,j}\|a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である.
式\eqref{eq:10}の右辺は$Y_{\a}(T)$に属するので, $\caputo u_n(x,\cdot) \in Y_{\a}(T)$である. よって, 式\eqref{eq:10}の両辺を$t$に関して微分し, $d_{n,m}'$をかけて$m=1$から$n$まで和を取ると$\dfrac{d}{dt}\caputo u_n = \dfrac{d}{dt}I^{1-\alpha}u_n' = \partial_t^{\alpha}u_n'$より
\begin{multline}
\int_{\om}\partial_t^{\alpha}u_n'(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx \\
+ \int_{\om}c_n(x,t)|u_n'(x,t)|^2\ dx + \int_{\om}c_n'(x,t)u_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \int_{\om}f_n'(x,t)u_n'(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. まず最初に, 左辺について評価を行う. 左辺第1項は, $\partial_t^{\alpha}$の定義より
\begin{equation}
\int_{\om}\partial_t^{\alpha}u_n'(x,t)u_n'(x,t)\ dx = \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx
\end{equation}
と表せる. よって, 補題8より
\begin{equation}
\int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx \geqslant \frac{1}{2}\dt\left(g_{\a,k}*\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + \frac{1}{2}g_{\alpha,k}(t)\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \e_k(t)
\end{equation}
となる. ここで, $g_{\a,k} \in W^{1,1}(0,T)$は$g_{\a,k} \to g_{\a}$ strongly in $L^1(0,T)$ as $k\to\infty$,
\begin{equation}
\e_k(t) = \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx
\end{equation}
であり, $\e_k \to 0$ strongly in $L^1(0,T)$ as $k\to\infty$をみたす. 実際,$B_k = \dt(g_{\a,k}*\cdot)$とすれば, $u_n' \in L^2(0,T; L^2(\om))$に対して,
\begin{equation}
B_ku_n' \to Bu_n'\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^2(0,T; L^2(\om))\ \ {\rm as}\ \ k\to\infty
\end{equation}
が成立する. このことから, Holderの不等式より
\begin{align}
\int_0^T\e_k(t)\ dt
& = \int_0^T\left\{\int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*u_n'(x,\cdot)\right)(t)u_n'(x,t)\ dx\right\}dt \\
& \leqslant \int_0^T\left\|\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'\right)(t) - \frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*u_n'\right)(t)\right\|_{L^2(\om)}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}\ dt \\
& \leqslant \left\|\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*u_n'\right) - \frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*u_n'\right)\right\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\|u_n'\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} \to 0\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty
\end{align}
がしたがう. 左辺第2項は,
\begin{equation}
\sum_{i,j}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx \geqslant \lambda\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
となり, 左辺第3項は
\begin{align}
\left|\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx\right|
& \leqslant N^2\max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)} \\
& \leqslant \frac{N^4}{\lambda}\max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}^2\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{4}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
と評価できる. 同様にして, 右辺も評価を行い, まとめると
\begin{multline}
\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha,k}*\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + g_{\alpha,k}(t)\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + 2\e_k(t) + \lambda\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
\leqslant h_n(t)\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + h_n(t)\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\|f_n'(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{multline}
が得られる. ただし, $h_n(t)$は$\lambda$, $N$, $\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|b_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}$に依存する関数である. したがって, 両辺を$0$から$t$まで積分すると,
\begin{align}
\left(g_{\a,k}*\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t)
& = \int_0^tg_{\a,k}(t-\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
& \leqslant \sup_{\tau\in[0,t]}|g_{\a,k}(\tau)|\int_0^t\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \to 0\ \ {\rm as}\ \ t \to 0
\end{align}
となるので,
\begin{multline}
\left(g_{\a,k}*\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + \int_0^tg_{\alpha,k}(\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + 2\int_0^t\e_{k}(\tau)\ d\tau + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant q_n(t)\int_0^t\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{multline}
となる. ここで, $q_n(t)$は, $\lambda$, $N$, $\|b_n\|_{W^{1,\infty}(0,t; L^\infty(\om))}$, $\|c_n\|_{W^{1,\infty}(0,t; L^\infty(\om))}$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j,n}\|_{L^\infty(Q_t)}$に依存する$t$に関して非減少関数である. これまでの評価から, 各$n\in\N$に対して$g_{\a,k}(\cdot)\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2 \in L^1(0,T)$であるから, Fatouの補題より$g_{\a}(\cdot)\|u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2 \in L^1(0,T)$を得る. 故に, $k\to\infty$とすれば, $\left(g_{\a}*\cdot\right) = I^{1-\a}$より
\begin{multline}\label{eq:16}\tag{16}
I^{1-\a}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^tg_{\alpha}(\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant q_n(t)\int_0^t\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{multline}
が得られる. さらに, Riemann-Liouville積分の加法性$I = I^{\a}I^{1-\a}$を用い, $I^{1-\a}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 = v(t)$と表すと
\begin{equation}
v(t) \leqslant q_n(t)I^{\a}v(t) + q_n(t)\int_{\om}\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{2}{\lambda}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{equation}
となる. したがって, Gronwallの不等式を用いると
\begin{align}
v(t)
& \leqslant \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+1}(t)I^{\a k}\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau\right) + \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+1}(t)I^{\a k}\left(\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right) \\
& = \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+1}(t)I^{\a k+1}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+1}(t)I^{\a k+1}\|f_n'(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \\
& = \sum_{k=0}^\infty\int_0^t\frac{q_n^{k+1}(t)(t-\tau)^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)}\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \sum_{k=0}^\infty\int_0^t\frac{q_n^{k+1}(t)(t-\tau)^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)}\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \\
& \leqslant \sum_{k=0}^\infty \frac{q_n^{k+1}(t)t^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)}\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right) \\
& = q_n(t)E_{\a}(q_n(t)t^{\a})\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right) \\
& < \infty
\end{align}
と評価できるので, 式\eqref{eq:16}に適用すると,
\begin{align}
v(t) + \int_0^tg_{\alpha}(\tau)\|u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau
& \leqslant \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+2}(t)I^{\a(k+1)+1}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \sum_{k=0}^\infty q_n^{k+2}I^{\a(k+1)+1}\|f_n'(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{\lambda}{2}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau \\
& \leqslant q_n^2(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(q_n(t)t^{\a})\left(\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau\right) + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{\lambda}{2}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ d\tau
\end{align}
が得られる. よって,
\begin{equation}
q_n^2(t)t^{\a}E_{\a,\a+1}(q_n(t)t^{\a}) \leqslant \sup_nq_n^2(T)T^{\a}E_{\a,\a+1}(q_n(T)T^{\a}) =: \gamma_2 < \infty
\end{equation}
を得る. ここで, $\gamma_2$は$\lambda$, $N$, $\|b\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\|c\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である. 以上で補題の証明が完了した.
補題9より$u_n \in H^1(0,T; H_0^1(\om))$である. 次に, $\caputo u_n$の評価を行う. $u_n$の絶対連続性を用いると
\begin{equation}
\sup_n\left\|\frac{d}{dt}I^{1-\alpha}[u_n-u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} = \sup_n\left\|\caputo u_n\right\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} \leqslant C_{\alpha,T}\sup_n\|u_n'\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} < \infty
\end{equation}
が得られる. 一方, 式\eqref{eq:10}の両辺に$d_{n,m}'$をかけて$m=1,\cdots,n$まで和をとると,
\begin{multline}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n'(x,t)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_n(x,t)\partial_ju_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \int_{\om}c_n(x,t)u_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. ここで, $u_n' = \dt Iu_n' = \dt I^{\alpha}I^{1-\alpha}u_n' = \partial_t^{1-\alpha}[\caputo u_n]$に注意し, $v = \caputo u_n \in L^2(0,T;L^2(\om))$とおく. このとき, $\caputo u_n \in Y_{\alpha}(T)$より, 補題8は$k=g_{1-\alpha}$のときでも成立する. よって,
\begin{align}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n'(x,t)\ dx
& = \int_{\om}\partial_t^{1-\alpha}v(x,t)v(x,t)\ dx \\
& = \frac{1}{2}\dt\left(g_{1-\alpha}*\|v(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right) + \frac{1}{2}g_{1-\alpha}(t)\|v(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1-\alpha}{2\Gamma(\alpha)}\int_0^t\frac{\|v(t)-v(\tau)\|_{L^2(\om)}}{(t-\tau)^{2-\alpha}}\ d\tau
\end{align}
が得られる. したがって, Holderの不等式を用いると,
\begin{equation}
\dt\left(g_{1-\alpha}*\|\caputo u_n(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + g_{1-\alpha}(t)\|\caputo u_n(t)\|_{L^2(\om))}^2 + \frac{1-\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\frac{\|\caputo u_n(t)-\caputo u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}}{(t-\tau)^{2-\alpha}}\ d\tau \leqslant h_n(t)\left(\|u_n(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|u_n'(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2\right)
\end{equation}
が得られる. ここで, $h_n(t)$は$\mu,N,\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)},\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$に依存する. 故に, $0$から$t$まで積分すれば
\begin{equation}
\left(g_{1-\alpha}*\|\caputo u_n(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + \int_0^tg_{1-\alpha}(\tau)\|\caputo u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{1-\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\int_0^{\tau}\frac{\|\caputo u_n(\tau)-\caputo u_n(s)\|_{L^2(\om)}}{|\tau-s|^{2-\alpha}}\ dsd\tau \leqslant C(\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \|f\|_{H^1(0,T; H^{-1}(\om))})
\end{equation}
となる. したがって,
\begin{equation}
\sup_n\sup_{t\in[0,T]}\left|\left(g_{1-\alpha}*\|\caputo u_n(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t)\right| + \sup_n\left|\int_0^Tg_{\alpha}(t)\|\caputo u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2\ dt\right| + \sup_n\|\caputo u_n\|_{H^{\frac{1-\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))} < \infty
\end{equation}
を得る.
$w \in H_0^1(\om)$, $\theta_m$を定数とすると, $\displaystyle w(x) = \sum_{k=0}^\infty \theta_m\varphi_m(x)$となる. $\displaystyle w_n(x) = \sum_{k=0}^n \theta_m\varphi_m(x)$と表す. このとき, 式\eqref{eq:10}の両辺を$t$について微分し, $\theta_m$をかけて$m=1$から$n$まで和をとり, Holderの不等式を用いると,
\begin{align}
& \left|\int_{\om}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\alpha}[u_n(x,\cdot) - u_{n,0}(x)](t)w_n(x)\ dx\right| \\
& \leqslant N^2\mu\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n\|_{L^2(\om)} + N^2\max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n\|_{L^2(\om)} \\
& \hspace{2cm} + \|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}\|w\|_{L^2(\om)} + \|b_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w\|_{L^2(\om)} \\
& \hspace{4cm} + \|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n'(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^2(\om)} + \|c_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^2(\om)} \\
& \hspace{12cm} + \|f'(t)\|_{H^{-1}(\om)}\|w_n\|_{H_0^1(\om)}
\end{align}
と
評価できる. この右辺は$L^2(0,T)$の意味で$n$に対して一様有界である. したがって,
\begin{equation}
\left\|\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\a}[u_n - u_{n,0}](t)\right\|_{H^{-1}(\om)} = \sup_{\|w\|_{H_0^1(\om)}=1}\left|\int_{\om}\frac{d^2}{dt^2}I^{1-\a}[u_n(x,\cdot) - u_{n,0}(x)](t)w(x)\ dx\right|
\end{equation}
から
\begin{equation}
\sup_n\left\|\frac{d^2}{dt^2} I^{1-\a}[u_n - u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))} < \infty
\end{equation}
を得る. 以上の議論から, 弱コンパクト性より
\begin{equation}
u_{n_k} \to u\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^1(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty,
\end{equation}
\begin{equation}
I^{1-\a}[u_{n_k}-u_{n_k,0}] \to I^{1-\a}[u-u_0]\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^2(0,T; H^{-1}(\om)) \cap H^1(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty
\end{equation}
なる部分列$\{u_{n_k}\}$, $u \in H^1(0,T; H_0^1(\om))$が存在する. また, $u \in C([0,T]; H_0^1(\om)) \cap C^1((0,T]; H^{-1}(\om))$, $t^{1-\alpha}u' \in C([0,T]; H^{-1}(\om))$であることは補題9よりしたがう. 最後に, $f \in L^2(0,T; H_0^1(\om))$, $a_{i,j},b,c \in L^\infty(0,T; C^2(\overline{\om}))$, $\partial\om \in C^3$も仮定する. このとき, $h(t) := \caputo u(t) - f(t) \in H_0^1(\om)$ a.e. $t \in [0,T]$であるので, $v \in H_0^1(\om)$に対して等式
\begin{equation}
\int_{\om}Lu(x,t)v(x)\ dx = \int_{\om}h(x,t)v(x)\ dx\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in [0,T]
\end{equation}
が得られる. したがって, 楕円型正則性定理より
\begin{align}
\|u(t)\|_{H^3(\om)}^2
& \leqslant C(\|h(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|u(t)\|_{L^2(\om)}) \\
& \leqslant C(\|\caputo u(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|f(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|u(t)\|_{L^2(\om)}^2)
\end{align}
と評価できるので, $0$から$t$まで積分すれば,
\begin{align}
\|u\|_{L^2(0,T; H^3(\om))}
&\leqslant C(\|\caputo u\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|f\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))}^2 + \|u\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}) \\
& \leqslant C(\|u_0\|_{L^2(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|f'\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))})
\end{align}
となる. 以上で定理の証明が完了した. $\square$
定理7を証明するため, 次の補題を示す.
$\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$, $u_0 \in H_0^1(\om)$, $f \in H^1(0,T; L^2(\om))$, $b,c \in W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))$,
\begin{equation}
M_T := \max_{i,j}\|a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)} + \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(Q_T)} + \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}'\|_{L^\infty(Q_T)}< \infty
\end{equation}
と仮定する. このとき,このとき, 各$t \in [0,T]$と$n \in \N$に対して近似解$u_n$は
\begin{equation}
I^{1-\alpha}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^tg_{\alpha}(\tau)\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \dfrac{\lambda}{8}\int_0^t\|\nabla^2 u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \leqslant C_1\left(\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau\right)
\end{equation}
をみたす. ここで, $C_1$は$\displaystyle\alpha, T, \lambda, \|b\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}, \|c\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^\infty(\om))}, M_T$, $\partial\om$の正則性に依存する定数である.
式\eqref{eq:10}の両辺を$t$について微分し, $\lambda_md_{n,m}'$をかけて$m=1$から$n$まで和をとると,
\begin{multline}
-\int_{\om}\partial_t^{\alpha}u_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\partial_i\Delta u_n'(x,t)\ dx \\
-\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\Delta u_n'(x,t)\ dx \\
= -\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx \\
- \int_{\om}c_n(x,t)u_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n'(x,t)u_n(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}f_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. 左辺第1項は,
\begin{align}
-\int_{\om}\partial_t^{\alpha}u_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx
& = \int_{\om}\partial_t^{\alpha}\nabla u_n'(x,t)\cdot\nabla u_n'(x,t)\ dx \\
& \geqslant \frac{1}{2}\dt\left(g_{\a,k}*\|\nabla u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + \tilde{\e}_k(t)
\end{align}
と評価できる. ここで,
\begin{equation}
\tilde{\e}_k(t) = \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}*\nabla u_n'(x,\cdot)\right)(t)\cdot\nabla u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}\frac{d}{dt}\left(g_{\alpha}^k*\nabla u_n'(x,\cdot)\right)(t)\cdot\nabla u_n'(x,t)\ dx
\end{equation}
かつ, $\e_k\to0$ strongly in $L^1(0,T)$ as $k\to\infty$をみたす. 左辺第2項は,
\begin{align}
- \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\partial_i\Delta u_n'(x,t)\ dx
& = \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}\partial_i\left(a_{i,j,n}(x,t)\partial_ju_n'(x,t)\right)\Delta u_n'(x,t)\ dx \\
& \geqslant \frac{\lambda}{4}\|\nabla^2u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 - C_{0,n}\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
が得られる. ここで, $C_{0,n}$は$\kappa(t) = \displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j,n}(t)\|_{L^\infty(\om)}$と$\partial\om$の正則性に依存する定数である. 左辺第3項と右辺は,
\begin{multline}
\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j,n}'(x,t)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n(x,t)u_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n'(x,t)u_n(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx - \int_{\om}f_n'(x,t)\Delta u_n'(x,t)\ dx \\
\leqslant h_n(t)\|\nabla u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + h_n(t)\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{16}\|\nabla^2u_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{multline}
となる. ここで, $h_n(t)$は$\lambda$, $N$, $\displaystyle \max_{i,j}\|a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j,n}'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|b_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|b_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c_n'(t)\|_{L^\infty(\om)}$に依存する関数である. よって, 以上をまとめ, $0$から$t$まで積分すると,
\begin{multline}
\left(g_{\alpha}^k*\|\nabla u_n'(\cdot)\|_{L^2(\om)}^2\right)(t) + 2\int_0^t\tilde{\e}_k(\tau)\ d\tau + \frac{\lambda}{8}\int_0^t\|\nabla^2u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau \\
\leqslant q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + q_n(t)\int_0^t\|\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau + \frac{1}{\lambda}\int_0^t\|f_n'(\tau)\|_{L^2(\om)}^2\ d\tau
\end{multline}
ここで, $q_n(t)$は$\lambda, N, M_T, \|b_n\|_{W^{1,\infty}(0,t; L^\infty(\om))}, \|c_n\|_{W^{1,\infty}(0,t; L^\infty(\om))}, \kappa(t)$, $\partial\om$の正則性に依存する定数である. よって, $k \to \infty$とすれば補題の証明が完了する.
補題10, 補題11より同様の議論をすることで, $u \in H^1(0,T; H^2(\om))$の存在性,
\begin{equation}
\sup_n\sup_{t\in[0,T]}\left|\left(g_{\alpha}*\|u_n'(\cdot)\|_{H_0^1(\om)}^2\right)(t)\right| + \sup_n\left|\int_0^Tg_{\alpha}(t)\|u_n'(t)\|_{H_0^1(\om)}^2\ dt\right| < \infty,
\end{equation}
\begin{equation}
\sup_n\sup_{t\in[0,T]}\left|\left(g_{1-\alpha}*\|\caputo u_n(\cdot)\|_{H_0^1(\om)}^2\right)(t)\right| + \sup_n\left|\int_0^Tg_{1-\alpha}(t)\|\caputo u_n(t)\|_{H_0^1(\om)}^2\ dt\right| < \infty,
\end{equation}
\begin{equation}
\sup_n\|I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}]\|_{H^2(0,T; L^2(\om))} + \sup_n\|I^{1-\alpha}[u-u_0]\|_{H^1(0,T; H^2(\om))} + \sup_n\|\caputo u_n\|_{H^{\frac{1-\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))} < \infty
\end{equation}
が得られる. また, $u \in C([0,T; H^2(\om)) \cap C^1((0,T]; L^2(\om))$ with $t^{1-\alpha}u' \in C([0,T]; L^2(\om))$であることは補題9を用いればよい. さらに, $f \in L^2(0,T; H^2(\om))$, $a_{i,j},b,c \in L^\infty(0,T; C^3(\overline{\om}))$, $\partial\om \in C^4$も仮定し, 楕円型正則性定理を用いれば$u \in L^2(0,T; H^4(\om))$が得られる. 以上で定理の証明が完了した. $\square$