Prékopa-Leindlerの不等式

略．

まず$A,B$がコンパクトかつ$max(A)=min(B)=0$の場合に示す．このとき
$$\begin{array}{rl}(1-\lambda )A+\lambda B& \supset \{\begin{array}{l}(1-\lambda )A+\lambda \{0\}=(1-\lambda )A,\\ (1-\lambda )\{0\}+\lambda B=\lambda B\end{array}\end{array}$$
より$(1-\lambda )A+\lambda B\supset (1-\lambda )A\cup \lambda B$が成り立つ．また
$$(1-\lambda )A\cap \lambda B\subset (-\mathrm{\infty },0]\cap [0,\mathrm{\infty })\subset \{0\}$$
でもある．したがって
$$\begin{array}{rl}|(1-\lambda )A+\lambda B|& \ge |(1-\lambda )A\cup \lambda B|\\ & =|(1-\lambda )A|+|\lambda B|\\ & =(1-\lambda )|A|+\lambda |B|.\end{array}$$

一般のコンパクト集合$A,B$に対しては$A^{\prime }:=A-max(A)$，$B^{\prime }:=B+min(B)$とおけば，$max(A^{\prime })=min(B^{\prime })=0$だから
$$\begin{array}{r}|(1-\lambda )A^{\prime }+\lambda B^{\prime }|\ge (1-\lambda )|A^{\prime }|+\lambda |B^{\prime }|\end{array}$$
であり，Lebesgue測度の平行移動不変性から
$$\begin{array}{r}|(1-\lambda )A+\lambda B|\ge (1-\lambda )|A|+\lambda |B|\end{array}$$
を得る．

$A,B$が一般のLebesgue可測集合の場合は，$K\subset A$と$L\subset B$を満たす空でないコンパクト集合$K,L$を任意に取れば，$(1-\lambda )K+\lambda L\subset (1-\lambda )A+\lambda B$より
$$\begin{array}{r}|(1-\lambda )A+\lambda B|\ge |(1-\lambda )K+\lambda L|\ge (1-\lambda )|K|+\lambda |L|\end{array}$$
であり，右辺で$K,L$についてそれぞれ上限を取れば所望の不等式
$$\begin{array}{r}|(1-\lambda )A+\lambda B|\ge (1-\lambda )|A|+\lambda |B|\end{array}$$
を得る．

まず$f,g$が有界で，それらの$L^{\mathrm{\infty }}$ノルム$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }},\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$が両方$1$の場合に示す．
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}m(x)dx& ={\int }_{\mathbb{R}}({\int }_{[0,\mathrm{\infty })}{1}_{[0,m(x)]}(s)ds)dx\\ & ={\int }_{[0,\mathrm{\infty })}({\int }_{\mathbb{R}}{1}_{\{s\le m\}}(x)dx)ds\\ & ={\int }_{[0,\mathrm{\infty })}|\{s\le m\}|ds\end{array}$$
であり，$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=1$に注意すれば同じ計算で
$${\int }_{\mathbb{R}}f(x)dx={\int }_{[0,1]}|\{s\le f\}|ds,{\int }_{\mathbb{R}}g(x)dx={\int }_{[0,1]}|\{s\le g\}|ds$$
もわかる．また，$s\in [0,1]$と$x\in \{s\le f\}$および$y\in \{s\le g\}$に対して
$$\begin{array}{r}m((1-\lambda )x+\lambda y)\ge f(x{)}^{1-\lambda }g(y{)}^{\lambda }\ge s^{1-\lambda }{s}^{\lambda }=s,\end{array}$$
つまり$(1-\lambda )x+\lambda y\in \{s\le m\}$が成り立つから，各$s\in [0,1]$に対して$(1-\lambda )\{s\le f\}+\lambda \{s\le g\}\subset \{s\le m\}$である．するとBrunn-Minkowskiの不等式より
$$\begin{array}{rl}|\{s\le m\}|& \ge |(1-\lambda )\{s\le f\}+\lambda \{s\le g\}|\\ & \ge (1-\lambda )|\{s\le f\}|+\lambda |\{s\le g\}|\end{array}$$
が成り立ち（？），これを$s\in [0,1]$で積分すれば
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}m(x)dx& \ge {\int }_{[0,1]}|\{s\le m\}|dx\\ & \ge (1-\lambda ){\int }_{[0,1]}|\{s\le f\}|dx+\lambda {\int }_{[0,1]}|\{s\le g\}|dx\\ & =(1-\lambda ){\int }_{\mathbb{R}}f(x)dx+\lambda {\int }_{\mathbb{R}}g(x)dx\\ & \ge ({\int }_{\mathbb{R}}f(x)dx{)}^{1-\lambda }({\int }_{\mathbb{R}}g(x)dx{)}^{\lambda }\end{array}$$
となる．

一般の有界関数$f,g$に対しては，いま示した不等式
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}\frac{m(x)}{\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}^{1-\lambda }\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty }}^{\lambda }}dx& \ge ({\int }_{\mathbb{R}}\frac{f(x)}{\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}}dx{)}^{1-\lambda }({\int }_{\mathbb{R}}\frac{g(x)}{\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty }}}dx{)}^{\lambda }\end{array}$$
を整理すればよい．

$f,g$が有界でない場合は，各$n\in \mathbb{N}$に対して
$$\begin{array}{r}{\int }_{\mathbb{R}}m(x)1_{\{m\le n\}}(x)dx\ge ({\int }_{\mathbb{R}}f(x)1_{\{f\le n\}}(x)dx{)}^{1-\lambda }({\int }_{\mathbb{R}}g(x)1_{\{g\le n\}}(x)dx{)}^{\lambda }\end{array}$$
が成り立つから，$n\to \mathrm{\infty }$とすれば単調収束定理より所望の不等式を得る．

$d=1$の場合は既に示した．$d\ge 2$の場合は，各$s\in \mathbb{R}$に対してBorel可測関数$f_s,g_s,m_s:{\mathbb{R}}^{d-1}\to [0,\mathrm{\infty }]$を
$$f_s(x^{\prime }):=f(s,x^{\prime }),g_s(x^{\prime }):=g(s,x^{\prime }),m_s(x^{\prime }):=m(s,x^{\prime })$$
で定める．このとき任意の$s,t\in \mathbb{R}$と$x^{\prime },y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{d-1}$に対して
$$\begin{array}{rl}{m}_{(1-\lambda )s+\lambda t}((1-\lambda )x^{\prime }+\lambda y^{\prime })& =m((1-\lambda )s+\lambda t,(1-\lambda )x^{\prime }+\lambda y^{\prime })\\ & =m((1-\lambda )(s,x^{\prime })+\lambda (t,y^{\prime }))\\ & \ge f(s,x^{\prime }{)}^{1-\lambda }g(t,y^{\prime }{)}^{\lambda }\\ & =f_s(x^{\prime }{)}^{1-\lambda }{g}_t(y^{\prime }{)}^{\lambda }\end{array}$$
が成り立つから，帰納法の仮定より，すべての$s,t\in \mathbb{R}$に対して
$${\int }_{{\mathbb{R}}^{d-1}}{m}_{(1-\lambda )s+\lambda t}(x^{\prime })d{x}^{\prime }\ge ({\int }_{{\mathbb{R}}^{d-1}}{f}_s(x^{\prime })d{x}^{\prime }{)}^{1-\lambda }({\int }_{{\mathbb{R}}^{d-1}}{g}_t(x^{\prime })d{x}^{\prime }{)}^{\lambda }$$
となる．ところで次の関数$M,F,G:\mathbb{R}\to [0,\mathrm{\infty }]$
$$\begin{array}{rl}M(s)& :={\int }_{{\mathbb{R}}^{d-1}}{m}_s(x^{\prime })d{x}^{\prime },\\ F(s)& :={\int }_{{\mathbb{R}}^{d-1}}{f}_s(x^{\prime })d{x}^{\prime },\\ G(s)& :={\int }_{{\mathbb{R}}^{d-1}}{g}_s(x^{\prime })d{x}^{\prime }\end{array}$$
はBorel可測で，いま示した通りすべての$s,t\in \mathbb{R}$に対して
$$M((1-\lambda )s+\lambda t)\ge F(s{)}^{1-\lambda }G(t{)}^{\lambda }$$
が成り立つから，$d=1$の場合のPrékopa-Leindlerの不等式より
$${\int }_{\mathbb{R}}M(s)ds\ge ({\int }_{\mathbb{R}}F(s)ds{)}^{1-\lambda }({\int }_{\mathbb{R}}G(s)ds{)}^{\lambda },$$
つまり
$${\int }_{{\mathbb{R}}^d}m(x)dx\ge ({\int }_{{\mathbb{R}}^d}f(x)dx{)}^{1-\lambda }({\int }_{{\mathbb{R}}^d}g(x)dx{)}^{\lambda }$$
を得る．

$1_A,1_B,1_{(1-\lambda )A+\lambda B}$は非負値Borel可測関数であり，任意の$x,y\in {\mathbb{R}}^d$に対して
$$1_A(x{)}^{1-\lambda }{1}_B(y{)}^{\lambda }=\left\{\begin{array}{ll}1& (x\in A\text{ かつ }y\in B)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}\right\}\le 1_{(1-\lambda )A+\lambda B}((1-\lambda )x+\lambda y)$$
が成り立つから，Prékopa-Leindlerの不等式より
$$|A{|}^{1-\lambda }|B{|}^{\lambda }\le |(1-\lambda )A+\lambda B|$$
となる．この不等式から$|A|,|B|>0$のとき
$$1\le |\frac{(1-\lambda )|A{|}^{1/d}}{(1-\lambda )|A{|}^{1/d}+\lambda |B{|}^{1/d}}\cdot \frac{A}{|A{|}^{1/d}}+\frac{\lambda |B{|}^{1/d}}{(1-\lambda )|A{|}^{1/d}+\lambda |B{|}^{1/d}}\cdot \frac{B}{|B{|}^{1/d}}|$$
が成り立つので，整理すれば所望の不等式を得る．なお$|A|=0$の場合は，1点$a_0\in A$を取って
$$\begin{array}{rl}(1-\lambda )|A{|}^{1/d}+\lambda |B{|}^{1/d}& =|\lambda B{|}^{1/d}\\ & =|(1-\lambda )\{a_0\}+\lambda B{|}^{1/d}\\ & \le |(1-\lambda )A+\lambda B{|}^{1/d}\end{array}$$
のように示せる．$|B|=0$の場合も同様．