カイ二乗分布の期待値

自由度$k$のカイ二乗分布の期待値は$k$になります。
このことは、結果自体はよく統計学や数理統計学の本に載っていますが、証明はあまり載っていないので、自分で考えてみました。

自由度$k$のカイ二乗分布に従う確率変数を$W$としたとき、その確率密度関数は

$$\begin{array}{r}f(w)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2^{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\mathrm{\Gamma }\left(k/2\right)}}{w}^{\left({\displaystyle \frac{k}{2}}\right)-1}{e}^{-w/2}(w\ge 0)\\ 0(w<0)\end{array}\end{array}$$

と書かれます。ここで$\mathrm{\Gamma }(\alpha )$はガンマ関数です。

このとき$W$の期待値$E[W]$は
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }} wf\left(w\right)dw$$
$$={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\mathrm{\Gamma }\left(k/2\right)}}{w}^{({\displaystyle \frac{k}{2}}+1)-1}{e}^{-w/2}dw$$
$$=2\frac{\mathrm{\Gamma }((k+2)/2)}{\mathrm{\Gamma }\left(k/2\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^{{\displaystyle \frac{k+2}{2}}}\mathrm{\Gamma }((k+2)/2)}}{w}^{\left({\displaystyle \frac{k+2}{2}}\right)-1}{e}^{-w/2}dw$$
$$=2\frac{\mathrm{\Gamma }(k/2+1)}{\mathrm{\Gamma }\left(k/2\right)}=2\cdot {\displaystyle \frac{k}{2}}=k$$
ここで、自由度$k+2$の確率密度関数の定義域全体上での積分が$1$になることと、ガンマ関数の性質$\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )$を用いました。