Prékopa-Leindlerの不等式

略．

まず$A,B$がコンパクトかつ$\max(A)=\min(B)=0$の場合に示す．このとき
\begin{align*} (1-\lambda)A+\lambda B &\supset\begin{cases} (1-\lambda)A+\lambda\{0\}=(1-\lambda)A, \\ (1-\lambda)\{0\}+\lambda B=\lambda B \end{cases} \end{align*}
より$(1-\lambda)A+\lambda B\supset (1-\lambda)A\cup\lambda B$が成り立つ．また
$$ (1-\lambda)A\cap \lambda B\subset(-\infty,0]\cap[0,\infty)\subset\{0\}$$
でもある．したがって
\begin{align*} |(1-\lambda)A+\lambda B| &\ge|(1-\lambda)A\cup\lambda B| \\ &=|(1-\lambda)A|+|\lambda B| \\ &=(1-\lambda)|A|+\lambda|B|. \end{align*}

一般のコンパクト集合$A,B$に対しては$A':=A-\max(A)$，$B':=B+\min(B)$とおけば，$\max(A')=\min(B')=0$だから
\begin{align*} |(1-\lambda)A'+\lambda B'|\ge (1-\lambda)|A'|+\lambda|B'| \end{align*}
であり，Lebesgue測度の平行移動不変性から
\begin{align*} |(1-\lambda)A+\lambda B|\ge (1-\lambda)|A|+\lambda|B| \end{align*}
を得る．

$A,B$が一般のLebesgue可測集合の場合は，$K\subset A$と$L\subset B$を満たす空でないコンパクト集合$K,L$を任意に取れば，$(1-\lambda)K+\lambda L\subset (1-\lambda)A+\lambda B$より
\begin{align*} |(1-\lambda)A+\lambda B|\ge |(1-\lambda)K+\lambda L|\ge (1-\lambda)|K|+\lambda|L| \end{align*}
であり，右辺で$K,L$についてそれぞれ上限を取れば所望の不等式
\begin{align*} |(1-\lambda)A+\lambda B|\ge (1-\lambda)|A|+\lambda|B| \end{align*}
を得る．

まず$f,g$が有界で，それらの$L^\infty$ノルム$\|f\|_{\infty},\|g\|_{\infty}$が両方$1$の場合に示す．
\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}m(x)\,dx &=\int_{\mathbb{R}}\bigg(\int_{[0,\infty)}1_{[0,m(x)]}(s)\,ds\bigg)\,dx \\ &=\int_{[0,\infty)}\bigg(\int_{\mathbb{R}}1_{\{s\le m\}}(x)\,dx\bigg)\,ds \\ &=\int_{[0,\infty)}|\{s\le m\}|\,ds \end{align*}
であり，$\|f\|_\infty=\|g\|_{\infty}=1$に注意すれば同じ計算で
$$ \int_{\mathbb{R}}f(x)\,dx=\int_{[0,1]}|\{s\le f\}|\,ds, \quad \int_{\mathbb{R}}g(x)\,dx=\int_{[0,1]}|\{s\le g\}|\,ds$$
もわかる．また，$s\in[0,1]$と$x\in\{s\le f\}$および$y\in\{s\le g\}$に対して
\begin{align*} m((1-\lambda)x+\lambda y)\ge f(x)^{1-\lambda}g(y)^\lambda\ge s^{1-\lambda}s^\lambda=s, \end{align*}
つまり$(1-\lambda)x+\lambda y\in\{s\le m\}$が成り立つから，各$s\in[0,1]$に対して$(1-\lambda)\{s\le f\}+\lambda\{s\le g\}\subset\{s\le m\}$である．するとBrunn-Minkowskiの不等式より
\begin{align*} |\{s\le m\}| &\ge |(1-\lambda)\{s\le f\}+\lambda\{s\le g\}| \\ &\ge (1-\lambda)|\{s\le f\}|+\lambda|\{s\le g\}| \end{align*}
が成り立ち（？），これを$s\in[0,1]$で積分すれば
\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}m(x)\,dx &\ge \int_{[0,1]}|\{s\le m\}|\,dx \\ &\ge (1-\lambda)\int_{[0,1]}|\{s\le f\}|\,dx+\lambda\int_{[0,1]}|\{s\le g\}|\,dx \\ &=(1-\lambda)\int_{\mathbb{R}}f(x)\,dx+\lambda\int_{\mathbb{R}}g(x)\,dx \\ &\ge \bigg(\int_{\mathbb{R}}f(x)\,dx\bigg)^{1-\lambda}\bigg(\int_{\mathbb{R}}g(x)\,dx\bigg)^{\lambda} \end{align*}
となる．

一般の有界関数$f,g$に対しては，いま示した不等式
\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}\frac{m(x)}{\|f\|_{\infty}^{1-\lambda}\|g\|_{\infty}^{\lambda}}\,dx &\ge \bigg(\int_{\mathbb{R}}\frac{f(x)}{\|f\|_\infty}\,dx\bigg)^{1-\lambda}\bigg(\int_{\mathbb{R}}\frac{g(x)}{\|g\|_\infty}\,dx\bigg)^{\lambda} \end{align*}
を整理すればよい．

$f,g$が有界でない場合は，各$n\in\mathbb{N}$に対して
\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}m(x)1_{\{m\le n\}}(x)\,dx\ge \bigg(\int_{\mathbb{R}}f(x)1_{\{f\le n\}}(x)\,dx\bigg)^{1-\lambda}\bigg(\int_{\mathbb{R}}g(x)1_{\{g\le n\}}(x)\,dx\bigg)^{\lambda} \end{align*}
が成り立つから，$n\to\infty$とすれば単調収束定理より所望の不等式を得る．

$d=1$の場合は既に示した．$d\ge 2$の場合は，各$s\in\mathbb{R}$に対してBorel可測関数$f_s,g_s,m_s:\mathbb{R}^{d-1}\to[0,\infty]$を
$$ f_s(x'):=f(s,x'), \qquad g_s(x'):=g(s,x'), \qquad m_s(x'):=m(s,x')$$
で定める．このとき任意の$s,t\in\mathbb{R}$と$x',y'\in\mathbb{R}^{d-1}$に対して
\begin{align*} m_{(1-\lambda)s+\lambda t}((1-\lambda)x'+\lambda y') &=m((1-\lambda)s+\lambda t,(1-\lambda)x'+\lambda y') \\ &=m((1-\lambda)(s,x')+\lambda(t,y')) \\ &\ge f(s,x')^{1-\lambda}g(t,y')^{\lambda} \\ &=f_s(x')^{1-\lambda}g_t(y')^{\lambda} \end{align*}
が成り立つから，帰納法の仮定より，すべての$s,t\in\mathbb{R}$に対して
$$ \int_{\mathbb{R}^{d-1}}m_{(1-\lambda)s+\lambda t}(x')\,dx'\ge \bigg(\int_{\mathbb{R}^{d-1}}f_s(x')\,dx'\bigg)^{1-\lambda}\bigg(\int_{\mathbb{R}^{d-1}}g_t(x')\,dx'\bigg)^{\lambda}$$
となる．ところで次の関数$M,F,G:\mathbb{R}\to[0,\infty]$
\begin{align*} M(s)&:=\int_{\mathbb{R}^{d-1}}m_s(x')\,dx', \\ F(s)&:=\int_{\mathbb{R}^{d-1}}f_s(x')\,dx', \\ G(s)&:=\int_{\mathbb{R}^{d-1}}g_s(x')\,dx' \end{align*}
はBorel可測で，いま示した通りすべての$s,t\in\mathbb{R}$に対して
$$ M((1-\lambda)s+\lambda t)\ge F(s)^{1-\lambda}G(t)^{\lambda}$$
が成り立つから，$d=1$の場合のPrékopa-Leindlerの不等式より
$$ \int_{\mathbb{R}}M(s)\,ds\ge \bigg(\int_{\mathbb{R}}F(s)\,ds\bigg)^{1-\lambda}\bigg(\int_{\mathbb{R}}G(s)\,ds\bigg)^{\lambda},$$
つまり
$$ \int_{\mathbb{R}^d}m(x)\,dx\ge \bigg(\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\bigg)^{1-\lambda}\bigg(\int_{\mathbb{R}^d}g(x)\,dx\bigg)^{\lambda}$$
を得る．

$1_{A},1_B,1_{(1-\lambda)A+\lambda B}$は非負値Borel可測関数であり，任意の$x,y\in\mathbb{R}^d$に対して
$$ 1_{A}(x)^{1-\lambda}1_{B}(y)^{\lambda}=\left\{\begin{array}{ll}1&(\text{$x\in A$ かつ $y\in B$})\\0&(\text{それ以外})\end{array}\right\}\le 1_{(1-\lambda)A+\lambda B}((1-\lambda)x+\lambda y) $$
が成り立つから，Prékopa-Leindlerの不等式より
$$ |A|^{1-\lambda}|B|^\lambda\le |(1-\lambda)A+\lambda B|$$
となる．この不等式から$|A|,|B|>0$のとき
$$ 1\le \bigg|\frac{(1-\lambda)|A|^{1/d}}{(1-\lambda)|A|^{1/d}+\lambda|B|^{1/d}}\cdot\frac{A}{|A|^{1/d}}+\frac{\lambda|B|^{1/d}}{(1-\lambda)|A|^{1/d}+\lambda|B|^{1/d}}\cdot\frac{B}{|B|^{1/d}}\bigg| $$
が成り立つので，整理すれば所望の不等式を得る．なお$|A|=0$の場合は，1点$a_0\in A$を取って
\begin{align*} (1-\lambda)|A|^{1/d}+\lambda|B|^{1/d} &=|\lambda B|^{1/d} \\ &=|(1-\lambda)\{a_0\}+\lambda B|^{1/d} \\ &\le |(1-\lambda)A+\lambda B|^{1/d} \end{align*}
のように示せる．$|B|=0$の場合も同様．