東大数理院試過去問解答例(2024B03)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2024B03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2024B03

多項式環 $S = C [x_{1}, \dots, x_{n}]$ の極大イデアル $I = (x_{1}, \dots, x_{n})$ について、 $S$ 加群 $M = I^{ℓ} / I^{ℓ + 2}$ を考える。

$S$ 上の任意の自己準同型 $f : M \to M$ について、ある $α \in C$ が存在して、 $Im (f - α 1_{M}) \subseteq I^{ℓ + 1} / I^{ℓ + 2}$ かつ $(f - α 1_{M})^{2} = 0$ が成り立っていることを示しなさい。
$M$ は $S$ -加群として直既約でない、つまり $2$ つの $0$ でない $S$ 加群 $M_{1}, M_{2}$ で $M = M_{1} \oplus M_{2}$ を満たすものは存在しないことを示しなさい。

まず初めに $F = f (x_{1}^{N_{1}} \dots x_{n}^{N_{n}})$ とおく。更に任意の $i \neq j$ に対して
$G_{t} = f (\frac{x_{j}^{N_{i}}}{x_{i}^{N_{i}}} x_{1}^{N_{1}} \dots x_{n}^{N_{n}})$
とおく。このとき $F = G_{0}$ であり、更に任意の $t$ について
$x_{i} G_{t + 1} = x_{j} G_{t}$
が成り立っている。まず $G_{N_{i}}$ は $x_{i}^{0} = 1$ で割り切れる。次に $G_{t + 1}$ が $x^{N_{i} - t - 1}$ によって割り切れるとし、
$G_{t + 1} = x_{i}^{N_{i} - t - 1} H_{t}$
と表されるとする。このとき上の式は
$x_{i}^{N_{i} - t} H_{t} = x_{j} G_{t}$
と書けるから、 $G_{t}$ が $x_{i}^{N_{i} - t}$ で割り切れることが従う。よって $G_{t}$ は $x_{i}^{N_{i} - t}$ で割り切れる元で代表されることがわかり、特に $F$ は単項イデアル $(x_{1}^{N_{1}} \dots x_{n}^{N_{n}})$ の元で代表されることがわかる。ここで
$f (x_{1}^{N_{1}} \dots x_{n}^{N_{n}}) = a x_{1}^{N_{1}} \dots x_{n}^{N_{n}} + \dots$
と表されたとする。但し $\dots$ の部分は $I^{ℓ + 1}$ の元とする。このとき $(i, j) = (N_{t}, 1), (N_{t} - 1, 1), \dots, (2, 1)$ に対して関係式 $x_{i} G_{t + 1} = x_{j} G_{t}$ を次々に適用することで
$f (x_{1}^{ℓ}) = a x_{1}^{ℓ} + \dots$
と表されることがわかる。特に $F$ の $ℓ$ 次の係数は $N_{1}, \dots, N_{n}$ の取り方に依らない。この係数を $α$ とおく。このとき任意の $N_{1}, \dots, N_{n}$ に対して
$f (x_{1}^{N_{1}} \dots x_{n}^{N_{n}}) = α x_{1}^{N_{1}} \dots x_{n}^{N_{n}} + F_{N_{1}, \dots, N_{n}}$
を満たす $F_{N_{1}, \dots, N_{n}} \in I^{ℓ + 1}$ が存在する。これによって
$Im (f - α) \subseteq I^{ℓ + 1} / I^{ℓ + 2}$
がわかり、ここから $(f - α)^{2} = 0$ も従う。
背理法で示す。直既約でないとし、それを実現する直和分解を $M = M_{1} \oplus M_{2}$ とすると、 $S$ 加群の準同型 ${id}_{M_{1}} \oplus (- {id}_{M_{2}})$ は固有値 $\pm 1$ を持つから(1)の結果の反する。以上から $M$ は直既約である。

投稿日：2024年4月7日

更新日：2024年8月14日

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