e^x の等比級数によるベルヌーイの公式の導出

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ベルヌーイ数

ベルヌーイ数 $B_{k}$ は以下のような定義です。
$\begin{array}{rcl} \frac{x}{e^{x} - 1} & = & \sum_{k = 0} \frac{B_{k}}{k!} x^{k} \\ = & 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 6} - \frac{x^{4}}{24 \cdot 30} + \frac{x^{6}}{720 \cdot 42} - . . \end{array}$

これは、冪乗和の公式で現れる数列です。添字が $0$ から $n - 1$ までの和の公式ではこれでいいですが、 $0$ から $n$ までの和の場合、 $B_{1}$ だけ符号を逆にします。文献によってはこれを~~シン・~~ベルヌーイ数と呼ぶときもあります。区別のため後者を ${\hat{B}}_{k}$ とすると

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{e^{x} - 1} + x = \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} & = & \sum_{k = 0} \frac{{\hat{B}}_{k}}{k!} x^{k} \\ = & 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 6} - \frac{x^{4}}{24 \cdot 30} + \frac{x^{6}}{720 \cdot 42} - . . \end{array}$

$e^{x}$ の等比級数

等比 $e^{x}$ の等比級数を考え、それをテイラー展開します。
$\begin{array}{rcl} e^{x} \frac{1 - e^{n x}}{1 - e^{x}} & = & e^{x} + e^{2 x} + e^{3 x} + . . + e^{n x} \\ = & (\begin{matrix} 1 + x + x^{2} / 2! + x^{3} / 3! + . . \\ + & 1 + 2 x + 2^{2} x^{2} / 2! + 2^{3} x^{3} / 3! + . . \\ + & 1 + 3 x + 3^{2} x^{2} / 2! + 3^{3} x^{3} / 3! + . . \\ + & . . \\ + & 1 + n x + n^{2} x^{2} / 2! + n^{3} x^{3} / 3! + . . \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 1 + 1 + 1 + . . + 1 \\ + & (1 + 2 + 3 + . . + n) x \\ + & (1 + 2^{2} + 3^{2} + . . + n^{2}) x^{2} / 2! \\ + & . . \end{matrix}) \\ (1) & = & S_{0} + S_{1} x + S_{2} x^{2} / 2! + S_{3} x^{3} / 3! + . . \end{array}$
一方で
$\begin{array}{rcl} e^{x} \frac{1 - e^{n x}}{1 - e^{x}} & = & \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} \frac{e^{n x} - 1}{x} \\ = & (B_{0} + {\hat{B}}_{1} x + \frac{B_{2} x^{2}}{2!} + \frac{B_{3} x^{3}}{3!} + . .) (n + \frac{n^{2} x}{2!} + \frac{n^{3} x^{2}}{3!} + . .) \end{array}$

この積を考えるため、以下のような表を作ります。ちなみにこのような積をコーシー積と呼び、表作り斜め法により計算できます。

$\begin{array}{ccccccc} B_{0} & {\hat{B}}_{1} & B_{2} / 2! & B_{3} / 3! & B_{4} / 4! \\ n & n B_{0} & n {\hat{B}}_{1} & n B_{2} / 2! & n B_{3} / 3! & n B_{4} / 4! \\ n^{2} / 2! & n^{2} B_{0} / 2! & n^{2} {\hat{B}}_{1} / 2! & n^{2} B_{2} / (2! \cdot 2!) & n^{2} B_{3} / (2! \cdot 3!) & n^{2} B_{4} / (2! \cdot 4!) \\ n^{3} / 3! & n^{3} B_{0} / 3! & n^{3} {\hat{B}}_{1} / 3! & n^{3} B_{2} / (3! \cdot 2!) & n^{3} B_{3} / (3! \cdot 3!) & n^{3} B_{4} / (3! \cdot 4!) \\ n^{4} / 4! & n^{4} B_{0} / 4! & n^{4} {\hat{B}}_{1} / 4! & n^{4} B_{2} / (4! \cdot 2!) & n^{4} B_{3} / (4! \cdot 3!) & n^{4} B_{4} / (4! \cdot 4!) \\ n^{5} / 5! & n^{5} B_{0} / 5! & n^{5} {\hat{B}}_{1} / 5! & n^{5} B_{2} / (5! \cdot 2!) & n^{5} B_{3} / (5! \cdot 3!) & n^{5} B_{4} / (5! \cdot 4!) \end{array}$

この表の斜めのラインが次数が同じ項です。

$(1)$ と係数を比較し $k$ 行目に $(k + 1)!$ をかけると

$\begin{array}{rclrclrclrc} S_{0} & = & n B_{0} \\ 2 S_{1} & = & n^{2} B_{0} & + & n (\binom{2}{1}) {\hat{B}}_{1} \\ 3 S_{2} & = & n^{3} B_{0} & + & n^{2} (\binom{3}{1}) {\hat{B}}_{1} & + & n (\binom{3}{2}) B_{2} \\ 4 S_{3} & = & n^{4} B_{0} & + & n^{3} (\binom{4}{1}) {\hat{B}}_{1} & + & n^{2} (\binom{4}{2}) B_{2} & + & n (\binom{4}{3}) B_{3} \\ 5 S_{4} & = & n^{5} B_{0} & + & n^{4} (\binom{5}{1}) {\hat{B}}_{1} & + & n^{3} (\binom{5}{2}) B_{2} & + & n^{2} (\binom{5}{3}) B_{3} & + & n (\binom{5}{4}) B_{4} \end{array}$
よって
$\sum_{k = 1}^{n} k^{m} = \frac{1}{m + 1} \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m + 1}{k}) {\hat{B}}_{k} n^{m - k + 1}$
ベルヌーイの公式ができました。

ゼータ関数の負整数の値

先ほどの導出で $e^{n x}$ の項を無くしてみます。または $x < 0$ の条件で $n \to \infty$ の極限を考えます。すると
$\begin{array}{rcl} \frac{e^{x}}{1 - e^{x}} & = & e^{x} + e^{2 x} + e^{3 x} + . . \\ = & (\begin{matrix} 1 + x + x^{2} / 2! + x^{3} / 3! + . . \\ + & 1 + 2 x + 2^{2} x^{2} / 2! + 2^{3} x^{3} / 3! + . . \\ + & 1 + 3 x + 3^{2} x^{2} / 2! + 3^{3} x^{3} / 3! + . . \\ + & . . \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 1 + 1 + 1 + . . \\ + & (1 + 2 + 3 + . .) x \\ + & (1 + 2^{2} + 3^{2} + . .) x^{2} / 2! \\ + & . . \end{matrix}) \\ (2) & = & ζ (0) + ζ (- 1) x + ζ (- 2) x^{2} / 2! + ζ (- 3) x^{3} / 3! + . . \end{array}$
最後の変形は、ギリアウトかもしれません。
一方で
$\begin{array}{rcl} \frac{e^{x}}{1 - e^{x}} & = & - \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} \frac{1}{x} \\ (3) & = & - \frac{B_{0}}{x} - {\hat{B}}_{1} - \frac{B_{2} x}{2!} - \frac{B_{3} x^{2}}{3!} - \frac{B_{4} x^{3}}{4!} - . . \end{array}$
$(2)$ と係数を比較すると

$\begin{array}{rcl} ζ (0) & = & B_{1} \\ ζ (- 1) & = & - B_{2} / 2 \\ ζ (- 2) & = & 0 \\ ζ (- 3) & = & - B_{4} / 4 \\ \dots \end{array}$
よって
$\begin{array}{rcl} ζ (0) & = & - 1 / 2 \\ ζ (- n) & = & - \frac{B_{n}}{n + 1} \end{array}$
ベルヌーイ数の奇数番はゼロになるので、これはwikiに乗ってる下の公式と同じです。
$ζ (- n) = \frac{(- 1)^{n} B_{n}}{n + 1}$

何かがおかしい

おわかりでしょうか。実は $(3)$ には $1 / x$ の項があるのに、 $(2)$ には $1 / x$ の項がありません。もう一度おさらいすると
$\begin{array}{rcl} e^{x} \frac{1 - e^{n x}}{1 - e^{x}} & = & e^{x} + e^{2 x} + e^{3 x} + . . + e^{n x} \\ = & \frac{e^{x}}{e^{x} - 1} (e^{n x} - 1) \\ = & (\frac{B_{0}}{x} + {\hat{B}}_{1} + \frac{B_{2} x}{2!} + \frac{B_{3} x^{2}}{3!} + \frac{B_{4} x^{3}}{4!} + . .) (n x + \frac{(n x)^{2}}{2!} + \frac{(n x)^{3}}{3!} + \frac{(n x)^{4}}{4!} + . .) \end{array}$
どうも以下のこの項
$\begin{array}{rcl} e^{n x} - 1 & = & (n x + \frac{(n x)^{2}}{2!} + \frac{(n x)^{3}}{3!} + \frac{(n x)^{4}}{4!} + . .) \end{array}$
が $n \to \infty$ で $- 1$ になるのが、きついようです。

別アプローチ

別の角度から求めているものに近づく方法を考えます。
$\frac{1}{1 - r} = 1 + r + r^{2} + . .$
これが $r \to 1$ で $ζ (0)$ （に関係のあるもの）になるはずです。さらに、これに $r$ をかけて微分を繰り返せば、同じように
$\begin{array}{rcl} \frac{1 + r}{(1 - r)^{2}} & = & 1 + 2 r + 3 r^{2} + . . \\ \frac{1 + 4 r + r^{2}}{(1 - r)^{3}} & = & 1 + 8 r + 27 r^{2} + . . \\ \frac{1 + 11 r + 11 r^{2} + r^{3}}{(1 - r)^{4}} & = & 1 + 16 r + 81 r^{2} + . . \\ \frac{1 + 26 r + 66 r^{2} + 26 r^{3} + r^{4}}{(1 - r)^{5}} & = & 1 + 32 r + 243 r^{2} + . . \\ \frac{1 + 57 r + 302 r^{2} + 302 r^{3} + 57 r^{4} + r^{5}}{(1 - r)^{6}} & = & 1 + 64 r + 729 r^{2} + . . \\ . . \end{array}$
が得られます。左の式に現れる係数は Eulerian number といいます。これをさきほどの計算に使えるような式を考えます。
$\begin{array}{rcl} \frac{e^{x}}{1 - r e^{x}} & = & e^{x} + r e^{2 x} + r^{2} e^{3 x} + . . \\ = & (\begin{matrix} 1 + x + x^{2} / 2! + x^{3} / 3! + . . \\ + & r (1 + 2 x + 2^{2} x^{2} / 2! + 2^{3} x^{3} / 3! + . .) \\ + & r^{2} (1 + 3 x + 3^{2} x^{2} / 2! + 3^{3} x^{3} / 3! + . .) \\ + & . . \end{matrix}) \\ (4) & = & (\begin{matrix} 1 + r + r^{2} + r^{3} + . . \\ + & (1 + 2 r + 3 r^{2} + 4 r^{3} + . .) x \\ + & (1 + 2^{2} r + 3^{2} r^{2} + 4^{2} r^{3} + . .) x^{2} / 2! \\ + & . . \end{matrix}) \end{array}$
次に左辺を考えます。
$\frac{e^{x}}{1 - r e^{x}} = \frac{1}{e^{- x} - r} = \frac{1}{1 - r - x + x^{2} / 2! - x^{3} / 3! + . .}$
一般に
$\frac{1}{a + b x + c x^{2} + . .} = A + B x + C x^{2} + . .$
と級数展開したときの $a, b, c, . .$ と $A, B, C, . .$ の関係は、表斜め法を使うと
$\begin{array}{rcl} A & = & \frac{1}{a} \\ B & = & - \frac{b}{a^{2}} \\ C & = & \frac{b^{2}}{a^{3}} - \frac{c}{a^{2}} \\ D & = & - \frac{b^{3}}{a^{4}} + \frac{2 b c}{a^{3}} - \frac{d}{a^{2}} \\ E & = & \frac{b^{4}}{a^{5}} - \frac{3 b^{2} c}{a^{4}} + \frac{c^{2} + 2 b d}{a^{3}} - \frac{e}{a^{2}} \\ . . \end{array}$
これに $a = 1 - r, b = - 1, c = 1 / 2!, d = - 1 / 3!, e = 1 / 4!, . .$ と代入すると
$\begin{array}{rcl} A & = & \frac{1}{1 - r} \\ B & = & \frac{1}{(1 - r)^{2}} \\ C & = & \frac{1 + r}{2 (1 - r)^{3}} \\ D & = & \frac{1 + 4 r + r^{2}}{6 (1 - r)^{4}} \\ E & = & \frac{1 + 11 r + 11 r^{2} + r^{3}}{24 (1 - r)^{5}} \\ . . \end{array}$
よって
$\frac{e^{x}}{1 - r e^{x}} = \frac{1}{1 - r} + \frac{1}{(1 - r)^{2}} x + \frac{1 + r}{(1 - r)^{3}} \frac{x^{2}}{2} + . .$
$(4)$ と辻褄が合いますね。

同じ問題

この式で $r \to 1$ を考えると、左辺は $e^{x} / (1 - e^{x})$ に近づくのですが、右辺はすべての項が発散してしまいます。そして $e^{x} / (1 - e^{x})$ は前に述べたとおり $1 / x$ の項を持っています。

まさか

$1 / x$ をテイラー展開すれば？？？
$\frac{1}{x} = \frac{1}{0} - \frac{x}{0^{2}} + \frac{x^{2}}{0^{3}} - \frac{x^{3}}{0^{4}} + . .$
より
$\begin{array}{rcl} \frac{e^{x}}{1 - e^{x}} & = & - \frac{1}{x} - {\hat{B}}_{1} - \frac{B_{2} x}{2!} - \frac{B_{4} x^{3}}{4!} - . . \\ = & (- \frac{1}{0} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{0^{2}} - \frac{1}{12}) x + (- \frac{1}{0^{3}}) x^{2} + (\frac{1}{0^{4}} + \frac{1}{720}) x^{3} - . . \end{array}$
$(2)$ と比較して
$\begin{array}{rcl} 1 + 1 + 1 + . . & = & - 1 / 0 - 1 / 2 \\ 1 + 2 + 3 + . . & = & 1 / 0^{2} - 1 / 12 \\ 1 + 2^{2} + 3^{2} + . . & = & - 2 / 0^{3} \\ 1 + 2^{3} + 3^{3} + . . & = & 6 / 0^{4} + 1 / 120 \\ . . \end{array}$
どうだ！