被積分関数に微分する変数を含む微分積分学の基本定理
被積分関数に微分する変数を含む微分積分学の基本定理
動機
高校数学では,微分積分学の基本定理を用いることで導関数を求められる問題がある.例えば,
・例題1:次の導関数を求めよ.
$$
\int_a^x e^{t^2}\cos3t \mathrm dt
$$
・例題1解答:
微分積分学の基本定理より,
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^x e^{t^2}\cos3t \mathrm dt
=e^{x^2}\cos3x.
$$
高校範囲では解けない積分を,計算せずとも導関数を求められた.
では,次のような問題を見たことはないだろうか.
・例題2:次の導関数を求めよ.
$$
\int_0^x (x-t)^2e^{t} \mathrm dt
$$
・例題2解答:
$$
\int_0^x (x-t)^2e^{t} \mathrm dt
=\int_0^x (x^2-2xt+t^2)e^{t} \mathrm dt
=x^2\int_0^x e^{t} \mathrm dt-2x\int_0^x te^{t} \mathrm dt+\int_0^x t^2e^{t} \mathrm dt
$$
微分積分学の基本定理より,
$$\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_0^x (x-t)^2e^{t} \mathrm dt
&=2x\int_0^x e^{t} \mathrm dt+x^2e^x-2\int_0^x te^{t} \mathrm dt-2x^2e^x+x^2e^x\\
&=2x\int_0^x e^{t} \mathrm dt-2\int_0^x te^{t} \mathrm dt\\
&=2x(e^x-1)-2(xe^x-e^x+1)\\
&=2(e^x-x-1).
\end{align}$$
と,被積分関数に微分する文字が入っていると大変煩雑になる.
そこで,筆者は高校生の頃,次のことを考えた.
被積分関数に微分する変数を含む微分積分学の基本定理
$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^xf(x,t)\mathrm dt =\int_a^x\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\mathrm dt +f(x,x) $$
$$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^xf(x,t)\mathrm dt &=\lim_{h\to 0}\frac1h\left[\int_a^{x+h}f(x+h,t)\mathrm dt-\int_a^xf(x,t)\mathrm dt\right]\\ &=\lim_{h\to 0}\frac1h\left[\int_a^{x+h}f(x+h,t)\mathrm dt-\int_a^{x+h}f(x,t)\mathrm dt+\int_a^{x+h}f(x,t)\mathrm dt-\int_a^xf(x,t)\mathrm dt\right]\\ &=\lim_{h\to 0}\int_a^{x+h}\frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}\mathrm dt+\lim_{h\to 0}\frac1h\int_x^{x+h}f(x,t)\mathrm dt\\ &=\int_a^x\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\mathrm dt +f(x,x).\\ &\left(\because微分積分学の基本定理\mathrm{or}平均値の定理より,\lim_{h\to 0}\frac1h\int_x^{x+h}f(x,t)\mathrm dt=f(x,x)\right) \end{align}$$
これを用いて例題2を解いてみると,
・例題2,別解:
$$\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_0^x (x-t)^2e^{t} \mathrm dt
&=\int_0^x \frac{\partial}{\partial x}(x-t)^2e^{t} \mathrm dt+(x-x)^2e^x\\
&=\int_0^x 2(x-t)e^{t} \mathrm dt\\
&=[2(x-t+1)e^t]_{t=0}^x\\
&=2(e^x-x-1).
\end{align}$$
と,かなり簡単に計算が出来た.
大学生向けの証明
昔思いついた合成関数の微分を用いた証明も載せておく.
任意の$x$の関数$y$に対し,
$$\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^xf(y,t)\mathrm dt
&=\frac{\partial}{\partial x}\int_a^xf(y,t)\mathrm dt+\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\frac{\partial}{\partial y}\int_a^xf(y,t)\mathrm dt\\
&=f(y,x)+\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\int_a^x\frac{\partial f(y,t)}{\partial y}\mathrm dt.\\
&\left(\because微分積分学の基本定理より,\frac{\partial}{\partial x}\int_a^xf(y,t)\mathrm dt=f(y,x)\right)
\end{align}$$
$y=x$として,
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^xf(x,t)\mathrm dt
=\int_a^x\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\mathrm dt +f(x,x)
$$
を得る.
使用例1:畳込みの微分
関数$f(t)$と$g(t)$の畳込み$(f*g)(t)$を次で定義する.
$$ (f*g)(t):=\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau $$
これを微分すると,先の公式より,
$$\begin{align} \frac{\mathrm d(f*g)(t)}{\mathrm dt} &=\int_0^t\frac{\partial f(\tau)g(t-\tau)}{\partial t}\mathrm d\tau +f(t)g(t-t)\\ &=\int_0^tf(\tau)g'(t-\tau)\mathrm d\tau +f(t)g(0)\\ &=(f*g')(t)+f(t)g(0). \end{align}$$
を得る.
ついでに,畳み込みの対称性
$$\begin{align}
(f*g)(t)
&=\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau\\
&=\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\mathrm d\tau \ (\tau \longmapsto t-\tau)\\
&=(g*f)(t)\\
\end{align}$$
に従うことも示す.
$$\begin{align}
(f*g')(t)
&=\int_0^tf(\tau)g'(t-\tau)\mathrm d\tau\\
&=[-f(\tau)g(t-\tau)]_{\tau=0}^t+\int_0^tf'(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau\\
&=-f(t)g(0)+f(0)g(t)+(f'*g)(t)\\
\end{align}$$
より,
$$\begin{align} (f*g')(t)+f(t)g(0)=(f'*g)(t)+f(0)g(t)=(g*f')(t)+g(t)f(0) \end{align}$$
だから,畳込みの微分も同様に,$f,g$に関して対称である.
使用例2:Riemann–Liouville分数階積分
$f(x)$の$\alpha$階積分を次で定義する.
$$ _a\mathrm{I}_x^\alpha f(x):=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x(x-t)^{\alpha-1}f(t)\mathrm dt \ (\alpha > 0) $$
これを$x$で微分すると$_a\mathrm{I}_x^{\alpha-1} f(x)$となることを示す.
$\alpha > 1$として,
$$\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{}_a\mathrm{I}_x^\alpha f(x)
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\left[\int_a^x\frac{\partial (x-t)^{\alpha-1}f(t)}{\partial x}\mathrm dt + (x-x)^{\alpha-1}f(x)\right]\\
&=\frac{\alpha-1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x(x-t)^{\alpha-2}f(t)\mathrm dt\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha-1)}\int_a^x(x-t)^{(\alpha-1)-1}f(t)\mathrm dt\\
&={}_a\mathrm{I}_x^{\alpha-1} f(x).
\end{align}$$
これを利用すると,次の公式を示せる.
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{}_a\mathrm{I}_x^\alpha f(x) ={}_a\mathrm{I}_x^\alpha f'(x)+\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(x-a)^{\alpha-1}f(a) $$
$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{}_a\mathrm{I}_x^\alpha f(x) &=\frac{1}{\Gamma(\alpha-1)}\left[\left.-\frac{1}{\alpha-1}(x-t)^{\alpha-1}f(t)\right|_{t=a}^{x}+\frac{1}{\alpha-1}\int_a^x(x-t)^{\alpha-1}f'(t)\mathrm dt\right]\\ &={}_a\mathrm{I}_x^\alpha f'(x)+\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(x-a)^{\alpha-1}f(a). \end{align}$$