量子群とヤン・バクスター方程式　定理4.2

本文のStep3の最後の部分の$W':=$Ker$f$が$U_q$加群になってることについてのみ述べる．
$\mathbb{C}f$は$U_q$加群であるから，任意の$X\in U_q$について$Xf$は$f$のスカラー倍である．
故に，$w\in W'$に対して$(Xf)w=0$である．
よって，
$0=(K^{\pm1}f)w=\pi_W(K^{\pm1})\circ f\circ \pi_V(K^{\mp1})w$
$0=(X^+f)w=(\pi_W(X^+)\circ f)w+\pi_W(K)\circ f\circ\pi_V(-K^{-1}X^+)w =-\pi_W(K)\circ f\circ \pi_V(K^{-1})\circ\pi_V(X^+)w\ (\because w\in W')$
$0=(X^-f)w=\pi_W(X^-)\circ f \circ \pi_V(K)w-f\circ \pi_V(X^-)\circ \pi_V(K)w$
ここで，$K^{\pm1}$の作用が可逆であることに注意すると一つ目の式から
$f(\pi_V(K^{\pm1})w)=0$
よって，$\pi_V(K^{\pm1})W'\subset W'$,特に$\pi_V(K^{\pm1})W'= W'$である.
二つ目の式から
$\pi_V(K^{-1})\pi_V(X^+)W'\subset W'$
両辺に$K$を作用させると$\pi_V(K^{\pm1})W'= W'$より
$\pi_V(X^+)W'\subset W'$
である.
三つ目の式から
$\pi_V(X^-)\pi_V(K)W'\subset W'$
である．$\pi_V(K^{\pm1})W'= W'$より
$\pi_V(X^-)W'\subset W'$
である．したがって$W'$は$U_q$の生成元の作用によって不変であるから$U_q$の表現である．　$\square$