を奇素数で とする. このときの 方程式 の整数解を求める.
この問題はかの有名な雪江整数Ⅰを読んで類題として得られた.
まず, 与式は 上で と分解される.
ここで, と が互いに素でないとする. 共通の素イデアルを とすると, は
を割る. つまり, を割る. またこの等式は の素イデアル分解になっている.
が素イデアルであることは という仮定よりわかる. また, が素イデアルであることは であることよりわかる.
よって, or である.
(i) のとき
が偶数のとき,
である. は奇数であり, より, となり矛盾.
が奇数のとき, 与式より は偶数である. 与式の両辺を で考えると と より矛盾.
(ii) のとき
が奇数のときは(i)と同様に矛盾.
が偶数のとき,
であるので, () と書ける. また与式より () と書け, これを与式に代入すると,
となるが なので, 平方剰余の法則に矛盾.
よって, と は互いに素である.
ここで, 与式はイデアルとして となることと素イデアル分解の一意性より, のイデアル があり
と書ける.
また, はPIDなので, () と書ける. よって, を用いて,
となる. のときは, の符号や場所を変えることで, の場合に帰着できるので, の場合のみを考えればよい. (例. のとき, 上の等式の右辺は となるが, これは としたときの である.)
よって,
となり, の係数を比較すると, となる. よって . ここで, のとき を計算すると, それぞれ負, 非整数となり矛盾. よって, である.
(1) のとき
を計算すると, となるので が整数となるために が必要. また仮定より, なので, () と書ける. これを に代入すると, となり, () とおくと, となる. を ((1)より) に代入すると, となり, このとき である. よって, と書けるとき, 方程式の解の組 を得る.
(2) のとき
を計算すると, となるので, が整数となるためには が必要.
(i) のとき
より, () と書け, となる. 右辺が平方数となるためには が必要. () とおくと, となる. が平方数となるが, と は互いに素なので, それぞれが平方数, つまり を用いて と書ける. を消去すると, となる これより は奇数なので, () とすると, となるが, これは偶奇が異なるので矛盾.
(ii) のとき
より, () と書け, となる. 右辺が平方数となるには, が偶数となることが必要. また, これが偶数となるためには, が奇数となることが必要. よって, () とおくと, となる. が平方数となるが, と は互いに素であるので,それぞれが平方数となる.
が平方数となるのは () より, となるときであり, が平方数となるのは, () より となるとき. ここで一つ補題を示す.
を変形すると,
という式が得られる. ここで, , とおくと となる. ここで連分数展開を用いたペル方程式の解の定理を用いると, にたいして, () とかけるとき, は方程式 の解となる.
が偶数のとき, は偶数となるが, は奇数なので不適.
が奇数のとき, となる. 実際, に関しては成立. を奇数として,
となるので, 帰納法より , となる. をかける時も同様に示せる.
よって,
となるので, である.
ここで, , より なので, 補題より は の倍数だが, は素数なので のみ成立.
のとき, となり と を計算すると方程式の解 という解を得る.
以上より,
が である奇素数のとき 方程式 の整数解は である. ただし, は が素数となるような 整数 である.
まとめ
今回は, であることや, が虚二次体で単数が有限個であること, がPID, つまり類数が であることなど, 恐らくごく簡単の場合を示した.
における今回の方程式や, などの方程式の整数解については 今回の方法では解けなさそうで, 少し難しそうなので私はもっと勉強して挑戦したいと思います. 全然簡単でこれらが解けた方いれば教えてくださると喜びます.
初めてのmathlogの投稿ですがなにかあれば遠慮なくコメントしてください. 開くことが少ないと思うので気づくのが遅いとは思いますが.
読んでくださりありがとうございました。