交互友愛数について

友愛数（Amicable Numbers）とは、互いの約数和によって結ばれる2つの整数の組です。
通常の友愛数では、真の約数和
[ s(n)=\sum_{\substack{d\mid n\d<n}}d ]
を用いて、
[ s(a)=b,\qquad s(b)=a ]
を満たす組 ((a,b)) を考えます。
今回は、この約数和に偶奇による符号を加えた交互約数和を考えます。
交互約数和を
[ T(n)=\sum_{\substack{d\mid n\d<n}}(-1)^d d ]
と定義します。
つまり、
偶数の約数 (d) は加算
奇数の約数 (d) は減算
します。
このとき、異なる正整数 (a,b) が
[ T(a)=b,\qquad T(b)=a ]
を満たすとき、((a,b)) を交互友愛数（Alternating Amicable Numbers）と定義します。
最初に確認される例として、
[ (168,248) ]
があります。
実際に、
[ T(168)=248 ]
[ T(248)=168 ]
が成立します。
その他にも、
[ (920,952) ]
[ (5720,7384) ]
[ (8272,8432) ]
などの組が確認されています。
また、偶数の交互友愛数については、全約数の符号付き和
[ A(n)=\sum_{d\mid n}(-1)^d d ]
を用いることで、
[ A(a)=A(b)=a+b ]
という通常の友愛数に似た特徴づけを得ることができます。
交互友愛数は、古典的な友愛数の概念を「約数の偶奇による符号」という新しい視点から拡張したものです。