多重T値の深さ2の重み付き和公式のシンプルな証明
深さ1, 深さ2の多重$T$値はそれぞれ以下のように定義される.
\begin{align}
T(k)&:=2\sum_{0\leq n}\frac 1{(2n+1)^k}\\
T(a,b)&:=4\sum_{0\leq n< m}\frac 1{(2n+1)^a(2m)^b}
\end{align}
前の記事
において, Ohno-Zudilinによる重み付き和公式
\begin{align}
\sum_{1\leq a,2\leq b,a+b=k}2^b\zeta(a,b)&=(k+1)\zeta(k)
\end{align}
にシンプルな証明を与えたが, 今回はその多重$T$値における類似である以下の公式を同様の方針で示す.
$k\geq 3$に対し,
\begin{align}
\sum_{1\leq a,2\leq b,a+b=k}2^{b-1}T(a,b)&=(k-1)T(k)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
T_0(k)&:=\sum_{0\leq n}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^k}\\
T_0(a,b)&:=\sum_{0\leq n< m}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^am^b}
\end{align}
として,
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}2^{b+2}T_0(a+1,b+2)&=(k+1)T_0(k+2)
\end{align}
を示せばよい. 左辺は
\begin{align}
&\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}2^{b+2}T_0(a+1,b+2)\\
&=\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\sum_{0\leq n< m}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^{a+1}}\left(\frac 2m\right)^{b+2}\\
&=\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\left(\sum_{0\leq n< m, m=2n+1}+\sum_{0\leq n< m,m\neq 2n+1}\right)\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^{a+1}}\left(\frac 2m\right)^{b+2}\\
&=\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}T_0(k+2)+4\sum_{0\leq n< m,m\neq 2n+1}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)m^2}\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^{a+1}}\left(\frac 2m\right)^{b+2}\\
&=kT_0(k+2)+4\sum_{0\leq n< m,m\neq 2n+1}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)m^2}\frac{\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^k}-\left(\frac 2m\right)^k}{\frac 1{n+\frac 12}-\frac 2m}\\
&=kT_0(k+2)+4\sum_{0\leq n< m,m\neq 2n+1}\frac 1{m(m-2n-1)}\left(\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^k}-\left(\frac 2m\right)^k\right)
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n< m,m\neq 2n+1}\frac 1{m(m-2n-1)}\left(\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^k}-\left(\frac 2m\right)^k\right)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^k}\sum_{n< m,m\neq 2n+1}\frac 1{m(m-2n-1)}-\sum_{0< m}\frac 1m\left(\frac 2m\right)^k\sum_{0\leq n< m, 2n+1\neq m}\frac 1{m-2n-1}
\end{align}
であり,
\begin{align}
&\sum_{n< m,m\neq 2n+1}\frac 1{m(m-2n-1)}\\
&=\frac 1{2n+1}\sum_{n< m,m\neq 2n+1}\left(\frac 1{m-2n-1}-\frac 1m\right)\\
&=\frac 1{2n+1}\left(\sum_{n< m<2n+1}\left(\frac 1{m-2n-1}-\frac 1m\right)+\sum_{2n+1< m}\left(\frac 1{m-2n-1}-\frac 1m\right)\right)\\
&=\frac 1{2n+1}\left(-\sum_{m=1}^{2n}\frac 1m+\sum_{m=1}^{2n+1}\frac 1m\right)\\
&=\frac 1{(2n+1)^2}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}2^{b+2}T_0(a+1,b+2)\\
&=kT_0(k+2)+\sum_{0\leq n}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^{k+2}}\\
&=(k+1)T_0(k+2)
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
