0

Lagrange-Bürmannの反転公式とLegendre多項式のRodriguesの公式

43
0
$$$$
Lagrange-Bürmannの反転公式

$y-b=f(x)-f(a)$に逆関数$g$が存在するとき
$$x-a=g(y)-g(b)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(y-b)^n}{n!} \lim_{x \to a} D_x^{n-1} \left(\frac{x-a}{f(x)-f(a)} \right)^n$$
これを反転公式という.ここで
$$\varphi(x)=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}$$
となる関数$\varphi(x)$の存在を仮定する.
$t=y-b$とおくと
$$x-a=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n!}D_a^{n-1} \varphi(a)^n$$
両辺を$a$で微分すると
$$\frac{dx}{da}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n!}D_a^{n} \varphi(a)^n$$

$$\varphi(x)=\frac{x^2-1}{2}$$とする.
$$x-a=t\frac{x^2-1}{2}$$
$x$について解くと
$$x=\frac{1\pm \sqrt{t^2-2at+1}}{t}$$
なので
$$\frac{dx}{da}=\frac{1}{\pm \sqrt{t^2-2at+1}}$$
となる.
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}D_x^{n} \left( \frac{x^2-1}{2} \right)^n$$
これをLegendre多項式のRodriguesの公式とよぶ.

投稿日:322
更新日:322
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

DIO
DIO
18
4350

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中