レート色・BRACKが語る！Integralisの勉強法　〜Basic 未参加・超初心者層〜

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編集中のため、未完成です。

こんにちは、Gagohです。
皆さんは競技積分「Integralis」というサイトを御存知ですか？
このサイトはOMCやJMO等であるような、競技数学と呼ばれるグループとは異なり、
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx $$
のような一変数定積分単問を解く時間を競う、それが競技積分です。普通の競技数学では幅広い内容から出題されますが、これはジャンルがはっきりしていますね(やったーーー)。

さて、本題に移りましょう。ここでは、

まだ参加できてないよ〜
参加はしてみたけど難しい！

というような人のために、勉強法を綴っていきたいと思います。是非参加時にお役立てください。

1.1 未ログインの場合

未ログインでも見れるものはあります。まずはそちらを見るのが良いでしょう。参加するときの事前情報になります。
特に見てもらいたいのは、過去問でしょうか。練習はログインしないとできませんが、問題の大まかなレベルが掴めたらGoodです。

ルールも確認しておきましょう。ルール・ガイドから見ることができます。
~~こら、そこの人！他力本願とは言わない！~~

競技積分にはDivisionというものがあります。Divisionは以下の2つです。
Basic…高校範囲、または大学初等関数範囲の積分。
Advance…特殊関数、応用的なTechnique、無限級数などを含んだ発展的積分。

初めて受ける場合は、Basicが良いでしょう。Advanceは大学範囲が必須知識となりますので、参加するには相当な知識が必要になります。
「俺、全部行けまっせ！」という人がいるなら挑戦してみてください。多分大変です。

ちなみに、できることは少ないのでさっさとログインしてしまうのも手です。こんな長々な説明読んでくれてありがとう。

1.2 BasicRate None,Jade

この帯では、基本的にまだ未参加か参加してみたものの一問くらいしか正解できなかった人が大半でしょう。

このサイトでは、初参加から三回目までPlacement期間という、簡単に言えば攻略した問題の難易度だけをもとにレートを変動させてくれる期間があるため、回数を積み重ねればこのRateは突破できると思います。

このRate帯では、Difficulty 1 ~ 3が解けるようになりましょう。といっても、基本的にこの難易度であれば受験数学の内容で立ち向かうことができます。
また、Rateを伸ばしたいならIFHS(Integral For High Students)を受けると良いと思います。IFHSは高校範囲のみなので、Performanceが高くなりやすいです。

双曲線三角関数$\sinh,\cosh,\tanh$や逆三角関数$\arcsin,\arccos,\arctan$など、大学範囲の初等関数の公式などを覚えながら問題を演習しましょう。
この先を考えると、Difficulty 3 を8分以内で解けるようになるといいですね。

1.2.1 難易度：Difficulty 1 ~ 3

りーるるの記事によると

基本的な公式や典型的な置換を用いる問題です。積分に慣れていない方でも、比較的参加しやすい範囲を想定しています。

とのこと。
1.2章で記載しているとおり、Difficult 1,2 は誘導なしで(一部を除いて)受験数学ででてもおかしくない難易度です。(大学範囲があるにしても式変形によって得られる積分は基本受験数学内で出てきます。)
Difficult 3 も誘導付きで出てきてもおかしくない程度の難易度になります。
~~そもそもあの形がそのまま出題されるような未来は見えないが~~

対策方法としては、受験数学の積分問題を解く方法が一番早いでしょう。ネットや参考書を探せばいくらでもあるのでじっくり、気ままにやっていくことをおすすめします。

1.2.2 重要定理など

Tangent half-angle substitution

被積分関数が三角関数のみの積分に対して
$$t=\tan {\frac{x}{2}}$$
と置換積分することで、

$$ \int f(\sin x,\cos x)dx =\int f(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt $$

と変形できる。

$t=\tan x$置換パターン

被積分関数が三角関数の二乗のみの積分に対して
$$t=\tan x$$
と置換積分することで、
$$ \int f(\sin^2 x,\cos^2 x)dx =\int f(\frac{t^2}{1+t^2},\frac{1}{1+t^2})\frac{1}{1+t^2}dt $$
と変形できる。

$t=\dfrac{1}{x}$ 置換パターン1

例えば、$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$$
という積分を考える。
$t=\dfrac{1}{x}$を実行することで、
$$\int \frac{1}{\frac{1}{t} \cdot \frac{\sqrt{1+t^2}}{t} } \cdot(-\frac{1}{t^2})dt=-\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$$
となる。分母の次数が高い積分で困ったら使おう。

$t=\dfrac{1}{x}$置換パターン2

$$I=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\log x}{1+x^2}dx$$
という積分を考える。
注目してもらいたいのは、定積分の範囲。よく見ると、$\lbrack \dfrac{1}{a},a \rbrack$という形をしている。この範囲に設定されている場合、これで基本解ける。
$t=\dfrac{1}{x}$としてあげることで
$$I=\int_{2}^{\frac{1}{2}}\frac{-\log t}{1+(\frac{1}{t})^2}(-\frac{1}{t^2})dt=\int_{2}^{\frac{1}{2}}\frac{\log t}{1+t^2}dt=-I$$となり、$$I=0$$が導かれる。この問題はIntegralisではあまり見かけないが、計算量は低いので出題されるとしたらDifficult 3 くらいだろう。十分演習を積む価値がある。

特に重要な積分

$$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} $$
$$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\log \abs {\frac{x-a}{x+a}}$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log (x+\sqrt{x^2+a^2})$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\log \abs {x+\sqrt{x^2-a^2}}$$
$$\int e^{ax}\sin {bx}dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)$$
$$\int e^{ax}\cos {bx}dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)$$
積分定数$C$は省略しています

三角関数の逆数の積分

$$\int \frac{dx}{\tan x}=\log \abs {\sin x}$$
$$\int \frac{dx}{\sin x}=\log \abs{\tan {\frac{x}{2}}}=\frac{1}{2} \log \abs{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$$
$$\int \frac{dx}{\cos x}=\log \abs{\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{2} \log \abs{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$$
積分定数$C$は省略しています