高校数学解説

行列(タイトル抽象的過ぎ)

行列,余弦,級数展開

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

こんにちは。最近の生活が数学にむしばまれてきてるArsenicです。
さて、今回は、こちらの積分の解き方を解説していきます。
あくまで僕の解法であり、もっとスマートな解き方があったら教えていただきたい次第です。

問題

行列

$I = \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} \cos (\begin{matrix} 0 & x & x \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) d x$

えぐいです。だから記事にします。

どのように討伐すべきか

おそらくですが、読者の皆様や僕が初見で思ったことは、「行列の余弦」をどのように討伐するのかということです。
悩んでいても埒が明かないので、とりあえず $\cos$ に関する式を並べてみます。(筆者はここに手惑い、twitterのほうで叫んだ)

余弦に関する有名な某展開の式

$\cos x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} x^{2 k}}{(2 k)!}$

これを得た瞬間、すべてが見えました。
つまり、 $x$ に何が入ろうともこの式は成り立つワケです。
だから、「行列をブチ込む」という荒業をします。
あくまでも、行列指数関数と同じような作業をするだけです。

ガンマ関数

準備はできたので、解きましょう.
..の前に、登場する特殊関数に関して軽く触れます。
( 前の記事でバンバン使いました。。)

みんな友達ガンマ関数

$Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t$

解く

解くのに必要な道具が完全にそろったので、解きます。

$I = \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} \cos (\begin{matrix} 0 & x & x \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) d x$
この行列を $A$ とおく。
この時、 $A^{0} = I_{3}$
$A^{2} = A A$
$= (\begin{matrix} 0 & x & x \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & x & x \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$
$= (\begin{matrix} 0 & 0 & x^{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$
$A^{4} = O_{3} 、 A^{2 k} = O_{3} (k ≧ 2)$
$∴ \cos A = (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} x^{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
$\to e^{- x^{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} x^{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
$\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} x^{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
$\to (\begin{matrix} \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x & 0 & - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} \\ 0 & \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x & 0 \\ 0 & 0 & \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \end{matrix})$
$= (\begin{matrix} \frac{\sqrt{π}}{2} & 0 & - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} \\ 0 & \frac{\sqrt{π}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{π}}{2} \end{matrix})$
$I_{13} = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x$
$x^{2} = u \to x = \sqrt{u} \to d x = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$
$= I_{13} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} u e^{- u} u^{- \frac{1}{2}} d u$
$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} u^{\frac{1}{2}} e^{- u} d u$
$= \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2} + 1)$
$∴ I_{13} = \frac{1}{4} \sqrt{π}$
$∴ I = \frac{\sqrt{π}}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$