高校数学解説

x^xを底に持つ対数の定積分

積分

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はじめに

ご機嫌ようです〜！高校範囲の中で解けるいっちゃん好きな積分

$$ \int_{e}^{e^2}\log_{x^x}{(\log_{e}{x})}\,dx $$

についての記事です.

ぜひ解いてからみてください！！！
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解答見えるの防止策
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では解いていきましょう.

本題

定積分を $I$ と置く. 底を $e$ に変換する.
$$\log_{x^x}{(\log_{e}{x})}=\dfrac{\log_{e}(\log_{e}{x})}{\log_{e}{x^x}}=\dfrac{\log_{e}(\log_{e}{x})}{x\log_{e}{x}}$$
よって,
$$ I=\int_{e}^{e^2}\dfrac{\log_{e}(\log_{e}{x})}{x\log_{e}{x}}\,dx $$
以下, 底を省略する.
$t=\log{x}$ と置換すると, $dt=\dfrac{dx}{x}$ で積分区間は$[e,e^2]$から$[1,2]$ となる.
$$I=\int_{1}^{2}\dfrac{\log{t}}{t}\,dt$$ 微分系の接触で,
$$I=\left[\dfrac{1}{2}(\log{t})^2+C\right]_{1}^{2}=\dfrac{(\log{2})^2}{2}$$