量子群とヤン・バクスター方程式　定理4.2

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量子群とヤン・バクスター方程式の定理4.2の証明の最後の部分がいくらなんでもギャップが大きすぎると思うので，それを補完したいと思います．

一応ステートメントは書いておきます．

$q$ が $1$ のべき根でないとき、 $U_{q} (s l_{2} (C))$ の有限次元表現は完全可約である．

本文のStep3の最後の部分の $W^{'} :=$ Ker $f$ が $U_{q}$ 加群になってることについてのみ述べる．
$C f$ は $U_{q}$ 加群であるから，任意の $X \in U_{q}$ について $X f$ は $f$ のスカラー倍である．
故に， $w \in W^{'}$ に対して $(X f) w = 0$ である．
よって，
$0 = (K^{\pm 1} f) w = π_{W} (K^{\pm 1}) \circ f \circ π_{V} (K^{\mp 1}) w$
$0 = (X^{+} f) w = (π_{W} (X^{+}) \circ f) w + π_{W} (K) \circ f \circ π_{V} (- K^{- 1} X^{+}) w = - π_{W} (K) \circ f \circ π_{V} (K^{- 1}) \circ π_{V} (X^{+}) w (∵ w \in W^{'})$
$0 = (X^{-} f) w = π_{W} (X^{-}) \circ f \circ π_{V} (K) w - f \circ π_{V} (X^{-}) \circ π_{V} (K) w$
ここで， $K^{\pm 1}$ の作用が可逆であることに注意すると一つ目の式から
$f (π_{V} (K^{\pm 1}) w) = 0$
よって， $π_{V} (K^{\pm 1}) W^{'} \subset W^{'}$ ,特に $π_{V} (K^{\pm 1}) W^{'} = W^{'}$ である.
二つ目の式から
$π_{V} (K^{- 1}) π_{V} (X^{+}) W^{'} \subset W^{'}$
両辺に $K$ を作用させると $π_{V} (K^{\pm 1}) W^{'} = W^{'}$ より
$π_{V} (X^{+}) W^{'} \subset W^{'}$
である.
三つ目の式から
$π_{V} (X^{-}) π_{V} (K) W^{'} \subset W^{'}$
である． $π_{V} (K^{\pm 1}) W^{'} = W^{'}$ より
$π_{V} (X^{-}) W^{'} \subset W^{'}$
である．したがって $W^{'}$ は $U_{q}$ の生成元の作用によって不変であるから $U_{q}$ の表現である．　 $◻$