multiplicative type 群スキームは非自明なprimitive元をもたない

準備

$A$を体$k$上のcoalgebraとし, $\Delta$をcomultiplication mapとする.
primitive元全体の集合$\{x \in A\mid \Delta(x)=x\otimes 1 + 1\otimes x \}$は$A$の$k$部分空間であり, 任意の$k$代数$R$に対して（$A\otimes R$において）
$ \{x \in A\mid \Delta(x)=x\otimes 1 + 1\otimes x \}\otimes R \subset \{x \in A\otimes R \mid \Delta(x)=x\otimes 1 + 1\otimes x \}$
である（明らか）.
これが同型であることを示そう.
$x =\sum a_i \otimes r_i \in A \otimes R$をprimitive元とし, $\{r_i \}$は$k$上の基底とする. このとき, $(A\otimes_k R)\otimes_R (A\otimes_k R)=(A\otimes_k A)\otimes_k R$において
$$\sum \Delta(a_i)\otimes r_i = \sum (a_i\otimes 1)\otimes r_i + \sum (1\otimes a_i)\otimes r_i$$
が成り立つから, 各$a_i \in A$はprimitive元である.

本題

体$k$上のmultiplicative typeなaffine 群スキーム$G$に対し,
関手$\mathcal{Hom}(G,\mathbb{G}_a)$が自明であることを示す.

閉体への帰着

$k$を体, $G$を$k$上のアフィン群スキームとする.
関手$\mathcal{Hom}(G,\mathbb{G}_a)$は, 各$k$代数$R$に対して,
$$\mathcal{Hom}(G,\mathbb{G}_a) (R)=\operatorname{Hom}(G_R, \mathbb{G}_{a,R})=\{x \in A\otimes R \mid \Delta(x)=x\otimes 1 + 1\otimes x \} =\{x \in A\mid \Delta(x)=x\otimes 1 + 1\otimes x \}\otimes R$$
を対応させる.
よって, $\mathcal{Hom}(G,\mathbb{G}_a)$が自明であることを示すには, $k=\bar{k}$のとき$\operatorname{Hom}(G, \mathbb{G}_{a})$が自明であることを示せばよい.

algebraic群スキームへの帰着

$k=\bar{k}$は代数的閉体とする.
さらに$G$は$k$上のmultiplicative type群スキームとする.
このとき, $G$は対角化可能（diagonalizable）である.
非自明な準同型$\phi: G \to \mathbb{G}_a$が存在したとする.
$A=k[G]$とすると, 非自明なprimitive元$x \in A$に対応する.
$G$はdiagonalizableなので, あるアーベル群$X$があって, $A=k[X]$となる. $X=\varinjlim X_\alpha$と表す. ここで, $X_\alpha$は$X$の有限生成部分群を走る. すると$A=\varinjlim k[X_\alpha]$となる. このとき, $x$はある$k[X_\alpha]$のprimitive元になる. また, $X$の元はgroup-like元であるから, $k[X_\alpha]$はgroup-like元で生成されているので, $k[X_\alpha]$が表現する代数群スキーム$G_\alpha$はdiagonalizableである.
したがって, 非自明な準同型$\phi_\alpha: G_\alpha \to \mathbb{G}_a$が存在する.
よって, $G$を$G_\alpha$でおきかえることで, はじめから$G$は代数群スキーム（すなわち, $k[G]$は有限生成$k$代数)であると仮定してよい.

表現

$k=\bar{k}$は代数閉体, $G$は$k$上のaffine代数群スキームで, diagonalizableとする.

非自明な準同型$\phi:G \to \mathbb{G}_a$が存在したとする.
このとき, 表現$\psi:G \to \operatorname{GL}_2$を$g\mapsto \begin{pmatrix} 1 & \phi(g) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$で定める.
$G$はdiagonalozableであるから, $\psi$はdiagonalizableである.
しかし, $\psi$が非自明なら, $\psi$はdiagonalizableではない.矛盾.

$\psi$は対角化不可能

$\psi$がdiagonalizableなら, $k^2=V_1\oplus V_2$と表せて, $V_i$は$G$の$1$次元表現である.
$V_i$は$G$のcharacter$\chi_i$のeigen spaceとする.
$\psi$の定義から, $\chi_i$はtrivial characterである: $\chi_i=1$.
すると$\psi$は自明な表現になる.