e^x の等比級数によるベルヌーイの公式の導出

ベルヌーイ数

ベルヌーイ数$B_k$ は以下のような定義です。
\begin{eqnarray} \frac{x}{e^x-1} &=& \sum_{k=0} \frac{B_k}{k!} x^k \\ &=& 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2 \cdot 6} - \frac{x^4}{24 \cdot 30} + \frac{x^6}{720 \cdot 42}-~.. \end{eqnarray}

これは、冪乗和の公式で現れる数列です。添字が$0$から$n-1$までの和の公式ではこれでいいですが、$0$から$n$までの和の場合、$B_1$だけ符号を逆にします。文献によってはこれをシン・ベルヌーイ数と呼ぶときもあります。区別のため後者を$\hat{B}_k$とすると

\begin{eqnarray} \frac{x}{e^x-1} + x = \frac{xe^x}{e^x-1}&=& \sum_{k=0} \frac{\hat{B}_k}{k!} x^k \\ &=& 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2 \cdot 6} - \frac{x^4}{24 \cdot 30} + \frac{x^6}{720 \cdot 42}-~.. \end{eqnarray}

$e^x$の等比級数

等比$e^x$の等比級数を考え、それをテイラー展開します。
\begin{eqnarray} e^x \frac{1-e^{nx}}{1-e^x} &=& e^x + e^{2x} + e^{3x} + ~..~ + e^{n x} \\ &=& \left(\begin{array} &&1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ~..\\ +&1 + 2x + 2^2x^2/2! + 2^3x^3/3! + ~..\\ +&1 + 3x + 3^2x^2/2! + 3^3x^3/3! + ~..\\ +&..\\ +&1 + nx + n^2 x^2/2! + n^3x^3/3! + ~.. \end{array}\right)\\ &=& \left(\begin{array} &&1 + 1 + 1 + ~..~ + 1\\ +&(1 + 2 + 3 + ~..~ + n)x \\ +&(1 + 2^2 + 3^2 + ~..~ + n^2)x^2/2!\\ +&.. \end{array}\right)\\ &=& S_0 + S_1 x + S_2 x^2/2! + S_3 x^3/3! + ~..~ \tag{1} \label{eq1} \end{eqnarray}
一方で
\begin{eqnarray} e^x \frac{1-e^{nx}}{1-e^x} &=& \frac{x e^x}{e^x-1} \frac{e^{nx}-1}{x} \\ &=&　\left(B_0 + \hat{B}_1 x + \frac{B_2 x^2}{2!} + \frac{B_3 x^3}{3!} + ~..\right)\left(n + \frac{n^2 x}{2!} + \frac{n^3 x^2}{3!} + ~.. \right) \end{eqnarray}

この積を考えるため、以下のような表を作ります。ちなみにこのような積をコーシー積と呼び、表作り斜め法により計算できます。

\begin{array}{c|cccccc} & B_0 & \hat{B}_1 & B_2/2! & B_3/3! & B_4/4! \\\hline n & n B_0 & n \hat{B}_1 & n B_2/2! & n B_3/3! & n B_4/4! & \\ n^2/2! & n^2 B_0/2! & n^2 \hat{B}_1/2! & n^2 B_2/(2!\cdot2!) & n^2 B_3/(2!\cdot3!) & n^2 B_4/(2!\cdot 4!) \\ n^3/3! & n^3 B_0/3! & n^3 \hat{B}_1/3! & n^3 B_2/(3!\cdot2!) & n^3 B_3/(3!\cdot3!) & n^3 B_4/(3!\cdot4!) \\ n^4/4! & n^4 B_0/4! & n^4 \hat{B}_1/4! & n^4 B_2/(4!\cdot2!) & n^4 B_3/(4!\cdot3!) & n^4 B_4/(4!\cdot4!) \\ n^5/5! & n^5 B_0/5! & n^5 \hat{B}_1/5! & n^5 B_2/(5!\cdot2!) & n^5 B_3/(5!\cdot3!) & n^5 B_4/(5!\cdot4!) \\ \end{array}

この表の斜めのラインが次数が同じ項です。

\eqref{eq1} と係数を比較し$k$行目に$(k+1)!$ をかけると

\begin{eqnarray} S_0 &=& n B_0 \\ 2 S_1 &=& n^2 B_0 &+& n \dbinom{2}{1} \hat{B}_1 \\ 3 S_2 &=& n^3 B_0 &+& n^2 \dbinom{3}{1} \hat{B}_1 &+& n \dbinom{3}{2} B_2 \\ 4 S_3 &=& n^4 B_0 &+& n^3 \dbinom{4}{1} \hat{B}_1 &+& n^2 \dbinom{4}{2} B_2 &+& n \dbinom{4}{3} B_3\\ 5 S_4 &=& n^5 B_0 &+& n^4 \dbinom{5}{1} \hat{B}_1 &+& n^3 \dbinom{5}{2} B_2 &+& n^2 \dbinom{5}{3} B_3 &+& n \dbinom{5}{4} B_4 \\ \end{eqnarray}
よって
$$ \sum_{k=1}^{n}~k^m = \frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m\dbinom{m+1}{k} \hat{B}_k ~ n^{m-k+1} $$
ベルヌーイの公式ができました。

ゼータ関数の負整数の値

先ほどの導出で$e^{nx}$の項を無くしてみます。または$x<0$の条件で$n\to \infty$の極限を考えます。すると
\begin{eqnarray} \frac{e^x}{1-e^x} &=& e^x + e^{2x} + e^{3x} + ~.. \\ &=& \left(\begin{array} &&1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ~..\\ +&1 + 2x + 2^2x^2/2! + 2^3x^3/3! + ~..\\ +&1 + 3x + 3^2x^2/2! + 3^3x^3/3! + ~..\\ +&..\\ \end{array}\right)\\ &=& \left(\begin{array} &&1 + 1 + 1 + ~..\\ +&(1 + 2 + 3 + ~..)x \\ +&(1 + 2^2 + 3^2 + ~..)x^2/2!\\ +&.. \end{array}\right)\\ &=& \zeta(0) + \zeta(-1) x + \zeta(-2) x^2/2! + \zeta(-3) x^3/3! + ~..~ \tag{2} \label{eq2} \end{eqnarray}
最後の変形は、ギリアウトかもしれません。
一方で
\begin{eqnarray} \frac{e^x}{1-e^x} &=& - \frac{x e^x}{e^{x}-1} \frac{1}{x} \\ &=& -\frac{B_0}{x} - \hat{B}_1 - \frac{B_2 x}{2!} - \frac{B_3 x^2}{3!} - \frac{B_4 x^3}{4!} - ~..　\tag{3} \label{eq3} \end{eqnarray}
\eqref{eq2} と係数を比較すると

\begin{eqnarray} \zeta(0) &=& B_1 \\ \zeta(-1) &=& -B_2/2 \\ \zeta(-2) &=& 0 \\ \zeta(-3) &=& -B_4/4 \\&\dots& \end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray} \zeta(0) &=& -1/2 \\ \zeta(-n) &=& -\frac{B_n}{n+1} \end{eqnarray}
ベルヌーイ数の奇数番はゼロになるので、これはwikiに乗ってる下の公式と同じです。
$$ \zeta(-n) = \frac{(-1)^n B_n}{n+1} $$

何かがおかしい

おわかりでしょうか。実は\eqref{eq3}には$1/x$の項があるのに、\eqref{eq2}には$1/x$の項がありません。もう一度おさらいすると
\begin{eqnarray} e^x \frac{1-e^{nx}}{1-e^x} &=& e^x + e^{2x} + e^{3x} + ~..~ + e^{nx} \\ &=& \frac{e^x}{e^x-1} (e^{nx}-1)\\ &=& \left(\frac{B_0}{x} + \hat{B}_1 + \frac{B_2 x}{2!} + \frac{B_3 x^2}{3!} + \frac{B_4 x^3}{4!} + ~..\right)\left(nx + \frac{(nx)^2}{2!} + \frac{(nx)^3}{3!} + \frac{(nx)^4}{4!} + ~.. \right) \end{eqnarray}
どうも以下のこの項
\begin{eqnarray} e^{nx}-1 &=& \left(nx + \frac{(nx)^2}{2!} + \frac{(nx)^3}{3!} + \frac{(nx)^4}{4!} + ~.. \right) \end{eqnarray}
が$n \to \infty $ で$-1$になるのが、きついようです。

別アプローチ

別の角度から求めているものに近づく方法を考えます。
$$ \frac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + ~.. $$
これが$r \to 1$で$\zeta(0)$（に関係のあるもの）になるはずです。さらに、これに$r$をかけて微分を繰り返せば、同じように
\begin{eqnarray} \frac{1+r}{(1-r)^2} &=& 1+2r+3r^2+~..\\ \frac{1+4r+r^2}{(1-r)^3} &=& 1+8r+27r^2+~..\\ \frac{1+11r+11r^2+r^3}{(1-r)^4} &=& 1+16r+81r^2+~..\\\ \frac{1+26r+66r^2+26r^3+r^4}{(1-r)^5} &=& 1+32r+243r^2+~..\\ \frac{1+57r+302r^2+302r^3+57r^4+r^5}{(1-r)^6} &=& 1+64r+729r^2+~..\\ .. \end{eqnarray}
が得られます。左の式に現れる係数は Eulerian number といいます。これをさきほどの計算に使えるような式を考えます。
\begin{eqnarray} \frac{e^x}{1-r e^x} &=& e^x + r e^{2x} + r^2 e^{3x}+~.. \\ &=& \left(\begin{array} &&1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ~..\\ +&r ( 1 + 2x + 2^2x^2/2! + 2^3x^3/3! + ~..) \\ +&r^2 ( 1 + 3x + 3^2x^2/2! + 3^3x^3/3! + ~..)\\ +&.. \end{array}\right)\\ &=& \left(\begin{array} &&1 + r + r^2 + r^3 + ~..\\ +&(1 + 2r + 3r^2 + 4r^3 + ~..)x \\ +&(1 + 2^2 r + 3^2 r^2 + 4^2 r^3+ ~..)x^2/2!\\ +&.. \tag{4} \label{eq4} \end{array}\right)\\ \end{eqnarray}
次に左辺を考えます。
$$ \frac{e^x}{1-r e^x} = \frac{1}{e^{-x}-r} = \frac{1}{1-r-x+x^2/2!-x^3/3!+~..} $$
一般に
$$ \frac{1}{a+b x + cx^2+..} = A + B x + C x^2 + .. $$
と級数展開したときの$a,b,c,..$と$A,B,C,..$の関係は、表斜め法を使うと
\begin{eqnarray} A &=& \frac{1}{a} \\ B &=& -\frac{b}{a^2} \\ C &=& \frac{b^2}{a^3}-\frac{c}{a^2} \\ D &=& -\frac{b^3}{a^4}+\frac{2 bc}{a^3} - \frac{d}{a^2} \\ E &=& \frac{b^4}{a^5}-\frac{3 b^2c}{a^4} + \frac{c^2+2bd}{a^3} - \frac{e}{a^2} \\ .. \end{eqnarray}
これに$a=1-r,b=-1,c=1/2!,d=-1/3!,e=1/4!,..$と代入すると
\begin{eqnarray} A &=& \frac{1}{1-r} \\ B &=& \frac{1}{(1-r)^2} \\ C &=& \frac{1+r}{2(1-r)^3} \\ D &=& \frac{1+4r+r^2}{6(1-r)^4} \\ E &=& \frac{1+11r+11r^2+r^3}{24(1-r)^5} \\ .. \end{eqnarray}
よって
$$ \frac{e^x}{1-r e^x} = \frac{1}{1-r} + \frac{1}{(1-r)^2} x + \frac{1+r}{(1-r)^3} \frac{x^2}{2} + ~.. $$
\eqref{eq4}と辻褄が合いますね。

同じ問題

この式で$r\to1 $を考えると、左辺は$e^x/(1-e^x)$に近づくのですが、右辺はすべての項が発散してしまいます。そして$e^x/(1-e^x)$は前に述べたとおり$1/x$の項を持っています。

まさか

$1/x$をテイラー展開すれば？？？
$$ \frac{1}{x} = \frac{1}{0} - \frac{x}{0^2} + \frac{x^2}{0^3} - \frac{x^3}{0^4} + ~.. $$
より
\begin{eqnarray} \frac{e^x}{1-e^x} &=& -\frac{1}{x} - \hat{B}_1 - \frac{B_2 x}{2!} - \frac{B_4 x^3}{4!} - ~.. \\ &=& \left(-\frac{1}{0} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{0^2} -\frac{1}{12}\right)x +\left(-\frac{1}{0^3}\right)x^2 + \left(\frac{1}{0^4}+\frac{1}{720} \right)x^3- ~.. \\ \end{eqnarray}
\eqref{eq2}と比較して
\begin{eqnarray} 1+1+1+~.. &=& -1/0 -1/2 \\ 1+2+3+~..&=& 1/0^2 -1/12 \\ 1+2^2+3^2+~..&=& -2/0^3 \\ 1+2^3+3^3+~..&=& 6/0^4 + 1/120 \\ .. \end{eqnarray}
どうだ！

以上です。ありがとうございました。