東大数理院試過去問解答例(2017B08)

$\mathbb{Q}$に通常の距離位相を入れ、${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\cup \{\mathrm{\infty }\}$は$\mathbb{Q}$の一点コンパクト化、つまり$U\subset {\mathbb{Q}}^{\ast }$が開集合であることが

• $U$は$\mathbb{Q}$の開集合である
• $\mathrm{\infty }\in U$かつ${\mathbb{Q}}^{\ast }\mathrm{\setminus }U$はコンパクト集合

のいずれかを満たすことと同値であるように${\mathbb{Q}}^{\ast }$の位相を定める。以下の問いに答えなさい。

1. $\mathbb{Q}$の任意のコンパクト集合$C$は内点を含まないこと、つまり任意の$x\in C$及び$x$を含む$\mathbb{Q}$の開集合$U$について$U⊈C$であることを示せ。
2. ${\mathbb{Q}}^{\ast }$の点列の収束点は存在するなら一意であることを示せ。
3. ${\mathbb{Q}}^{\ast }$は第二可算公理を満たさない、つまり可算な開基を持たないことを示せ。