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大学数学基礎解説
文献あり

牛刀割鶏 2 (円円対応)

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導入

 今回は,円円対応について考えてみたいと思います.大学入試の問題でも,これをテーマにした問題は頻出です.しかも分野を跨いで出題されます.例えば,複素数平面での変換であったり,座標平面での変換であったり.本質は同じなのに付けてる仮面は違う,という感じです.
 今回は,そんな円円対応について紹介し,大学入試問題を解いていこうと思います.まあ,大学数学すげえ!たのしい!ってなりたいだけなんですけどね

牛刀の準備

 まず,無限遠点と広義の円を定義します.

無限遠点(ふんわりとした定義)

 平面の,無限の彼方を表す点(, )無限遠点と呼び,点と書く.

 わざわざこのような点を考える意義はあとで触れます.無限の彼方を表す仮想的な点を考え,平面R2に追加して新たな空間R2{}を考えることで,反転を統一的にみることが出来ます.

広義の円

 狭義の円(つまり,ある定点からの距離が一定となる点の集合)および直線を広義の円と呼ぶことにする.

 これは所謂「普通の円」に加えて,直線も円の仲間に加えようということです.これは直線を無限遠点を中心とする半径無限大の円とみなすことで自然な解釈が出来ると思います.
 次に,反転について紹介します.

反転(図形Ver.)

 原点をOとし,Oを中心とし半径がrとなる円をCとする.点Pを,OP×OQ=r2を満たす半直線OP上の点Qに移す変換をCによる反転という.

座標平面表示にして,ゴリゴリ計算すると以下の定義も得ます.

反転(座標平面Ver.)

 点(x, y)を点(xx2+y2, yx2+y2)に移す変換を反転と呼ぶ.ただし,原点(0, 0)を反転させると無限遠点(, )に,無限遠点(, )を反転させると原点(0, 0)に移るとする.

 z=x+yiとすると1z¯=x+yix2+y2となるので,上記の定義を複素数表示に書き換えると,以下のようになります.

反転(複素数平面Ver.)

 点zを点w=1z¯に移す変換を反転と呼ぶ(メビウス変換ともいう).ただし,原点z=0を反転させると無限遠点w=に,無限遠点z=を反転させると原点w=0に移るとする.

 続いて,この複素数平面での表示を用いて,反転に関する以下の定理を紹介します.

反転の円円対応

 複素数平面上において,点zが広義の円C上を動くとき,点w=1zも広義の円C上を動く.

 まず点zが狭義の円上を動くとき,複素数αと正実数rを用いて|zα|=rが成立する.z=0w=,またz=w=0を対応付ければz=1/wと書けて
|1wα|=r,|αw1|=r|w|.
これはα=0では直線,α0では広義の円を表す.
 点zが直線上を動くとき,相異なる複素数αβを用いて|zα|=|zβ|とおける.同様にz=0w=,またz=w=0と対応させれば,いかなる場合でもz=1/wと書けて
|1wα|=|1wβ|,|αw1|=|βw1|.
αβがともに0でないなら,これは広義の円を描く.どちらかが0なら,これは狭義の円を描く.

 複素共役をとる操作は,x軸(実軸)に対称に折り返す操作です.そのため「反転しても円は円に対応する」という定理に対しては,w=1/zで考えてもw=1/z¯で考えても,どちらかで示せば十分です.そのため,よりきれいなw=1/zの場合で証明しました.

 次に,反転などを含めたより一般化された変換として,1次分数変換を紹介します.

1次分数変換

 点zCに対して,点wC
w=αz+βγz+δ(α, β, γ, δC)
と対応させる変換を1次分数変換という.

1次分数変換の分解

 1次分数変換は,複素数平面上での平行移動伸縮回転反転の合成によって表される.

 1次分数変換は
w={αδz+βδ(γ=0)αγ+βγαδγ21z+δγ(γ0)
と書ける.これは3つの基本変換
平行移動:w=z+a,伸縮回転:w=bz,反転:w=1z,
の合成である.

1次分数変換の円円対応

 点zが広義の円Cを描くとき,点w=αz+βγz+δも広義の円Cを描く.

 補題2より,wは平行移動・伸縮拡大・反転の組み合わせで変換される.点zが広義の円を描くとき,平行移動・伸縮拡大した点が広義の円を描くのは明らか.また定理1から,反転した場合でも変換後の点は広義の円を描く.

大学入試問題で牛刀割鶏

2007 大阪大

2007 大阪大 理系 第3問

 xy平面において,原点Oを通る半径r (r>0)の円をCとし,その中心をAとする.Oを除くC上の点Pに対し,次の条件(a),(b)で定まる点Qを考える.
(a) OPOQの向きが同じ.(b) |OP||OQ|=1.
以下の問いに答えよ.

  1. POを除くC上を動くとき,点QOAに直交する直線上を動くことを示せ.
  2. (1)の直線をlとする.lCと2点で交わるとき,rのとりうる値の範囲を求めよ.
解答
  1. P(X, Y)(0, 0)に対して,条件(a)より点Q(kX, kY) (k>0)と書ける.そして条件(b)からX2+Y2kX2+Y2=1ゆえk=1X2+Y2を得る.よってP(X, Y)(0, 0)は,点Q(XX2+Y2, YX2+Y2)に移る.これは反転変換である.この変換により原点は無限遠点に移るから,点Qは直線を描く.OP=2OA=2r(cosθ, sinθ)なる点は点Q1(cosθ2r, sinθ2r)に移り,点P(r(cosθsinθ), r(sinθ+cosθ))は点Q2(cosθsinθ2r, cosθ+sinθ2r)に移る.よって点Qは直線Q1Q2を描く.この直線の方向ベクトルとしてd=(sinθ, cosθ)がとれて,dOA=0よりdOAとなるので,示された.
  2. 省略.

2022 大阪大

2022 大阪大 理系 第1問

 rを正の実数とする.複素数平面上で,点zが点32を中心とする半径rの円周上を動くとき,
z+w=zw
を満たす点wが描く図形を求めよ.

解答

 点z|z3/2|=r上を動く.そしてz+w=zwよりw=zz1を得る.ただし平面に無限遠点を追加し,z=1のときはw=であると対応づける.すると,wは広義の円を描くことが分かる.そして
z=32±rのときw=3±2r1±2r,z=32±riのときw=3±2ri1±2ri=3+4r24ri1+4r2
に移る.

  1. r=1/2のとき,点z=1,2は点w=,2に移る.よってwは点2を通る直線を描くことが分かり,点z=(3±i)/2は点w=2iに移る.以上のことから,点w虚軸に平行で,点2を通る直線全体を描く.
  2. r1/2のとき,2点3±2r1±2rは互いに異なり,2点3+4r24ri1+4r2も互いに異なり実軸上になく,加えて実軸との距離が等しい.したがって,wは狭義の円全体を描き,中心は実軸上にある.よって2点3±2r1±2rの中点34r214r2が円の中心となるので,w中心34r214r2および半径4r|14r2|の円全体を描く.

2017 東京大

2017 東京大 理系 第3問

 複素数平面上の原点以外の点zに対して,w=1zとする.
(1) α0でない複素数とし,点αと原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする.点zが直線L上を動くとき,点wの軌跡は円から1点を除いたものになる.この円の中心と半径を求めよ.
(2) 1の3乗根のうち,虚部が正であるものをβとする.点βと点β2を結ぶ線分上を点zが動くときの点wの軌跡を求め,複素数平面上に図示せよ.

解答
  1. 平面に無限遠点を追加して考える.点α/2Lは点2/αに移り,点α(1+i)/2Lは点(1i)/αに移る.また,点は点0に移る.wが描く円の中心をγとする.γ|γ|=|γ2/α|=|γ(1i)/α|を満たす.これを計算すると
    γγ¯=(γ2α)(γ¯2α¯)=(γ1iα)(γ¯1+iα¯)γ=1α.
    以上のことから,wの軌跡は中心1α,半径|2α1α|=1|α|となる円から原点を除いたものになる.
  2. x3=1を解いてβ=1+3i2β2=13i2を得る.zが動く範囲をとすると,は直線の一部ゆえwの軌跡は広義の円の一部になる.点β1/β=β2に移り,点β2は点1/β2=βに移る.また,点1/2は点2に移る.これら3点は同一直線上にないので,点wの軌跡は3点β, β2, 2を通る円弧となる(図示は省略).
補足

 (1)に関しては,z=1/wとしてL:|z|=|zα|に代入した方が早いですね.絶対に

参考文献

投稿日:2024227
更新日:2024317
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