級数を解く
級数を解く
どうも、らららです。
(今回の記事ほとんどメモ用みたいな感じです、なので雑です)
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{(2n+1)^{2}\ 2^{2n}}=\frac{\pi}{2}\log2$$
\begin{align} f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} \\f’(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2n+1}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} \\&=\frac{\arcsin x}{x} \end{align}
求める値は$f(1)$
$f(0)=0$であることに注意して
\begin{align} f(1)&=f(1)-0 \\&=f(1)-f(0) \\&=\int_{0}^{1}f’(x)dx \\&=\int_{0}^{1}\frac{\arcsin x}{x}dx \\&=\int_{0}^{\frac{\pi}2}\frac{x}{\tan x}dx \\&=\Big[x\log\sin x\Big]_{0}^{\frac{\pi}2}-\int_{0}^{\frac{\pi}2}\log\sin xdx \\&=-\int_{0}^{\frac{\pi}2}\log\sin xdx \\&=\frac{\pi}2\log2 \end{align}
\begin{align} f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^3 }\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}} \\xf’(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2}\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}} \\f’(x)+xf’’(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2n+1}\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}} \\&=\frac{\arcsin x}{x} \end{align}
\begin{align} f(1)&=\int_{0}^{1}f’(x)dx \\&=\int_{0}^{1}\frac{\arcsin x}{x}dx-\int_{0}^{1}xf’’(x)dx \\&=\frac{\pi}2\log2-\Big[xf’(x)\Big]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}f’(x)dx \\&=\frac{\pi}2\log2-f’(1)+f(1) \end{align}
\begin{align} f(1)&=\frac{\pi}2\log2-f’(1)+f(1) \\f’(1)&=\frac{\pi}2\log2 \end{align}
いつもの記事とは違って日本語がないし内容も薄いので少し寂しいですね。
しかしそれが全て許される言葉こそがそう、メモ用
なんか赤くなちゃった
おしまい！！