e^x の等比級数によるベルヌーイの公式の導出

ベルヌーイ数

ベルヌーイ数$B_k$ は以下のような定義です。
$$\begin{array}{rcl}\frac{x}{e^x-1}& =& \sum _{k=0}\frac{B_k}{k!}{x}^k\\ & =& 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2\cdot 6}-\frac{x^4}{24\cdot 30}+\frac{x^6}{720\cdot 42}-..\end{array}$$

これは、冪乗和の公式で現れる数列です。添字が$0$から$n-1$までの和の公式ではこれでいいですが、$0$から$n$までの和の場合、$B_1$だけ符号を逆にします。文献によってはこれをシン・ベルヌーイ数と呼ぶときもあります。区別のため後者を${\hat{B}}_k$とすると

$$\begin{array}{rcl}\frac{x}{e^x-1}+x=\frac{x{e}^x}{e^x-1}& =& \sum _{k=0}\frac{{\hat{B}}_k}{k!}{x}^k\\ & =& 1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2\cdot 6}-\frac{x^4}{24\cdot 30}+\frac{x^6}{720\cdot 42}-..\end{array}$$

$e^x$の等比級数

等比$e^x$の等比級数を考え、それをテイラー展開します。
$$\begin{array}{rcl}{e}^x\frac{1-e^{nx}}{1-e^x}& =& e^x+e^{2x}+e^{3x}+..+e^{nx}\\ & =& \left(\begin{array}{}& 1+x+x^2/2!+x^3/3!+..\\ +& 1+2x+2^2{x}^2/2!+2^3{x}^3/3!+..\\ +& 1+3x+3^2{x}^2/2!+3^3{x}^3/3!+..\\ +& ..\\ +& 1+nx+n^2{x}^2/2!+n^3{x}^3/3!+..\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{}& 1+1+1+..+1\\ +& (1+2+3+..+n)x\\ +& (1+2^2+3^2+..+n^2)x^2/2!\\ +& ..\end{array}\right)\\ \text{(1)}& & =& S_0+S_{1}x+S_2{x}^2/2!+S_3{x}^3/3!+..\end{array}$$
一方で
$$\begin{array}{rcl}{e}^x\frac{1-e^{nx}}{1-e^x}& =& \frac{x{e}^x}{e^x-1}\frac{e^{nx}-1}{x}\\ & =& (B_0+{\hat{B}}_{1}x+\frac{B_2{x}^2}{2!}+\frac{B_3{x}^3}{3!}+..)(n+\frac{n^{2}x}{2!}+\frac{n^3{x}^2}{3!}+..)\end{array}$$

この積を考えるため、以下のような表を作ります。ちなみにこのような積をコーシー積と呼び、表作り斜め法により計算できます。

$$\begin{array}{cccccc}& B_0& {\hat{B}}_1& B_2/2!& B_3/3!& B_4/4!\\ n& n{B}_0& n{\hat{B}}_1& n{B}_2/2!& n{B}_3/3!& n{B}_4/4!& \\ n^2/2!& n^2{B}_0/2!& n^2{\hat{B}}_1/2!& n^2{B}_2/(2!\cdot 2!)& n^2{B}_3/(2!\cdot 3!)& n^2{B}_4/(2!\cdot 4!)\\ n^3/3!& n^3{B}_0/3!& n^3{\hat{B}}_1/3!& n^3{B}_2/(3!\cdot 2!)& n^3{B}_3/(3!\cdot 3!)& n^3{B}_4/(3!\cdot 4!)\\ n^4/4!& n^4{B}_0/4!& n^4{\hat{B}}_1/4!& n^4{B}_2/(4!\cdot 2!)& n^4{B}_3/(4!\cdot 3!)& n^4{B}_4/(4!\cdot 4!)\\ n^5/5!& n^5{B}_0/5!& n^5{\hat{B}}_1/5!& n^5{B}_2/(5!\cdot 2!)& n^5{B}_3/(5!\cdot 3!)& n^5{B}_4/(5!\cdot 4!)\end{array}$$

この表の斜めのラインが次数が同じ項です。

$\text{(1)}$ と係数を比較し$k$行目に$(k+1)!$ をかけると

$$\begin{array}{rcl}{S}_0& =& n{B}_0\\ 2S_1& =& n^2{B}_0& +& n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})}{\hat{B}}_1\\ 3S_2& =& n^3{B}_0& +& n^2{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})}{\hat{B}}_1& +& n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})}{B}_2\\ 4S_3& =& n^4{B}_0& +& n^3{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})}{\hat{B}}_1& +& n^2{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})}{B}_2& +& n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})}{B}_3\\ 5S_4& =& n^5{B}_0& +& n^4{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})}{\hat{B}}_1& +& n^3{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})}{B}_2& +& n^2{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})}{B}_3& +& n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})}{B}_4\end{array}$$
よって
$$\sum _{k=1}^n{k}^m=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})}{\hat{B}}_k{n}^{m-k+1}$$
ベルヌーイの公式ができました。

ゼータ関数の負整数の値

先ほどの導出で$e^{nx}$の項を無くしてみます。または$x<0$の条件で$n\to \mathrm{\infty }$の極限を考えます。すると
$$\begin{array}{rcl}\frac{e^x}{1-e^x}& =& e^x+e^{2x}+e^{3x}+..\\ & =& \left(\begin{array}{}& 1+x+x^2/2!+x^3/3!+..\\ +& 1+2x+2^2{x}^2/2!+2^3{x}^3/3!+..\\ +& 1+3x+3^2{x}^2/2!+3^3{x}^3/3!+..\\ +& ..\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{}& 1+1+1+..\\ +& (1+2+3+..)x\\ +& (1+2^2+3^2+..)x^2/2!\\ +& ..\end{array}\right)\\ \text{(2)}& & =& \zeta (0)+\zeta (-1)x+\zeta (-2)x^2/2!+\zeta (-3)x^3/3!+..\end{array}$$
最後の変形は、ギリアウトかもしれません。
一方で
$$\begin{array}{rcl}\frac{e^x}{1-e^x}& =& -\frac{x{e}^x}{e^x-1}\frac{1}{x}\\ \text{(3)}& & =& -\frac{B_0}{x}-{\hat{B}}_1-\frac{B_{2}x}{2!}-\frac{B_3{x}^2}{3!}-\frac{B_4{x}^3}{4!}-.. \end{array}$$
$\text{(2)}$ と係数を比較すると

$$\begin{array}{rcl}\zeta (0)& =& B_1\\ \zeta (-1)& =& -B_2/2\\ \zeta (-2)& =& 0\\ \zeta (-3)& =& -B_4/4\\ & \dots & \end{array}$$
よって
$$\begin{array}{rcl}\zeta (0)& =& -1/2\\ \zeta (-n)& =& -\frac{B_n}{n+1}\end{array}$$
ベルヌーイ数の奇数番はゼロになるので、これはwikiに乗ってる下の公式と同じです。
$$\zeta (-n)=\frac{(-1{)}^n{B}_n}{n+1}$$

何かがおかしい

おわかりでしょうか。実は$\text{(3)}$には$1/x$の項があるのに、$\text{(2)}$には$1/x$の項がありません。もう一度おさらいすると
$$\begin{array}{rcl}{e}^x\frac{1-e^{nx}}{1-e^x}& =& e^x+e^{2x}+e^{3x}+..+e^{nx}\\ & =& \frac{e^x}{e^x-1}(e^{nx}-1)\\ & =& (\frac{B_0}{x}+{\hat{B}}_1+\frac{B_{2}x}{2!}+\frac{B_3{x}^2}{3!}+\frac{B_4{x}^3}{4!}+..)(nx+\frac{(nx{)}^2}{2!}+\frac{(nx{)}^3}{3!}+\frac{(nx{)}^4}{4!}+..)\end{array}$$
どうも以下のこの項
$$\begin{array}{rcl}{e}^{nx}-1& =& (nx+\frac{(nx{)}^2}{2!}+\frac{(nx{)}^3}{3!}+\frac{(nx{)}^4}{4!}+..)\end{array}$$
が$n\to \mathrm{\infty }$ で$-1$になるのが、きついようです。

別アプローチ

別の角度から求めているものに近づく方法を考えます。
$$\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+..$$
これが$r\to 1$で$\zeta (0)$（に関係のあるもの）になるはずです。さらに、これに$r$をかけて微分を繰り返せば、同じように
$$\begin{array}{rcl}\frac{1+r}{(1-r{)}^2}& =& 1+2r+3r^2+..\\ \frac{1+4r+r^2}{(1-r{)}^3}& =& 1+8r+27r^2+..\\ \frac{1+11r+11r^2+r^3}{(1-r{)}^4}& =& 1+16r+81r^2+..\\ \frac{1+26r+66r^2+26r^3+r^4}{(1-r{)}^5}& =& 1+32r+243r^2+..\\ \frac{1+57r+302r^2+302r^3+57r^4+r^5}{(1-r{)}^6}& =& 1+64r+729r^2+..\\ ..\end{array}$$
が得られます。左の式に現れる係数は Eulerian number といいます。これをさきほどの計算に使えるような式を考えます。
$$\begin{array}{rcl}\frac{e^x}{1-r{e}^x}& =& e^x+r{e}^{2x}+r^2{e}^{3x}+..\\ & =& \left(\begin{array}{}& 1+x+x^2/2!+x^3/3!+..\\ +& r(1+2x+2^2{x}^2/2!+2^3{x}^3/3!+..)\\ +& r^2(1+3x+3^2{x}^2/2!+3^3{x}^3/3!+..)\\ +& ..\end{array}\right)\\ \text{(4)}& & =& \left(\begin{array}{}& 1+r+r^2+r^3+..\\ +& (1+2r+3r^2+4r^3+..)x\\ +& (1+2^{2}r+3^2{r}^2+4^2{r}^3+..)x^2/2!\\ +& ..\end{array}\right)\end{array}$$
次に左辺を考えます。
$$\frac{e^x}{1-r{e}^x}=\frac{1}{e^{-x}-r}=\frac{1}{1-r-x+x^2/2!-x^3/3!+..}$$
一般に
$$\frac{1}{a+bx+c{x}^2+..}=A+Bx+C{x}^2+..$$
と級数展開したときの$a,b,c,..$と$A,B,C,..$の関係は、表斜め法を使うと
$$\begin{array}{rcl}A& =& \frac{1}{a}\\ B& =& -\frac{b}{a^2}\\ C& =& \frac{b^2}{a^3}-\frac{c}{a^2}\\ D& =& -\frac{b^3}{a^4}+\frac{2bc}{a^3}-\frac{d}{a^2}\\ E& =& \frac{b^4}{a^5}-\frac{3b^{2}c}{a^4}+\frac{c^2+2bd}{a^3}-\frac{e}{a^2}\\ ..\end{array}$$
これに$a=1-r,b=-1,c=1/2!,d=-1/3!,e=1/4!,..$と代入すると
$$\begin{array}{rcl}A& =& \frac{1}{1-r}\\ B& =& \frac{1}{(1-r{)}^2}\\ C& =& \frac{1+r}{2(1-r{)}^3}\\ D& =& \frac{1+4r+r^2}{6(1-r{)}^4}\\ E& =& \frac{1+11r+11r^2+r^3}{24(1-r{)}^5}\\ ..\end{array}$$
よって
$$\frac{e^x}{1-r{e}^x}=\frac{1}{1-r}+\frac{1}{(1-r{)}^2}x+\frac{1+r}{(1-r{)}^3}\frac{x^2}{2}+..$$
$\text{(4)}$と辻褄が合いますね。

同じ問題

この式で$r\to 1$を考えると、左辺は$e^x/(1-e^x)$に近づくのですが、右辺はすべての項が発散してしまいます。そして$e^x/(1-e^x)$は前に述べたとおり$1/x$の項を持っています。

まさか

$1/x$をテイラー展開すれば？？？
$$\frac{1}{x}=\frac{1}{0}-\frac{x}{0^2}+\frac{x^2}{0^3}-\frac{x^3}{0^4}+..$$
より
$$\begin{array}{rcl}\frac{e^x}{1-e^x}& =& -\frac{1}{x}-{\hat{B}}_1-\frac{B_{2}x}{2!}-\frac{B_4{x}^3}{4!}-..\\ & =& (-\frac{1}{0}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{0^2}-\frac{1}{12})x+(-\frac{1}{0^3})x^2+(\frac{1}{0^4}+\frac{1}{720})x^3-..\end{array}$$
$\text{(2)}$と比較して
$$\begin{array}{rcl}1+1+1+..& =& -1/0-1/2\\ 1+2+3+..& =& 1/0^2-1/12\\ 1+2^2+3^2+..& =& -2/0^3\\ 1+2^3+3^3+..& =& 6/0^4+1/120\\ ..\end{array}$$
どうだ！

以上です。ありがとうございました。