大学数学基礎解説

文献あり

ブラウワーの不動点定理のお気持ちと簡単な証明

不動点定理,位相幾何,数理経済

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

1. はじめに

ブラウワーの不動点定理の証明の概略を備忘録として残します。
間違ってましたら、優しくご指摘頂ければ幸いです。

2. ブラウワーの不動点定理

不動点

$X$ を非空集合とする。写像 $f : X \to X$ に対して、 $f (x^{*}) = x^{*}$ を満たす点 $x^{*} \in X$ が存在するとき、点 $x^{*}$ を $f$ の不動点という。

引き込み

$M$ を位相空間 $X$ の部分空間とする。 $X$ から $M$ の中への連続写像 $r : X \to M$ で、その $M$ への制限が恒等写像となるようなものが存在するとき、 $M$ は $X$ へのレトラクトであるといい、写像 $r$ を引き込みという。

$R^{n}$ の単位球 $B_{n}$ （n次元の球）から、その境界 $S_{n - 1}$ への引き込みは存在しない。

【お気持ち】円板に穴を開けなければ輪に変形することはできない。

位相幾何学の知識がいるので、詳細は省略する。

単位球 $B_{n}$ から $S^{n - 1}$ の中への連続写像 $r : B_{n} \to S^{n - 1}$ で、その $S^{n - 1}$ への制限をしたとき連続写像 $r$ が恒等写像となるようなものは存在しない。

というのも、任意の点 $x \in B_{n} / {0}$ において、単位球から $0$ を除いた $B_{n} / {0}$ から $r (x) \in S^{n - 1}$ に写す引き込み $r$ はあるが、最後に原点が最後に残ってしまう。

なので、恒等写像となるようなものは存在しない。

円板に穴を開けなければ、最後に原点が残る

Brouwerの不動点定理

$B^{n}$ を $n$ 次元球とし、 $f : B^{n} \to B^{n}$ を連続写像とする。このとき、 $B^{n}$ の中に $f (x) = x$ となる点 $x$ が少なくとも1個存在する。

【お気持ち】

例えば $B^{n}$ が円板型であれば、円板型に同相な曲面上のフローには必ず不動点が存在する（図２）。

珈琲にミルクを入れて混ぜたイメージ図

$f : B^{n} \to B^{n}$ なる連続写像 $f$ が不動点をもたないとする。

$B^{n}$ のすべての点について $f (x) \neq x$ であるとする。

$f (x)$ から $x$ に線を伸ばした時、 $B^{n}$ の境界 $S_{n - 1}$ と交わる点を $r (x)$ とする。

このとき、 $r$ は連続写像である[3]。

$r : B^{n} \to S_{n - 1}$ は $x \in S_{n - 1}$ のとき、恒等写像が存在する。これは、定理1と矛盾する。

よって、そのような $f$ は存在しない。

イメージ

参考文献

[1]

瀬山士郎, トポロジー:柔らかい幾何学増補版

[2]

丸山徹, 数理経済学の方法

[3]

Proof of Brouwer's fixed point theorem in Hatcher, 閲覧日 2023年12月29日, https://math.stackexchange.com/questions/4540516/proof-of-brouwers-fixed-point-theorem-in-hatcher

投稿日：2023年12月27日

更新日：2023年12月29日

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hdk105

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2. ブラウワーの不動点定理
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