指数部分を振動させたゼータ関数の検証
前置き
Mathlog初投稿です。
この記事の執筆時点で当方高校1年生ですので、至らない点など多々あると思います。
そのような点について指摘をいただけると、とてもありがたいです。
経緯
ディリクレのη関数を知って、ゼータ関数の各項全体ではなく指数sの部分に$(-1)^n$をかけたらどうなるのかと思ったので、Pythonを使って調べてみました。
前提
まず、以下の関数を考えました。
$$ f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} n^{(-1)^n x} $$
この関数は、$x \in \mathbb{R}$で発散すると考えました。
証明）
$x\in \mathbb{R}$とする。
右辺の級数の一般項を$a_n$とし、数列$(a_n)$を考える。
$(a_n)$の部分列$(a_{2n-1})$の一般項を考えると、
$$
a_{2n-1}=(2n-1)^{(-1)^{2n-1} x}=(2n-1)^{-x}
$$
であり、
$x<0$の時、
$$
\lim_{n \to \infty} (2n-1)^{-x} = \infty
$$
部分列が発散することから元の数列$(a_n)$は$x < 0$の時に収束しない。特に、$0$に収束しない。
よって、 $f(x)$は$x < 0$の時に発散する。
次に、$(a_n)$の部分列$(a_{2n})$の一般項を考えると、
$$
a_{2n}=(2n)^{(-1)^{2n} x}=(2n)^x
$$
であり、
$0< x$の時、
$$
\lim_{n \to \infty} (2n)^x = \infty
$$
部分列が発散することから元の数列$(a_n)$は$0 < x$の時に収束しない。特に、$0$に収束しない。
よって、$f(x)$は$0 < x$の時に発散する。
最後に、$x=0$の場合を考える。
$x=0$の時、$a_n$の一般項を考えると
$$
a_n = n^{(-1)^nx}=n^0=1
$$
であり、
$$
\lim_{n \to \infty} a_n =1
$$
となり、1に収束する。したがって、$(a_n)$は$0$に収束しない。
よって、$f(x)$は$x = 0$の時に発散する。
以上より、$x< 0,x=0,0< x$のそれぞれの時、すなわち、$x$が任意の実数の時に$f(x)$が発散することが示された。
本題
$$ h(z)= \sum_{n=1}^{\infty} n^{(-1)^n z-n} $$
先ほどの関数を収束させるための補正を考えて実験していたところ、この関数が生まれました。
実験
def h(z,term=120):
total_sum = 0
for n in range(1,term+1):
total_sum += n**((-1)**(n)*z-n)
return total_sum
for i in range(-2,3):
print(f"h({i}) : {h(i)}")
for i in range(-2,3):
print(f"h({i*1j}) : {h(i*1j)}")
h(-2) : 1.4041377787829181
h(-1) : 1.2386997764457082
h(0) : 1.2912859970626636
h(1) : 1.5281639314275381
h(2) : 2.067403480801982
h((-0-2j)) : (1.0201684494596257-0.21717749605254089j)
h((-0-1j)) : (1.2098544641555267-0.13029600775227493j)
h(0j) : (1.2912859970626636+0j)
h(1j) : (1.2098544641555267+0.13029600775227493j)
h(2j) : (1.0201684494596257+0.21717749605254089j)
様々な$z$で複数のtermを使って試したりしましたが、発散しているようには見えませんでした。
そこで、以下の予想を立てました。
$$
h(z)= \sum_{n=1}^{\infty} n^{(-1)^n z-n}
$$
としたとき、$h(z)$は任意の$z \in \mathbb{C}$で収束する
おまけ
ドメインカラーリングというものを試してみました。
def h(z,term=120):
total_sum = 0
for n in range(1,term+1):
total_sum += n**((-1)**(n)*z-n)
return total_sum
import mpmath
mpmath.cplot(h, re=[-15, 15], im=[-15, 15], points=10000, verbose=False, color=None)
おまけ
