指数分布の累積分布関数(CDF)
実数$\lambda$が
$$
\lambda>0
$$
を満たすとする。確率空間$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$上の実数値確率変数$X:\Omega\to\mathbb R$が
$$
\mathbb P(X\le x)=
\begin{cases}
0, & x<0,\\
1-e^{-\lambda x}, & x\ge0
\end{cases}
$$
を満たすとき、$X$は指数分布$Exp(\lambda)$に従うといい
$$
X\sim Exp(\lambda)
$$
と表す。
$\lambda>0$とする。確率空間$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$上の確率変数$X$が確率密度関数
$$
f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x\ge0,\\
0, & x<0
\end{cases}
$$
をもつとする。このとき$X$の分布関数$F_X(x):=\mathbb P(X\le x)$は
$$
F_X(x)=
\begin{cases}
0, & x<0,\\
1-e^{-\lambda x}, & x\ge0
\end{cases}
$$
で与えられる。
$$
\int_{\mathbb R} f(x)\,dx=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx
=\Bigl[-e^{-\lambda x}\Bigr]_{x=0}^{x=\infty}=1
$$
である。
分布関数の定義より任意の$x\in\mathbb R$について
$$
F_X(x)=\mathbb P(X\le x)=\mathbb P(X\in(-\infty,x])
$$
である。$X$は密度$f$をもつから
$$
F_X(x)=\int_{(-\infty,x]} f(t)\,dt
$$
が成り立つ。
まず$x<0$とする。このとき$t\le x$なら$t<0$であるから$f(t)=0$であり
$$
F_X(x)=\int_{(-\infty,x]}0\,dt=0
$$
となる。
次に$x\ge0$とする。このとき$f(t)=0$は$t<0$で成り立ち、$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$は$t\ge0$で成り立つから
$$
\begin{align}
F_X(x)
&=\int_{(-\infty,x]} f(t)\,dt\\
&=\int_{(-\infty,0)} f(t)\,dt+\int_{[0,x]} f(t)\,dt\\
&=\int_{(-\infty,0)}0\,dt+\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}\,dt\\
&=\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}\,dt\\
&=\Bigl[-e^{-\lambda t}\Bigr]_{t=0}^{t=x}\\
&=1-e^{-\lambda x}
\end{align}
$$
を得る。
以上より
$$
F_X(x)=
\begin{cases}
0, & x<0,\\
1-e^{-\lambda x}, & x\ge0
\end{cases}
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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