導入
今回は,円円対応について考えてみたいと思います.大学入試の問題でも,これをテーマにした問題は頻出です.しかも分野を跨いで出題されます.例えば,複素数平面での変換であったり,座標平面での変換であったり.本質は同じなのに付けてる仮面は違う,という感じです.
今回は,そんな円円対応について紹介し,大学入試問題を解いていこうと思います.まあ,大学数学すげえ!たのしい!ってなりたいだけなんですけどね
牛刀の準備
まず,無限遠点と広義の円を定義します.
無限遠点(ふんわりとした定義)
平面の,無限の彼方を表す点を無限遠点と呼び,点と書く.
わざわざこのような点を考える意義はあとで触れます.無限の彼方を表す仮想的な点を考え,平面に追加して新たな空間を考えることで,反転を統一的にみることが出来ます.
広義の円
狭義の円(つまり,ある定点からの距離が一定となる点の集合)および直線を広義の円と呼ぶことにする.
これは所謂「普通の円」に加えて,直線も円の仲間に加えようということです.これは直線を無限遠点を中心とする半径無限大の円とみなすことで自然な解釈が出来ると思います.
次に,反転について紹介します.
反転(図形Ver.)
原点をとし,を中心とし半径がとなる円をとする.点を,を満たす半直線上の点に移す変換を円による反転という.
座標平面表示にして,ゴリゴリ計算すると以下の定義も得ます.
反転(座標平面Ver.)
点を点に移す変換を反転と呼ぶ.ただし,原点を反転させると無限遠点に,無限遠点を反転させると原点に移るとする.
とするととなるので,上記の定義を複素数表示に書き換えると,以下のようになります.
反転(複素数平面Ver.)
点を点に移す変換を反転と呼ぶ(メビウス変換ともいう).ただし,原点を反転させると無限遠点に,無限遠点を反転させると原点に移るとする.
続いて,この複素数平面での表示を用いて,反転に関する以下の定理を紹介します.
反転の円円対応
複素数平面上において,点が広義の円上を動くとき,点も広義の円上を動く.
まず点が狭義の円上を動くとき,複素数と正実数を用いてが成立する.と,またとを対応付ければと書けて
これはでは直線,では広義の円を表す.
点が直線上を動くとき,相異なる複素数とを用いてとおける.同様にで,またでと対応させれば,いかなる場合でもと書けて
とがともにでないなら,これは広義の円を描く.どちらかがなら,これは狭義の円を描く.
複素共役をとる操作は,軸(実軸)に対称に折り返す操作です.そのため「反転しても円は円に対応する」という定理に対しては,で考えてもで考えても,どちらかで示せば十分です.そのため,よりきれいなの場合で証明しました.
次に,反転などを含めたより一般化された変換として,1次分数変換を紹介します.
1次分数変換
点に対して,点を
と対応させる変換を1次分数変換という.
1次分数変換の分解
1次分数変換は,複素数平面上での平行移動・伸縮回転・反転の合成によって表される.
1次分数変換は
と書ける.これは3つの基本変換
の合成である.
補題2より,は平行移動・伸縮拡大・反転の組み合わせで変換される.点が広義の円を描くとき,平行移動・伸縮拡大した点が広義の円を描くのは明らか.また定理1から,反転した場合でも変換後の点は広義の円を描く.
大学入試問題で牛刀割鶏
2007 大阪大
2007 大阪大 理系 第3問
平面において,原点を通る半径の円をとし,その中心をとする.を除く上の点に対し,次の条件(a),(b)で定まる点を考える.
以下の問いに答えよ.
- 点がを除く上を動くとき,点はに直交する直線上を動くことを示せ.
- (1)の直線をとする.がと2点で交わるとき,のとりうる値の範囲を求めよ.
解答
- 点に対して,条件(a)より点と書ける.そして条件(b)からゆえを得る.よっては,点に移る.これは反転変換である.この変換により原点は無限遠点に移るから,点は直線を描く.なる点は点に移り,点は点に移る.よって点は直線を描く.この直線の方向ベクトルとしてがとれて,よりとなるので,示された.
- 省略.
2022 大阪大
2022 大阪大 理系 第1問
を正の実数とする.複素数平面上で,点が点を中心とする半径の円周上を動くとき,
を満たす点が描く図形を求めよ.
解答
点は上を動く.そしてよりを得る.ただし平面に無限遠点を追加し,のときはであると対応づける.すると,は広義の円を描くことが分かる.そして
に移る.
- のとき,点は点に移る.よっては点を通る直線を描くことが分かり,点は点に移る.以上のことから,点は虚軸に平行で,点を通る直線全体を描く.
- のとき,2点は互いに異なり,2点も互いに異なり実軸上になく,加えて実軸との距離が等しい.したがって,は狭義の円全体を描き,中心は実軸上にある.よって2点の中点が円の中心となるので,は中心および半径の円全体を描く.
2017 東京大
2017 東京大 理系 第3問
複素数平面上の原点以外の点に対して,とする.
(1) をでない複素数とし,点と原点を結ぶ線分の垂直二等分線をとする.点が直線上を動くとき,点の軌跡は円から1点を除いたものになる.この円の中心と半径を求めよ.
(2) 1の3乗根のうち,虚部が正であるものをとする.点と点を結ぶ線分上を点が動くときの点の軌跡を求め,複素数平面上に図示せよ.
解答
- 平面に無限遠点を追加して考える.点は点に移り,点は点に移る.また,点は点に移る.が描く円の中心をとする.はを満たす.これを計算すると
以上のことから,の軌跡は中心,半径となる円から原点を除いたものになる. - を解いて,を得る.が動く範囲をとすると,は直線の一部ゆえの軌跡は広義の円の一部になる.点はに移り,点は点に移る.また,点は点に移る.これら3点は同一直線上にないので,点の軌跡は3点を通る円弧となる(図示は省略).
補足
(1)に関しては,としてに代入した方が早いですね.絶対に