可換になる操作つめあわせ（可換環論）

主にAtiyah&Macdonald『可換代数入門』を参考に“操作の可換性”に関係した命題を証明抜きで集めたいと思います。独断と偏見によって、みなさんが使い慣れていると思われる命題は省いていきます。
囲われていない部分の言明は私が勉強する中で使ったものです。関連しているので載せていますが、間違いを含んでいる可能性があるので注意してください。間違いを見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

アティマク演習問題1.12

$a_{i}, a, b . c$ をイデアルとすると次が成り立つ。
$((a : b) : c) = ((a : c) : b)$
$(⋂_{i} a_{i} : b) = ⋂_{i} (a_{i} : b)$

アティマク演習問題1.13

イデアル $a$ に対し $r (a)$ を $a$ の根基を意味するものとすると、イデアル $a, b$ に対して、
$r (a \cap b) = r (a) \cap r (b)$
また任意の部分集合 $E_{i}$ に対して
$r (⋃_{i} E_{i}) = ⋃_{i} r (E_{i})$

アティマク演習問題1.18

$f : A \to B$ を環準同型、 $a_{1}, a_{2} \subset A, b_{1}, b_{2} \subset B$ をイデアルとする。
$a^{e} = f (a) B, b^{c} = f^{- 1} (b)$ とすると、
$(a_{1} + a_{2})^{e} = a_{1}^{e} + a_{2}^{e}$
$(a_{1} a_{2})^{e} = a_{1}^{e} a_{2}^{e}$
$(b_{1} \cap b_{2})^{c} = b_{1}^{c} \cap b_{2}^{c}$

アティマク系3.4

$S$ を環 $A$ の積閉集合、 $M$ を $A$ 加群で $N, P$ をその部分加群とすると、
$S^{- 1} (N + P) = S^{- 1} N + S^{- 1} P$
$S^{- 1} (N \cap P) = S^{- 1} N \cap S^{- 1} P$
$S^{- 1} (M / N) ≅ (S^{- 1} M) / (S^{- 1} N)$

特に $p$ を $A$ の素イデアルとすると、
$(M / p M)_{p} ≅ M_{p} / p M_{p} ≅ M \otimes_{A} k (p)$
ただし、 $k (p)$ は $A$ の $p$ による剰余体。

アティマク命題3.7

$S$ を環 $A$ の積閉集合、 $M, N$ を $A$ 加群とすると、 $S^{- 1} A$ 加群として、
$S^{- 1} M \otimes_{S^{- 1} A} S^{- 1} N ≅ S^{- 1} (M \otimes_{A} N)$
特に $p$ を $A$ の素イデアルとすると、 $A_{p}$ 加群として、
$M_{p} \otimes_{A_{p}} N_{p} ≅ (M \otimes_{A} N)_{p}$

アティマク命題3.11

$S$ を環 $A$ の積閉集合、 $a, b \subset A$ を $A$ のイデアルとすると、
$S^{- 1} (a + b) = S^{- 1} a + S^{- 1} b$
$S^{- 1} a b = S^{- 1} a S^{^{1}} b$
$S^{- 1} (a \cap b) = S^{- 1} a \cap S^{- 1} b$
$S^{- 1} (r (a)) = r (S^{- 1} a)$
さらに、 $b$ が有限生成イデアルであれば、
$S^{- 1} (a : b) = S^{- 1} a : S^{- 1} b$