位数6の群の分類
位数6の群の分類(2)
この記事では位数6の群を分類していきます。
また、位数6の元が存在しない場合を調べます。
まず次の主張から。
$G$を位数6の群とする。この時、位数2以下の元のみから成ることはない。
まず、位数2以下の元のみから成る群は、可換群です。(以前このことは記事に書きました。)
また可換群の任意の部分群は正規になります。この理由は簡単で、
$ah\in aH$とすると、$ah=ha\in Ha$だからです。
位数2以下の元から成る$G$を考えたとき、位数2の元を$x$とすると、
$\langle x \rangle =H$とおけば$H \triangleleft G$となり、$G/H$は群をなし,位数は3になります。
ここで、$G/H=\{H,aH,bH\}$だとしましょう。
位数3の群は巡回群しかありませんので、$aHaH=bH$つまり、$a^2H=bH$
ですが、$a$の位数は2でしたから、$a^2H=H$にほかならず、$G/H$が位数3であることに矛盾します。
上の命題より、$G$が位数6の元を持たない$\Rightarrow$ $G$は位数3の元を持つ
ということが導かれます。(位数6の元がある場合も位数3の元をもつ)
そんな位数3の元$x$を一つ取り、$\langle x \rangle =H$とおきます。
ここで、次の命題が成立します。
$H$を$G$の指数2の部分群とする。 この時、$H$は正規である。
$H\leqq G$とします。 このとき、$\displaystyle G/H= \frac{|G|}{|H|}$を$H$の指数といいます。
さて、命題2を証明しましょう。
仮定より、$H$に入らないある元$a$によって、$G=H \oplus aH$
と書くことができます。
$g\in G$を任意にとります。$g\in H$であるなら、$gH=Hg=H$です。
$g\notin H$ならば、$gH=aH$であるほかありません。
一方$Hg$も$H$とは異なるので、$Hg=aH=gH$となります。
命題2によって、位数3の$H$は正規部分群であることがわかり、さらに、ある$a (a\notin H)$によって、
$G/H=\{H,aH\}$となります。よって、$G$は$a$と$x$のみで生成されていて、$G=\{a^kx^l|a^2=x^3=1\}$と書けます。
あとは、$axa^{-1}(=\phi_a)$さえ定めれば、$G$の型が定まるのです。
$H$が正規なので、$\phi_a\in H$です。また、$x\neq 1$なので、
$\phi_a\neq 1$であるから、$\phi_a=x$または$\phi_a=x^2$となります。
前者の場合、$x$と$a$は可換であり、$xa=y$と置くことで、$y$は位数6の元になります。
よってこの時は不適。(位数6の元が存在しない場合を考えているから)
そうでない場合、$G=\{\langle a,x\rangle|x^3=a^2=1,axa^{-1}=x^{-1}\}$となり、これは$D_6$である。
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