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整数問題

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整数問題

問題

自然数a,b,cで、
1a+1b+1c=1,abc
を満たすものを全て求めよ。

解答

与式より
1+a(1b+1c)=a
1b+1c=a1a
同様に
1a+1c=b1b
1a+1b=c1c
これらを同時に満たし、与えられた条件をも満たすa, b, cの組は
(a,b,c)=(2,4,4),(2,3,6)
しかない筈だ。

念の為確認すると
単位分数の和は、
1x+1y=x+yxy
x+y=xy1となる時
x(y1)=y+1
x=y+1y1
差が2で、大きい方の数が小さい方の数で割り切れる自然数の組は、1と3、2と4しかない。
従って、先程求めた2組以外に解はない。
Q. E. D.

訂正

y1=0の時は矛盾する。
x(y1)=y+1を満たす特殊なケースとして、(x,y)=(0,1),(1,0)が存在するが、これも解にならない。
しかし、解は3つある。
a=b=c=3の時も解てある。
x=2の時、y=3
x=3の時、y=2
では、なぜ
a=b=c=3の場合を見落としたのか?
実は、約分してx+y=xyaになる場合がある。この場合
分子、分母をaで割ることができる。
x+y=xya
x(y1)=y+a
x=y+ay1
y+a(y1)=a+1
差がa+1なのなら、
y+aa+1の両方がy1で割り切れる。
y+a=k(y1)
しかし、今
x+y=xyaより
a=xy(x+y)
y+xy(x+y)=k(y1)
x(y1)=k(y1)
y10より
x=k
x=y+ay1
あ、なんか上手く行かない。
y4の時
a=xy(x+y)
y=x+ax1
x+a4(x1)
3xa+4
a3x4
対称式なので
a3y4
xya=nかつ
x+ya=n
よって、今考えている小さな自然数の範囲が十分小さいので、xもyもaで割り切れる。x=y+ay1
このような式を満たすaは、1y22y3
その時x=2,1,3
x=1は不適。
x=2の時
3ya+4より
2y2
これも不適。
x=3の時
3(y1)=y+a
y=a+32
a=3の時y=3、しかもこの時x,y共にaの倍数なので、これは解になる。
これ以上aが大きいと、aはx, yの約数にならない。よって、これ以上大きなaを考える必要はない。
以上で、上記の3つ以外に解はないことが示せた。
(a,b,c)=(3,3,3),(2,4,4),(2,3,6)
Q. E. D.

私の力では、(a,b,c)=(1,1,1)の特殊解の謎が解けないと思ったが、何とか解けた。
勿論a=3であることは分かるのだが、そこからが長い。

投稿日:2023529
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