
&&&fml Lagrange-Bürmannの反転公式
$y-b=f(x)-f(a)$に逆関数$g$が存在するとき
$$x-a=g(y)-g(b)=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(y-b)^n}{n!} \lim_{x \to a} D_x^{n-1} \left(\frac{x-a}{f(x)-f(a)} \right)^n$$ 
これを反転公式という.ここで
$$\varphi(x)=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}$$ 
となる関数$\varphi(x)$の存在を仮定する.
$t=y-b$とおくと
$$x-a=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n!}D_a^{n-1} \varphi(a)^n$$ 
両辺を$a$で微分すると
$$\frac{dx}{da}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n!}D_a^{n} \varphi(a)^n$$
&&&

&&&ex 
$$\varphi(x)=\frac{x^2-1}{2}$$とする.
$$x-a=t\frac{x^2-1}{2}$$
を$x$について解くと
$$x=\frac{1\pm \sqrt{t^2-2at+1}}{t}$$ 
なので
$$\frac{dx}{da}=\frac{1}{\pm \sqrt{t^2-2at+1}}$$
となる. 
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}D_x^{n} \left( \frac{x^2-1}{2} \right)^n$$ 
これをLegendre多項式のRodriguesの公式とよぶ.
&&&


Lagrange-Bürmannの反転公式とLegendre多項式のRodriguesの公式

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