偶数の冪剰余記号の特性の初等的証明

特に断りがない限り、ここで出てくる変数は正の整数です。

冪剰余記号について

最初に断っておく。
冪剰余記号については十分に先行研究がある。
それを調べずに研究を進めてしまったためもう知っているようなないようがあるかもしれない。
一応、冪剰余記号についてのwikipediaページのリンクを張っておく
冪剰余記号(wikipedia)
次に、表す記号について。
この記事では、次の記号、 $(\frac{a}{p})_{n}$ を定義する。
これは、 $a \equiv x^{n} (\mod p)$ の解 $x$ が存在するときに $1$ を返し、存在しないときに $- 1$ を返す。( $p$ は素数)
ようするにルジャンドル記号を $n$ 乗に拡張したものだ。

本題

この記事において証明する特性は
$p \equiv 3 (\mod 4)$ の時、 $(\frac{a}{p})_{2 n} = (\frac{a}{p})_{2^{l} n}$
$p \equiv 3 (\mod 4)$ という条件が課せられているのでそんなに強いわけではない。
証明をする前に補題を証明する。この補題が証明の根幹となる。

(\frac{x}{p})_{2} (\frac{p - x}{p})_{2} = - 1

$p \equiv 3 (\mod 4)$ の時、 $(\frac{x}{p})_{2} (\frac{p - x}{p})_{2} = - 1$

$(\frac{x}{p})_{2}$ は要するに普通のルジャンドル記号だ。

補題の証明

$(\frac{x}{p})_{2} (\frac{p - x}{p})_{2} = (\frac{x}{p})_{2} (\frac{- x}{p})_{2} = (\frac{- 1}{p}) (\frac{x^{2}}{p}) = (\frac{- 1}{p})$
平方剰余の相互法則と、 $p \equiv 3 (\mod 4)$ から、
$(\frac{- 1}{p}) = - 1$ 。
よって、 $(\frac{x}{p})_{2} (\frac{p - x}{p})_{2} = - 1$

では、本題の証明に移る。

証明

$(\frac{a}{p})_{2^{l} n}$ の時なりたっていると仮定する。
$(\frac{a}{p})_{2^{l + 1} n} = 1 ⟹ (\frac{a}{p})_{2^{l} n} = 1$
は自明。
次に、 $(\frac{a}{p})_{2^{l} n} = 1$
と仮定する。
$a \equiv x^{2^{l} n} (\mod p)$
$x$ をこの合同方程式の解だとすると、必ずもう一つの解 $p - x$ が存在する。
ここで、 $x$ か $p - x$ どちらかが平方剰余であるとき、
$a \equiv y^{2^{l + 1} n} (\mod p)$ の解 $y$ も存在するといえるだろう。
ここで、補題1から $(\frac{x}{p})$ 、 $(\frac{p - x}{p})$ どちらかは必ず $1$ であるといえるので、
$x$ か $p - x$ どちらかは必ず平方剰余である。
よって、 $(\frac{a}{p})_{2^{l + 1} n} = 1 ⟸ (\frac{a}{p})_{2^{l} n} = 1$
以上の二つから、 $(\frac{a}{p})_{2^{l + 1} n} = 1 ⟺ (\frac{a}{p})_{2^{l} n} = 1$
で、 $(\frac{a}{p})_{2^{l + 1} n} = (\frac{a}{p})_{2^{l} n}$ である。
仮定の $(\frac{a}{p})_{2^{l} n} = (\frac{a}{p})_{2 n}$ から $(\frac{a}{p})_{2 n} = (\frac{a}{p})_{2^{l} n}$
そして、 $l = 1$ の時成り立っているのは自明なので、数学的帰納法によって証明ができる。