群論1(群の定義)
群論の定義
代数学の中でも基本となる群について解説します。
$ X$が集合であるとき、写像$\emptyset$：$ X×X\rightarrow X$のことを集合$X$上の演算という。
写像というのは、ある集合からある集合へ移すためのルールのことです。定義の用語を使うのであれば、写像$\emptyset$は$ X × X$という直積集合からXという集合へ移しますよ、と言っています。
演算が定まっている状況で、群について定義します。
Gを空集合はない集合とする。Ｇ上の演算が定められていて、次の条件を満たすとき、群という。
- 単位元と呼ばれる元$e\in$Gがあり、すべての元$a\in$Gに対して、$ae = ea = a $となる。
- すべての元$a\in$Gに対して、$ab=ba=e$となるb$\in$Gが存在する。この元$b$のことを逆元という。この$b$は$a^{-1}$と表します。
- すべての元$a,b,c \in$Gに対して、$(ab)c=a(bc)$が成り立つ。(結合法則)
上の演算$ab$のことを積といいます。単位元のことは$e$と書いたり、1と書いたり、$1_G$のように書いたりと本によって異なります。ここでは、単位元を$e$と表すこととします。
群には色々な性質があります。そのいくつかを紹介していきます。
$a,b$が$G$の元で、$ab=ba$が成り立つとき、$a,b$は可換であるといいます。$G$のすべての元が可換であるとき、$G$を可換群あるいは、アーベル群といいます。これは、通常のかけ算が集合$G$の元であればできますよ、ということを言っています。アーベル群でない群のことを非可換群、または非アーベル群といいます。
ここまでは積について説明をしましたが、和に関しても同様に定義することができます。群の演算の$ab$の部分を$a+b$にすればよいのです。和における単位元は$0$または、$0_G$と表します。
$G = \mathbb{Q}\setminus\{0\} , \mathbb{R} \setminus\{0\} , \mathbb{C} \setminus\{0\} $は通常の積についてアーベル群で、単位元は1、$x$の逆元は$x^{-1}$である。
ただし、$G=Z \setminus\{0\} $は積について群になりません。なぜなら、$2 \in Z\setminus\{0\}$であるが、2の逆元である$\dfrac{1}{2}$が$Z \setminus\{0\} $に存在しないからです。
$G=\{e\}$とし、$ee=e$と定義すると群になる。
この群$G$は自明な群と言います。
最後に簡単な命題を証明して今回は終わりたいと思います。
$G$が群で$a,b,c \in G$なら次の(1),(2)が成り立つ。
(1)$ab=ac$なら$b=c$
(2)$ab=c$なら$b=a^{-1}c , a=cb^{-1}$
証明
(1)両辺に$a^{-1}$を左からかけてあげると、$b=a^{-1}ab=a^{-1}ac=c$
よって、$b=c$
(2)$a^{-1}$を左からかけてあげると$b=a^{-1}c$となり、$b^{-1}$をかけてあげると$a=cb^{-1}$が得られる。
(1)の性質は簡約法則といったり、消去律といいます。
今回は以上です。
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