cos(2π/n)のノルムと方程式cos(a)cos(b)=cos(c)

$$x^n-1=\prod^{n-1}_{k=0}\l(x-\exp\frac{2\pi ik}n\r)$$
に注意すると、$n$が奇数のとき
\begin{align} \prod^{n-1}_{k=0}2\cos\frac{\pi k}n &=\prod^{n-1}_{k=0}(\exp\l(\frac{\pi ik}n\r)+\exp\l(-\frac{\pi ik}n\r))\\ &=\exp\l(-\frac{\pi i}n\sum^{n-1}_{k=0}k\r) \prod^{n-1}_{k=0}\l(1+\exp\frac{2\pi ik}n\r)\\ &=(-1)^{\frac{n-1}2}(1-(-1)^n)\\ &=(-1)^{\frac{n-1}2}2 \end{align}
と求まり、同様に$n=2m$のとき
\begin{align} \prod^{n-1}_{\substack{k=0\\k\neq n/2}}2\cos\frac{\pi k}n &=\exp\Bigg(-\frac{\pi i}{2m}\sum^{2m-1}_{\substack{k=0\\k\neq m}}k\Bigg) \prod^{n-1}_{\substack{k=0\\k\neq n/2}}(1+\exp\l(\frac{\pi ik}n\r))\\ &=(-1)^{m-1}(-1)^{n-1}\frac d{dx}(x^n-1)\bigg|_{x=-1}\\ &=(-1)^{m-1}n \end{align}
と求まる。

$$A_n=\prod^n_{\substack{k=1\\(k,n)=1}}2\cos\frac{k\pi}n$$
(ただし$A_2=1$)とおくと上の補題から
\begin{align} \prod_{d\mid n}A_d =\prod^n_{\substack{k=1\\k\neq n/2}}2\cos\frac{\pi k}n =\l\{\begin{array}{ll} (-1)^{\frac{n+1}2}2&(n:\mathrm{odd})\\ (-1)^{\frac n2}n&(n:\mathrm{even}) \end{array}\r. \end{align}
が成り立つのでメビウスの反転公式
$$f(n)=\prod_{d\mid n}g(d)\quad\iff\quad g(n)=\prod_{d\mid n}f(d)^{\mu(\frac nd)}$$
および
\begin{align} \sum_{d\mid n}\mu\l(\frac nd\r)&=0\\ \sum_{d\mid n}\mu\l(\frac nd\r)d&=\varphi(n)\\ \prod_{d\mid n}d^{\mu\l(\frac nd\r)} &=e^{\La(n)} =\l\{\begin{array}{ll} p&(n=p^e)\\ 1&(\mathrm{otherwise}) \end{array}\r. \end{align}
(ただし$\La(n)$はフォン・マンゴルト関数とした)に注意すると、$n=2^em\ \ (2\nmid m)$と表したとき
\begin{align} A_n &=\l(\prod_{2\mid d\mid n}(-1)^{\mu(\frac nd)\frac d2}d^{\mu(\frac nd)}\r) \l(\prod_{d\mid m}(-1)^{\mu(\frac nd)\frac{d+1}2}2^{\mu(\frac nd)}\r)\\ &=\l(\prod_{d\mid n}(-1)^{\mu(\frac nd)\frac d2}d^{\mu(\frac nd)}\r) \l(\prod_{d\mid m}\frac1{d^{\mu(\frac nd)}}\r)\\ &=(-1)^{\varphi(n)/2}e^{\La(n)-\La(m)\mu(2^e)} \end{align}
と求まる。

　$n\neq1,2,4$において
\begin{align} N(\a) &=\prod_{\substack{1\leq k\leq n/2\\(k,n)=1}}2\cos\frac{2\pi k}n\\ &=\l\{\begin{array}{ll} \dis\prod^{n-1}_{\substack{k=1\\(k,n)=1\\k:\mathrm{even}}}2\cos\frac{\pi k}n &(n:\mathrm{odd})\\ \dis\prod^{n'-1}_{\substack{k=1\\(k,n')=1\\k:\mathrm{odd}}}2\cos\frac{\pi k}{n'} &(n=2n',\ n':\mathrm{odd})\\ \dis\prod^{n'-1}_{\substack{k=1\\(k,n')=1}}2\cos\frac{\pi k}{n'} &(n=2n',\ n':\mathrm{even}) \end{array}\r. \end{align}
と表せることに注意するとわかる。

　以下$\cos(r_1\pi),\cos(r_2\pi)\neq0$とする。
　いま
$$\cos(r_1\pi),\cos(r_2\pi),\cos(r_3\pi)\in K$$
なる代数体$K$を任意に取り、$d=[K:\Q]$および
$$d_i=[\Q(\cos r_i\pi),\Q],\quad N_i=|N_{\Q(\cos r_i\pi)/\Q}(2\cos r_i\pi)|$$
とおくと
$$2\cos(r_1\pi)\c 2\cos(r_2\pi)=2\c 2\cos(r_3\pi)$$
の両辺の$K/\Q$におけるノルムを考えることで
$$N_1^{d/d_1}N_2^{d/d_2}=2^dN_3^{d/d_3}$$
が成り立つ。
　特に$N_i$は素数または$1$であったことに注意すると
\begin{align} \frac d{d_1}+\frac d{d_2} &\geq\ord_2(N_1^{d/d_1}N_2^{d/d_2})\\ &=\ord_2(2^dN_3^{d/d_3})\\ &\geq d \end{align}
と評価できるので、これが満たされるのは
\begin{align} d_1=1&\quad\text{かつ}\quad N_1=2\\ d_2=1&\quad\text{かつ}\quad N_2=2\\ d_1=d_2=\tfrac12&\quad\text{かつ}\quad N_1=N_2=2\\ \end{align}
のいずれかの場合に限ることがわかる。
　そして$\a=2\cos\frac{2\pi}n\neq0$に対し
\begin{align} [\Q(\a):\Q]&=\l\{\begin{array}{ll} 1&(n=1,2)\\ \varphi(n)/2&(n\neq1,2) \end{array}\r.\\ |N_{\Q(\a)/\Q}(\a)|&=\l\{\begin{array}{ll} 2&(n=1,2)\\ p&(n=4p^e)\\ 1&(\mathrm{otherwise}) \end{array}\r. \end{align}
と求まっていたこと注意すると
\begin{align} d_1=1,\ N_1=2\quad&\iff\quad2\cos r_1\pi=\pm2\\ d_1=2,\ N_1=2\quad&\iff\quad2\cos r_1\pi=\pm\sqrt2 \end{align}
が成り立つことから主張を得る。