テトレーションの逆関数

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はじめに

　こんにちは、円周率の日が過ぎてしまったのn=1です。今回は前回の続きになる、高さが決まっているときのテトレーションの逆関数、つまり $^{n} x$ ( $n$ は定数)の逆関数についてやっていきます。

本題

　おさらいとして前回は、式を変形して $f (x) = x e^{x e^{x}}$ の逆関数を求めることで最終的に $^{3} x$ の逆関数(以下 ${\sqrt[3]{x}}_{s}$ )を求めました。
　今回も同じように変形するところから始めます。ただし、 ${\sqrt[n]{x}}_{s}$ の形で出したいので、今回は $^{n} y = x$ の形から変形させます。
$^{n} y = x$
$^{n - 1} y \ln (y) = (\ln (y)) e^{^{n - 2} y \ln (y)} = \underset{n 個}{\underset{⏟}{(\ln (y)) e^{(\ln (y)) e^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{(\ln (y)) e^{(\ln (y))}}}}}}}} = \ln (x)$
そのため今回も $f_{n} (x) = \underset{x が n 個}{\underset{⏟}{x e^{x e^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x e^{x}}}}}}}} (f_{2} (x) = x e^{x}, f_{n + 1} (x) = x e^{f_{n} (x)})$ という風に定義して $f_{n}^{- 1} (x)$ を求めます。
　 $f_{n}^{- 1} (x)$ は
$f_{n} (0) = 0 e^{0 e^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}, f_{n}^{'} (0) = e^{0 e^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} + 0 \frac{d}{d x} e^{0 e^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} = 1 \neq 0$
なのでラグランジュ反転定理で
$f_{n}^{- 1} (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} lim_{t \to 0} \frac{d^{k - 1}}{d t^{k - 1}} (\frac{t}{f_{n} (t)})^{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} lim_{t \to 0} \frac{d^{k - 1}}{d t^{k - 1}} \underset{n - 1}{\underset{⏟}{e^{- k t e^{t e^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{t}}}}}}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} lim_{t \to 0} \frac{d^{k - 1}}{d t^{k - 1}} e^{- k f_{n - 1} (t)}$
これはまた $e^{α f_{n - 1} (x)}$ のm回微分をファー・ディ・ブルーノの公式などを使い求めて
$\frac{d^{m}}{d x^{m}} e^{α f_{n - 1} (x)} = e^{α f_{n - 1} (x)} B_{m} (α f_{n - 1}^{'} (x), α f_{n - 1}^{″} (x), \dots, α f_{n - 1}^{(m)} (x))$
これまたm回微分を求めて
$\frac{d^{m}}{d x^{m}} f_{n} (x) = \frac{d^{m}}{d x^{m}} x e^{f_{n - 1} (x)} = m \frac{d^{m - 1}}{d x^{m - 1}} e^{f_{n - 1} (x)} + x \frac{d^{m}}{d x^{m}} e^{f_{n - 1} (x)}$

まとめ

　これを組み合わせれば求まるので結果をまとめると
$^{n} y = x ⟺ (y =) {\sqrt[n]{x}}_{s} = e^{f_{n}^{- 1} (\ln (x))}$ 　 $(f_{n} (x) = \underset{x が n 個}{\underset{⏟}{x e^{x e^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x e^{x}}}}}}}})$
$f_{n}^{- 1} (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} lim_{t \to 0} e^{- k f_{n - 1} (t)} B_{k - 1} (- k f_{n - 1}^{'} (t), - k f_{n - 1}^{″} (t), \dots, - k f_{n - 1}^{(k - 1)} (t))$
$\frac{d^{m}}{d x^{m}} f_{n} (x) = m e^{f_{n - 1} (x)} B_{m - 1} (f_{n - 1}^{'} (x), f_{n - 1}^{″} (x), \dots, f_{n - 1}^{(m - 1)} (x)) + x e^{f_{n - 1} (x)} B_{m} (f_{n - 1}^{'} (x), f_{n - 1}^{″} (x), \dots, f_{n - 1}^{(m)} (x))$
が答えと分かります。前回同様 $B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})$ は n次完全ベル多項式です。