Lagrange-Bürmannの反転公式とLegendre多項式のRodriguesの公式

$y-b=f(x)-f(a)$に逆関数$g$が存在するとき
$$x-a=g(y)-g(b)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(y-b)^n}{n!} \lim_{x \to a} D_x^{n-1} \left(\frac{x-a}{f(x)-f(a)} \right)^n$$
これを反転公式という.ここで
$$\varphi(x)=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}$$
となる関数$\varphi(x)$の存在を仮定する.
$t=y-b$とおくと
$$x-a=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n!}D_a^{n-1} \varphi(a)^n$$
両辺を$a$で微分すると
$$\frac{dx}{da}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n!}D_a^{n} \varphi(a)^n$$