約数関数を成分に持つ行列の行列式

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行列に約数関数が入っていたらどうなるだろう？と考え遊んでいた結果，次の結果を得ました．

$n \times n$ 行列 $A$ を

$A (n, x) = (\begin{matrix} σ_{1 + x} (1) & \dots & σ_{n + x} (1) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ σ_{1 + x} (n) & \dots & σ_{n + x} (n) \end{matrix})$

とすると，次の等式が成り立つ．
$\det A (n, x) = (n!)^{1 + x} \prod_{k = 0}^{n - 1} k!$

見る人によっては当たり前だと感じるかもしれません．

自然数 $n$ の正の約数は $n$ 以下であるため，行列 $A$ の $2 \sim n$ 行目から $1$ 行目を引く．( $2 \cdot 2$ 以上の $2$ の倍数)行目から $2$ 行目を引く．...　という操作を行うと，次の行列 $A^{'}$ に変形できる．

$A^{'} (n, x) = (\begin{matrix} 1^{1 + x} & \dots & 1^{n + x} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ n^{1 + x} & \dots & n^{n + x} \end{matrix})$

以上の操作で行列式は変化しない( $\det A (n, x) = \det A^{'} (n, x)$ )．よって $\det A^{'} (n, x)$ を求めればよいわけなのだが，これはヴァンデルモンドの行列式にそっくりである．利用しない手はない．

$\begin{aligned} \det A^{'} (n, x) & = \det (\begin{array}{c} 1^{0} & \dots & 1^{n - 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ n^{0} & \dots & n^{n - 1} \end{array}) \prod_{k = 1}^{n} k^{1 + x} \\ = (n!)^{1 + x} \prod_{1 \leq i < j \leq n} (j - i) \\ = (n!)^{1 + x} \prod_{2 \leq j \leq n} \prod_{i = 1}^{j - 1} (j - i) \\ = (n!)^{1 + x} \prod_{2 \leq j \leq n} (j - 1)! \\ = (n!)^{1 + x} \prod_{k = 0}^{n - 1} k! \end{aligned}$