文献あり

部分分数分解が簡単にできる場合

いざという時に思い出して使えるかもしれないということで,部分分数分解が簡単にできる場合をメモしておこうと思います.

パターン1 $\dfrac{A}{A^2-B^2}$の形のとき

$\dfrac{A}{A^2-B^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{A-B}+\dfrac{1}{A+B}\right)$であることを利用します.すると,分母の次数が高い場合でも何回か代入して連立方程式を解くというようなことをせずに済みます.

$\dfrac{1}{x^4-1}$を部分分数分解せよ.

$\dfrac{1}{x^4-1}=\dfrac{1}{(x^2)^2-1}=\dfrac{-1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x^2}+\dfrac{1}{1+x^2} \right)$
$=\dfrac{-1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}\right)+\dfrac{1}{1+x^2}\right)$
$=\dfrac{-1}{4}\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{-1}{4}\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{-1}{2}\dfrac{1}{1+x^2}$

$\dfrac{x^2+1}{x^4+1}$を部分分数分解せよ.

$\dfrac{x^2+1}{x^4+1}=\dfrac{x^2+1}{(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2} $
$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\dfrac{1}{x^2+\sqrt{2}+1}\right)$

パターン2 分子が$1$で(分母)$=0$が異なる$n$解をもつとき

この場合は普通に代入して連立方程式を解くだけなので,実は特別扱いすることにあまり意味はありません.$\alpha_i\neq\alpha_j$($j\neq i$)として
$\dfrac{1}{(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)}=\dfrac{a_1}{x-\alpha_1}+\cdots+\dfrac{a_n}{x-\alpha_n}$とおくと,分母を払って
$1=\displaystyle\sum_{i}a_i\prod_{k\neq i}(x-\alpha_k)$
$x=\alpha_i$($i=1,\dots,n$)を代入することで
$a_i=\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k\neq i}(\alpha_i-\alpha_k)}$

$n,m,l\in\mathbb{R}$をどの二つも異なる実数とする.$\dfrac{1}{(x-n)(x-m)(x-l)}$を部分分数分解せよ.

$\dfrac{1}{(x-n)(x-m)(x-l)}=\dfrac{a}{x-n}+\dfrac{b}{x-m}+\dfrac{c}{x-l}$とおく.分母を払って$x=n,m.l$とすることで
$a=\dfrac{1}{(n-m)(n-l)} $,$b=\dfrac{1}{(m-n)(m-l)}$,$c=\dfrac{1}{(l-n)(l-m)}$.よって
$\dfrac{1}{(x-n)(x-m)(x-l)}=\dfrac{1}{(n-m)(n-l)(m-l)}\left(\dfrac{m-l}{x-m}+\dfrac{l-n}{x-m}+\dfrac{n-m}{x-l}\right)$.

$\dfrac{1}{x^3-1}$を部分分数分解せよ.

$1$の原始$3$乗根の一つを$\omega$とし,
$\dfrac{1}{x^3-1}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-\omega}+\dfrac{c}{x-\omega^2}$とおく.分母を払って$x=1,\omega$とすることで
$a=\dfrac{1}{(1-\omega)(1-\omega^2)}=\dfrac{1}{1-\omega-\omega^2+\omega^3}=\dfrac{1}{3}$,
$b=\dfrac{1}{(\omega-1)\omega(1-\omega)}=\dfrac{-(1+\omega)}{\omega(1-\omega)(1-\omega^2)}=\dfrac{\omega}{3}$.
最初の等式で両辺の共役をとったものと元の式で係数を比較して$c=\bar{b}=\dfrac{\omega^2}{3}$.よって
$\dfrac{1}{x^3-1}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{\omega}{x-\omega}+\dfrac{\omega^2}{x-\omega^2}\right)$
$=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{-x-2}{x^2+x+1}\right)$